虽然真空涨落的平均值为零，表观上看不出空间中各点有电磁场存在，但真空涨落的均方值并不为零。于是，经典电动力学中的真空，按量子论的

均方值这个概念比较少用，英文mean square。一般用它的另一种形式：均方根值（也就是高中物理里面的“有效值”）。
我们死扣“均方值”这3个字的字眼都把概念弄清楚了－－先把各项平方，再求做算术平均。

例如：x、y、z 3项求均方值。
均方值＝（x的平方＋y的平方＋z的平方）/3。搞定

最小均方误差就是求完均方值 还要加上约束条件，求出一个最小值来。

均方根是一种求平均的方法。
求平均有多种方法，算术平均、几何平均、均方根……

均方值就是把正号去掉（平方去掉一个维度）再平均：两军战完，正副相抵，均值零，但消耗的实力和不为零，零点能概念

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电磁场真空态的能量和Casimir效应

张永德


本讲继续贯彻量子化逻辑，将它用于电磁场本身。指出电磁场的一个重要量子性质，即电磁场存在真空态，并且这个真空态具有无穷大能量。一般情况下，这个无穷大能量无法直接观测，但在某些特殊情况下，它能表现出可观测的效应。









一，量子电磁场的真空态
一方面，由波导管、微波腔以及许多关于电磁场分析的例子可以知道，电磁场可以看作是一系列具有各种频率的简谐振动的集合。电磁场局域形状不同会导致这些振动模的频率分布不同。一般情况，这些振动模的数目无穷多，也即电磁场（即便是局域的电磁场）自由度为无穷多。
另一方面，自Planck对黑体腔内电磁场处理时引入能量子概念开始，迅速建立起了量子力学。由量子力学的观点来看，腔内电磁场便是一系列具有各种频率的量子谐振子的集合，这个集合的整体便是量子电磁场。为了更加形象，也可以将这个集合想像成在空间每一点上有一个量子谐振子。具有各种频率 和量子数 的量子态也就是量子电磁场在该频率下的各种激发态，而Planck的能量子 ——这个概念后来不久就被Einstien发展为光子的概念，便是相应的场量子。
这个量子电磁场的基态，也即空间中任何点都没有任何能量的场量子的态（实际上它是全体量子谐振子基态的直积），称之为量子电磁场的真空态。这便是从量子化的观点所理解的经典电磁学的真空。这个真空态显然不是一无所有的“虚无”，它只是指明空间各处不存在各种场量子 而已。空间每一处仿佛都像一段紧绷着未受激励的琴弦，此时弦上虽无任何振动模存在，但并非是一无所有的“虚无”，而是一个物理系统的最低的能量状态。



二，量子电磁场真空态的能量
由于量子谐振子基态存在零点振动和相应的零点能，量子电磁场的真空态也存在着零点振动和零点能。量子电磁场所有模的这种零点振动总和称为量子电磁场的“真空涨落”。虽然真空涨落的平均值为零，表观上看不出空间中各点有电磁场存在，但真空涨落的均方值并不为零。于是，经典电动力学中的真空，按量子论的观点来看，其实具有能量，它便是全体量子谐振子的零点能之和。所以，量子电磁场真空态的能量为

这个数是无穷大，因为振动模（自由度）的数目为无穷多（何况还有高频 的模存在）。虽然如此，由于零点能并不参予量子电磁场状态变化的任何物理过程，因此，一般情况下可以把它当作一个恒定的“本底”事先予以减除，即“定义”它为零，从而不必去理会它究竟是多少。但这并不排除在某种特定情况下，它会表现出可以观测的效应，因为它毕竟是客观存在着的物理事实。




三，Casimir效应的物理原因
Casimir效应是一个关于量子电磁场真空态能量的可观测效应。真空态能量本身不可观测，但它的变化是可以观测的。考虑两块平行并足够大的方形理想导体板，板间距 设两块平行板的平面为 面， 轴垂直两板。由于 很大，在 方向几乎没有空间区域的限制。与此相应，可以近似认为， 方向波数 依然从 到 连续变化；但对沿 方向传播的振动模 波（此波的电矢量在 面内振动）而言，由于两快板都是良导体，板表面应当是 波的波节。于是原先连续取值的 ，现在只能分立取值 ，最小间隔为 。这表明，如两板间距 值越小，沿 方向传播的振动模 的波数，其允许取值的间隔 就越大。
这样一来，和没有加两块板时想像情况相比，加了两块板之后，在这块体积 里，电磁场真空态在 方向传播的振动模数目没有什么变化；但沿 方向传播的振动模数目（因为由连续变化变成分立取值）却减少了。而且，随着 值减小，能够存在的沿 方向传播的振动模数目也随之减小！这导致板间体积内真空态蕴含的能量减少。
下面详细计算果然表明：两板之间距离越小，所包含的真空能量就越少。这种分析结果在实验上表现出来的就是：两块板之间存在一个吸引力。这个吸引力当然十分微弱，但按照上面对真空态振动模的分析和量子振动存在零点能的结论，它就应当存在！
四，Casimir效应计算
由于每种波都有两个独立的横向极化状态，计算模数目时应当乘以2 。 注意， ，一个振动模的零点能为 ，而在 附近 之内的模数目为 。
于是，放入两块平行板的前和后，在 体积内真空态能量的相对变化为

由此可得两板之间每单位面积上的作用力为
，
引入新变数 ： ，由于 ，有 ，代入上式得

大括号中的两项都是发散的，但它们之间的差可以是不发散的。






文献中关于Casimir效应有些不完全相同的计算。归根到底，差异大多在于针对上面这个发散计算的处理上。比如国内教材中就有：

1）双套平行板方法（苏汝铿：《量子力学》，复旦大学出版社，1997，P.378）；
2）采用截断函数方法（张礼、葛墨林，《量子力学的前沿问题》，清华大学出版社，2000，P.269；葛墨林，《零点能与卡斯米尔—玻德勒效应》，收入〈量子力学新进展〉，第一辑，曾谨言等主编，北京大学出版社，2000，P.234）；
3）采用截断函数方法（张启仁，《量子力学》，科学出版社，2002，P.315）；
4）复变数围道积分方法（倪光炯、陈苏卿，《高等量子力学》，复旦大学出版社，2000，P.224）；
5）采用Coulomb 场积分（或散射理论）中常见的计算技巧：在被积函数中引入衰减因子 ，再作积分、求和与相减，完成全部计算之后，令 ，以求得这个差数（张永德，《量子力学》，科学出版社，第二次印刷，2003年3月，第279页）。

下面采用最后面的办法，即Coulomb 场积分中常见的计算技巧。


在被积函数中引入衰减因子 ，再作积分、求和与相减。待完成全部计算之后，再令 ，以求得这个有限的差数。于是有

利用展开式

其中 为Bernoulli数： ， ， ， ， , …。代入 表达式，微分之后，令 取极限，最后得：

这里 的单位为微米。这是一个十分微弱的吸引力，表明由于两板之间 的允许模数目随 增大而增大，导致 随 增大而增大。
Sparnaay 于1958年观测到了这个力的大小以及它和板间距离 的依赖关系。