，“黎曼的（度量）假设显然来自：在每一点紧邻的无穷小邻域内，欧氏几何是有效的”

外尔与黎曼几何的拓展
郝刘祥
（中国科学院 自然科学史研究所 北京 100010）
摘 要 本文在一手文献的基础上，重点考察了外尔1917-1923年间对黎曼几何的系统阐述和重大推广，包括内蕴地定义仿射联络、建立“纯粹无穷小几何”、引入投影和保形结构、以及对“度量本质”的群论分析。外尔的这些推广，尤其是他的“纯粹无穷小几何”以及对 “度量本质”的分析，由于没有进入当代微分几何的标准语汇之中，今天已然隐退到历史的幕后了。但作者认为，外尔的这些工作是从黎曼几何过渡到纤维丛理论的一个重要环节，同时也是外尔从分析学转向李群理论的主要动因。
关键词 黎曼几何 仿射联络 外尔度量 射影与保形结构 度量的本质
中图分类号
文献标识码 文章编号
引言
外尔对黎曼几何的系统阐释和发展，显然是受到爱因斯坦广义相对论的刺激。1915年之前，外尔的工作基本上集中在分析学的领域【1】。1915年5月15日，外尔应征入伍，随部住扎在萨尔布鲁克（Saarbrücken）。次年春，由于瑞士政府的请求，外尔回到了苏黎世联邦工业大学。这次服役，时间虽然不长，却是外尔数学生涯中的一个重大转折。对此，外尔后来回忆道：
爱因斯坦1916年发表的《广义相对论基础》宣告了一个崭新时代的到来，它的影响远远超出了数学的范围。在我的科学生涯中它同样是一个划时代的事件。1916年我从德国行伍退役，并回到瑞士的工作中。我的数学心灵就像任何一位老兵一样空白无着，我也不知道接下去做什么。我开始研究代数曲面，但就在我尚未获得多大进展之时，爱因斯坦的论文转到我手中，并使我走火入魔。（转引自【2】, 361）。
1917至1923年，外尔的科学研究几乎完全集中在广义相对论及其数学基础方面。1917－1918年夏季学期，外尔在苏黎世开设了广义相对论课程，其讲义《空间、时间与物质》【3】于次年出版。这部著作不仅是广义相对论、同时也是该理论的数学框架――黎曼几何的第一
次系统阐述。1919年，外尔还特别对黎曼1854年的就职讲演《论几何学基础中的假设》1逐条进行了诠释【4】。1922年春，外尔在巴塞罗那和马德里专门就空间问题的数学分析做了8次讲演。这一系列讲演用的是法语，1923年以德语出版【5】。外尔对黎曼几何思想的最后一次系统阐述是在1925年，此时外尔正处于其创造力的巅峰。1925年，俄罗斯政府着手主编罗巴切夫斯基全集，为此全集编委会邀请外尔写一篇“命题作文”。外尔于是撰写了40页的长文，标题是《黎曼几何思想，它的影响以及它与群论的联系》2【6】，并于同年9月寄到莫斯科大学数学所。或许是该文只是偶尔提及罗巴切夫斯基工作的缘故，因而没有收入到罗巴切夫斯基的文集之中。1988年，外尔全集的主编K. Chandrasekharan在证实此一情况之后，方才予以发表。正如Chandrasekharan所述，“这篇文章是作为现代几何概念之基础的那些基本思想的产生和发展的一份权威报告，它是用外尔特有的精致风格写成的，须知此时正值他的不惑之年”(【6】，iii)。
在以上这些著作以及外尔此间发表的一系列论文中，外尔不仅试图为黎曼几何提供一个公理化的表述，而且对黎曼几何首次做出了重大推广。首先，他在黎曼关于位置分析与度量几何的两分法中，插入了仿射几何这一过渡环节，并且引入了保形和投影的概念。其二，他发展了一种“纯粹无穷小几何”，不妨称之为“外尔几何”。在该几何中，矢量在位移时不仅方向有变化，而且长度也要发生变化。第三，外尔试图在合同运动概念的基础上，利用群论方法，为黎曼关于线元长度的基本假设提供一个自然的解释。外尔的这些思想，是后来发展的齐性流形和纤维丛理论的先声，同时也预示着外尔在李群理论上的重大成就。下面我们就从这几个方面来考察外尔对黎曼几何思想的发掘与推广。
1． 仿射联络概念
在讨论外尔的贡献之前，似乎有必要对黎曼几何的早期发展作一简述。黎曼几何的基本思想源于1854年6月10日黎曼在哥廷根大学哲学系的就职演讲“论几何学基础中的假设”。黎曼的这篇讲演分为三个部分，第一部分阐述了“n重广延流形” (n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit)的概念和本质特征，即流形上的一个点可用“n重广延量” (n-fach ausgedehnten Größe)来确定。黎曼把对“n重广延量”的研究分成两个层次：与位置相关的区域关系 (Gebietsverhältnisse) 和与位置无关的度量关系 (Maßverhältnisse)，也就是说区别了流形的拓扑学和几何学。黎曼没有利用局部坐标来覆盖流形的思想，他是仿照高斯内蕴地定义曲面的方式，利用n个可变参数来定义n维微分流形的。在该演讲的第二部分中，黎曼着手利用可变参数的微分来定义度量关系。黎曼自然地假定，线元的长度不依赖于位置，用他的话说，“每一条线都可以通过其他的线来度量”(【4】, 6)。即使如此，仍然可以用多种方式引入度量。黎曼采取了最简单的一种，即：线元的长度是二阶微分式之和的平方根3
ds2 = gij dxi dxj。
黎曼认识到，在坐标变换之下，ds2通常不是不变的，因为ds2由 n (n+1) / 2 个位置函数 gij 确定，而坐标变换只有 n 个关系。要完全确定度量关系，必须给定n (n - 1) / 2 个位置函数。为了保证ds2在坐标变换之下的不变性，黎曼建立了曲率的概念：流形上任一点的曲率，由n (n - 1) / 2 个截面曲率唯一地确定。黎曼把截面曲率称为“曲率量度”，并且指出，
1 黎曼的这篇讲演有中译文，系从英文翻译而来，收入《数学珍宝》（李文林主编，科学出版社，1998年）中，但该译文有不少错误，该译文所依据的英译文（【7】，411-425）也有错误。
2 以下简称《黎曼几何思想》。
3 这里采用了爱因斯坦约定，下同。
因此，只要给定了流形上每一点n (n 8722;1) / 2个面元方向的曲率量度，流形的度量关系便可由此完全确定。（【4】，11）
利用测地线构成的二维子流形，黎曼给出了截面曲率的定义，阐明了它的几何意义。有了曲率概念，黎曼进而讨论了常曲率流形，并且给出了曲率为α的流形上的度量表达式
ds2 = Σ dxi2 / [ 1 + (α/4) Σxi2 ]2 。
黎曼这篇讲演在他逝世两年之后，也即1868年刊行出版，随之引起了一批数学家对微分不变量的强烈兴趣（【8】，第三册，319-321）。其中特别值得一提的是克里斯托费尔（E. B. Christoffel 1829-1900）在1869年引入的两种三指标符号 Γijk 和 Γijk ( Γijk = gil Γljk )。运用三指标符号，克里斯托费尔独立地得出了黎曼1861年《巴黎之作》中给出的截面曲率表达式：
Rαβγδ = 8706;δ Γαβγ - 8706;γ Γαβδ + ΓλαδΓλβγ - ΓλαγΓλβδ
Γ ijk = 1/2 (8706;j gi k + 8706;k gi j 8722; 8706;i g j k) (8706;k = 8706;/8706;xk，下同) 。
在19世纪末，这类微分不变量的研究被意大利数学家里奇（G. Ricci-Curbastro 1853-1925）所发展的张量分析所革新（【8】，第四册，214-223）。利用张量概念，黎曼的度量和曲率分别是二阶和四阶协变张量，这样黎曼1861年证明的“Rαβγδ 的协变性是gαβ 协变性的必要条件”变成了一个自明的事实。里奇还在张量分析中引入了缩并和协变微分两种运算，把一个张量变成低两阶或高一阶的张量。设 ξi 是一个一阶逆变张量，它的协变微分就是：
Dk ξi = 8706;k ξi + Γijk ξj。
利用协变微分运算，可以把欧氏几何中的梯度和散度推广到黎曼几何之中。
1915年之前，张量分析的研究只限于极少数数学家，但爱因斯坦的相对论整个改观了这一局面。1949年，外尔在谈到相对论对数学研究的刺激时，不无动情地说：
这里显然为数学研究提供了丰富的食品，为数学推广提供了充裕的机会。紧随广义相对论而来的是众多微分几何学派的兴起。普林斯顿这儿，是Eisenhart和Veblen领军，在荷兰是Schouton。在法国，E. Cartan那丰富的几何想象力揭示了该领域的众多崭新方向。他们的杰出弟子有普林斯顿的Tracy Thomas和J. M. Thomas，荷兰的van Dantzig和巴黎学派的陈省身。而在苏黎世，一只孤独的狼，Hermann Weyl，也埋首在这个领域；不幸的是，他太倾向于把他的数学与物理的及哲学的思辨掺合在一起。(【9】, GA IV, 397)
外尔称自己作“一只孤独的狼”，显然是借用他的朋友、苏黎世的德语作家赫尔曼·海塞（Hermann Hesse 1877-1962）的小说《荒原狼》中的主人公来形容自己埋首这个领域并远离周围世界时内心的焦灼状态。
外尔在黎曼几何领域的第一个革新建立在列维－齐维塔的工作基础之上。1917年，列维－齐维塔改进了他的导师里奇的思想，提出了黎曼几何中向量的平行位移概念。列维－齐
维塔的做法是，先把一个n维黎曼流形等距嵌入到一个高维欧氏空间之中4。黎曼流形中一个矢量沿曲线C的平行位移，就是在所嵌入的欧氏空间中沿曲线C平移这个矢量，再投影到黎曼流形的切空间之上。平行位移不改变矢量的长度，也不改变两个矢量之间的交角。但是在平行位移时矢量方向要发生变化，也就是说各个分量都在改变。一般来讲，一个矢量沿一条闭曲线平行位移回到起点时，并不与初始矢量重合。矢量分量 ξi 沿曲线 xi（t）的平行位移满足微分方程：
dξi / dt + Γijk ξj dxk / dt = 0，
这就为克里斯托费尔三指标符号和里奇的协变微分概念提供了一个直观的几何解释：平行位移时协变微商为0，即
DΓ ξi = dξi + Γijk ξj dxk = 0。
在外尔看来，克里斯托费尔符号不仅有直观的几何意义，而且有重要的物理意义，因为爱因斯坦1916年论文中把它与质点的引力加速度相提并论。爱因斯坦为了解释度量与引力之间的概念关联，曾讨论过测地线方程：
d2x i / ds2 = 8722; Γij k (dxj / ds) ( dxk / ds)，
并且说“这些量确定了对匀速运动的偏离，它们是引力场的分量”（【10】，208）。爱因斯坦在这篇文章中把 Γijk 称作引力场系数，gij 称作引力势，并且试图只用 Γijk来表示里奇张量【10】。外尔完全接受了这种观点，甚至把 Γijk 叫作“度量场的分量”5。在我们看来，这是一个令人困惑的命名，但它预示着外尔把 Γijk 放在比gij更基本的位置上。
1918年，外尔在《纯粹无穷小几何》这篇论文中明确了这一思想（【9】，GA II，W30）6。外尔首先认识到，“黎曼的（度量）假设显然来自：在每一点紧邻的无穷小邻域内，欧氏几何是有效的”（【5】，10）。既然普通仿射几何是比欧氏几何更基本的构造，那么在黎曼几何的无穷小邻域内同样有比度量更基本的仿射几何结构。在黎曼流形上每一点的无穷小邻域内，可以在引入欧氏度量之前引入仿射概念。由此我们可以在微分流形上任意一点的无穷小邻域内建立“直角”坐标系：在该坐标系中一个矢量在无穷小平行位移时各分量保持不变。为摆脱对“直角”坐标系的依赖，外尔进一步定义了在任意一个局部坐标系中的无穷小平行位移概念。假设在流形上任意一点P建立了局部坐标 (xi) ，P点矢量 (ξi) 平行移动到P的无穷近点Q(xi + dxi) 时，定义矢量各分量的变化为：
dξi = 8722; Γijk(p) ξj dxk，其中 Γijk = Γikj 。
也就是说，各分量的变化是矢量本身和坐标变化的双线性函数，比例系数关于下标是对称的。外尔把 Γijk(p) 称为仿射联络系数。如果流形上每一点都定义了这种无穷小平行位移，该流形就称作仿射联络流形。外尔接着证明了，对于流形上任意一点P，每一个这样定义的无穷小平行位移都可以通过坐标变换
4 勒维-契维塔以为，n维黎曼流形总可以嵌入到n(n+1)/2维欧氏空间中。希尔伯特曾指出，双曲曲面就不可能嵌入到3维欧氏空间中。1936年，H. Whitney证明，任意一个n维光滑流形都可以微分嵌入到 2n+1 维欧氏空间之中。
5 1921年，外尔在《空间、时间与物质》第四版中改称其为“引导场”（Führung Feld），因为它对质点的自由落体运动轨迹起着引导的作用。
6 W30指外尔全集论文编号第30篇，下同。
yi = xi 8722; xip + (1/2) Γijk(p) (xj8722; xjp) (xk8722; xkp)，
使得在坐标系（yi）中所有的 Γij k(p) 皆为零（【3】，113）。他把这个坐标系定义为测地坐标系。
利用无穷小平行位移概念，外尔进一步定义了流形上任意一点的截面曲率。一个矢量沿一个由两个线元d 和 δ 张成的平行四边形作无穷小平行位移并回到起点时，矢量各分量所经历的变化是
Δ ξi = 8722;（1/2）Rik αβ ξk Δxαβ，
其中
Rik αβ = 8706;αΓi k β - 8706;βΓikα+ ΓiλαΓλkβ - ΓiλβΓλkα ，
并且满足我们熟知的对称条件。这样，曲率概念就是一个仿射几何概念，无须借助度量来加以定义。外尔常称其为“矢量旋度”（Vektorwirbel）（【5】，22）。
外尔强调，张量分析完全建立在仿射联络空间的基础之上，而无需假定度量的概念。在《空间、时间与物质》一著中，外尔对张量分析给予了完整的阐述7。他指出，微分几何是一个三部曲式的结构，我们应当在黎曼的两分法（位置分析和度量几何）之间插入仿射联络空间这一核心环节。
2． “纯粹无穷小几何”
从欧氏几何到黎曼几何的转变，正如物理学中从超距作用到近邻作用的转变。法拉第提出场的概念是1831年，麦克斯韦 (J. C. Maxwell 1831 - 1879) 建立电磁场的数学方程是1862年，黎曼1854年的演讲正好介于其间。外尔认为，黎曼几何的历史意义是非欧几何所无法比拟的：
从欧几里德的观点来看，空间一开始就被赋予了比其中的曲面简单得多的特性，也就是说是直角的；黎曼已经推广了空间的概念，从而远远摆脱了这种不一致性。外部世界的知识是从其无穷小部分获得的这个原则，是无穷小物理和黎曼几何的认识论的支柱；事实上，它是黎曼所有的杰出成就 － 特别是其复变函数论工作 － 的支柱。向欧几里德发难的历史进程始于‘第五公设’的有效性问题，这个问题现在看来不过是背离欧几里德的一个多少有些偶然的起点。真正带领我们超越欧几里德的知识，依我们看来，是由黎曼揭示的。我们还得相信，波尔约和罗巴切夫斯基几何，以及欧几里德几何和球面几何（黎曼是指出后者乃非欧几何的一种可能情形的第一人），都只是黎曼几何的特例。（【3】，92）。
在外尔的无穷小几何三部曲中，黎曼几何隶属度量几何范畴。一个n维黎曼流形上，每一点的度量关系由一个正定二次齐次微分式给定。换句话说，黎曼几何是局部欧氏的。根据这个定义，外尔在《空间、时间与物质》一著中给出了黎曼空间中任一部分的体积公式、同一点任意两个线元 d 和 δ 的夹角公式和m 维子流形中诱导度量的表达式（【5】，10）。外尔还证明，在黎曼流形上存在唯一的保长对称联络，即列维－齐维塔联络8。这就是说，度量空
7 特别值得注意的是，外尔赋予完全反对称张量以特殊的地位，并专门称之为“线性张量”（【3】，57）。显然，他不知道嘉当发展的外微分运算。
8 由d(gij dxi dxj) = 0 可得，Γijk + Γjik = 8706;k gij ，故2 Γ ijk = 8706;j gi k + 8706;k gi j 8722; 8706;i g j k 。
间中仿射联络是内在固有的。外尔把这个定理称作“无穷小几何的要旨”（【3】，125）；我们今天把它称作“黎曼几何的基本定理”，正是来自外尔的用语。
但外尔认为，黎曼几何尚不是“纯粹的无穷小几何”，因为在黎曼几何中矢量平行位移时尽管方向是不可积的，但长度却是不变的：
由此看来，黎曼几何仍然未能摆脱自欧几里德以来就一直存在的一种不一致性。在黎曼几何中，矢量可以作无穷小移动；矢量移动到一个有限远点的变化依赖于所行经的路径；矢量的直接远程比较是不可能的。但黎曼的一个基本假设与此正好相反，按此假设，矢量的长度，或者说‘线段’（Strecke），可以作这样的直接远程比较。显然，在一种纯粹的无穷小几何中，这个假设是不容许的。按照纯粹无穷小几何的观点，一个‘线段’可以从P点合同移动到一个无穷接近的点P’。我们必须这样来理解：一个‘线段’沿一条连接两个有限远点的路径的合同移动依赖于路径本身。（【5】, 14 –15）
外尔还说，黎曼之所以没有看出这一点，是因为他的思想渊源于高斯的曲面理论。
按照外尔的思想，一种真正的无穷小几何，所谓 “纯粹无穷小几何”，是不容许远程比较矢量长度的。我们在此不妨将这种几何称之为“外尔几何”。在外尔几何中，任意一点P的度量要由一个二阶对称张量 gij 和一个不为零的标量 λ 共同确定。选定了P的 λ 的值，我们就说校准了P点矢量长度的标度。P点的坐标变换使矢量各分量经历一个线性变换，而P点的标度变换则改变矢量的长度值。仿照矢量的无穷小平行位移概念，外尔定义了矢量长度l的无穷小合同移动
D981; l = d l+ ld981; = dl + l 981;i dxi = 0。
假定我们校准了P的标度，那么P点矢量长度l在无穷小合同移动时的变化为
dl = 8722; ld981; = 8722; l 981;i dxi ，
981;i 称为长度联络系数。这样，外尔几何中度量关系由两个基本型
ds2 = gij dxi dxj ，d981; = 981;i dxi
共同确定。在坐标变换下，两个基本型不变。在标度变换 λ(x) 之下，
gij → λ(x) gij ，981;i → 981;i 8722; 8706;i lnλ(x) 。
同样，仿照黎曼截面曲率，可以在外尔几何中引入长度曲率，即：矢量长度沿两个线元d 和 δ 张成的平行四边形合同移动并回到起点时所经历的变化。外尔又称其为“线段旋度”(Streckenwirbel)（【5】, 21），并且表明
Δ l = 8722; l Δ981; = 8722; 1/2 l Fik Δxik ，
其中
Fik = 8706;i 981;k 8722; 8706;k 981;i 。
正如黎曼空间中截面曲率为零是欧氏空间的标志一样，长度曲率为零，或者说长度联络1形式是一个恰当形式（ω = d981; = 8722; d lnλ(x)，λ(x) 是流形上一个任意标度函数），是外尔空间
局部为黎曼空间的充要条件。若我们选取特殊标度 λ(x) ≡ 1，就回到通常的黎曼几何。不过，外尔没有考虑标度变换或者说规范变换的拓扑障碍问题。
外尔还证明，无穷小几何基本定理不仅适用于黎曼几何，而且适用于外尔几何。这就是说，对于外尔几何中每一个给定的度量关系 (gij , 981;k)，存在唯一的相容对称联络 wΓ。这只要把黎曼流形的列维-奇维塔联络 Γ ijk中的 8706;k gij 用（8706;k gij + gij 981;k）代替即可:
wΓ ijk = Γ ijk + 1/2 (gik 981;j + gij 981;k 8722; g jk981;i) 。
利用这个联络可以写出外尔空间的截面曲率，或外尔所称的“方向曲率”(direction curvature)Ωik αβ (【3】, 126)。
外尔几何中的张量都带有一个权重，即标度变换下乘以 λ(x) 的幂次。比如，gij的权重为 +1。Ωik αβ在标度变换之下是不变的，其权重为 0；因此其里奇张量Ωik = Ωji jk的权重也是0。但方向曲率标量
Ω = Ωii = gikΩik = R 8722; {(n8722;1) /√g} 8706;k (√g 981;k) 8722; 1/4 (n8722;1)(n8722;2)( 981;k981;k)，
（其中R是黎曼曲率标量）带有权重 8722;1。外尔指出，我们总可以适当选取 λ(x)，使得 Ω≡ 1 ，并把这样的选取的标度称为“标准标度”或“标准规范”(normal gauge) (【3】, 134)。
外尔对黎曼几何的推广，旨在建立一个统一电磁场和引力场的数学框架。我们知道，广义相对论的数学框架是广义黎曼几何，即二次度量基本式非正定的情形。类似地，外尔几何也可作这种推广，此时低维空间不再是一个度量空间，因为其上的度量形式可能是逐点甚至处处退化的。同样，长度移动的不可积性使得我们不能再用 ∫ √g dx1 dx2 … dxn 来计算体积。因此在广义度量空间中，不能计算线元、面元和体积元的绝对数值。“以此为代价”，外尔强调，
我们得到了场物理学，正如爱因斯坦所表明的那样。4维世界的度量场给出了惯性和两个自然界中固有的基本力场：重力场和电磁场。代替体积的是在一个世界区域上的作用范围。（【5】，17）
外耳的统一场论并没有获得成功，但外尔的规范变换却是今天规范场理论的前身。量子电动力学的数学框架是底流形为闵可夫斯基空间、纤维为U(1)的主丛，U(1) 作用在伴矢丛截面（即电子的几率幅函数）ψ(x) 之上，主丛上的联络系数 981;i就是电磁势。外尔几何没有进入当代微分几何的标准语汇之中，最接近于它的标准概念是以黎曼流形为底流形、正实数乘法群R+ 为结构群的主丛。使用纤维丛的术语时，我们必须把度量场矩阵（gij(x)）（含n(n+1) /2个分量）看成是相应伴矢丛的一个截面，所谓R+ 作用在度量场gij(x) 上就是作用在这个截面之上，从而长度联络可以理解为该主丛上的联络。换句话说，此时我们必须把二阶对称张量空间看成是R+的“表示空间”。
3． 流形的射影与保形结构
外尔在1921年致克莱因的一封信中为“纯粹无穷小几何”引入了射影与保形结构（【9】，GA II，W43）。流形的射影结构是从仿射结构中抽象出来的。前已述及，测地线概念完全建立在仿射联络基础之上，不需要借助度量概念来定义。在仿射联络空间中，对于给定的两个联络 Γijk和 Γijk + [Γijk]，如果任意一个矢量 ξi 沿自身方向作无穷小平移时，两者变化之差
[Γijk] ξj ξk与 ξi 本身成正比，那么这两个联络给出相同的测地线。因此，如果我们只考虑流形上的测地线，也就是只考虑仿射联络的等价类，我们就在考察流形的射影性质。外尔证明，当且仅当对于所有的矢量 ξi , 存在一组函数 ψi (i = 1, 2, … n)，使得
[Γijk] = δij ψk + δik ψj
成立时，两个联络才属于同一等价类。
类似地，外尔从流形的度量结构中提取了保形结构。流形上的两个度量gij和g，ij确定同样的长度比例和线元夹角，以及在洛伦兹情形下确定相同的光锥，如果
g，ij = λgij , λ ∈ R+ 。
度量的这种等价类关系构成度量空间的保形结构。射影几何的对象是仿射联络空间中的测地线，而保形几何的对象是度量空间中的零锥
ds2 = gij dxi dxj = 0 。
接下来外尔证明，在外尔几何中，保形性质和射影性质完全确定了外尔空间的度量关系(gij, 981;k)。在外尔空间的保形结构中，一次基本型 981;k dxk 是完全任意的。假定我们为 981;k 指定一个虚变化 [981;k] ，就可以计算出相应的仿射联络增量[Γijk]。若进一步要求流形的射影性质不变，那么 [Γijk] ξj ξk 就必须与 ξi 成正比，这就要求 [981;i] (gjk ξj ξk) 与 ξi 成正比。假定我们在P点取两个线性无关的非零矢量 ξ 和 η，那么以 [981;i] 为分量的矢量同时与 ξ 和 η 线性相关，因此 [981;i] = 0 。这就证明了保形和射影性质唯一地确定了外尔空间的度量关系 (gij, 981;k)。
外尔在1921年论文中定义了射影和保形曲率，即仿射曲率减去由相应的 [Γijk] 所引起的曲率增量。类似于欧氏空间的平坦性，外尔定义了射影和保形平坦性，即射影或保形曲率为零的空间（【9】，GA II，W43）。外尔推测，黎曼是用保形映射的函数论模型得到常曲率空间的度量的，因为这个表达式具有明显的保形平坦性。2维保形流形正是黎曼面，黎曼面虽然按定义只有角度度量，但其上可配备唯一的与角度度量相容的长度度量。在复变函数论中，黎曼是把球而不是球极投影平面作为复变量的载体。球面上的度量
ds2 = (dx12 + dx22) / (1 + x12 + x22 )2
人们是熟知的，这当然是 λ = 1的情形，而 λ = 0就是欧氏空间。黎曼还提示过常数负曲率曲面，外尔认为，很可能黎曼认识到复变量的分式线性变换与平面罗氏几何之间的关系（【6】， 30）。
在该文中，外尔还给出了利用射影平坦性来证明 λ-球是唯一的常曲率黎曼空间的方法（【9】，GA II，W43）。射影空间与度量空间的联系，是凯莱(A.Carley 1821-1895)在1859年建立的。在普通射影空间中，可以借助“绝对圆锥截面”(absoluter Kegelschnitt)
F(x,x) = aij xi xj = 0
引入凯莱度量。1871年，克莱因进一步指出了这种度量空间与非欧几何之间的关系（【8】,第三册，329-337）。在微分几何中引入射影性质，无疑是普通射影几何的进一步推广。λ-球显然可以保射影地映上欧氏空间。外尔首先证明常曲率度量空间是射影平坦的，也就是说给
仿射联络指定一个不改变射影性质的增量，从而把常曲率空间的曲率变为零。进一步，外尔证明了 λ-球是唯一的射影平坦空间，从而使 λ-球作为唯一的常曲率空间从一般度量空间中凸现出来。
外尔在1922年马德里的演讲中，还利用零锥和直线这两个概念为基础来构造4维闵可夫斯基几何的公理化体系，其基本思路是按照克莱因的爱尔兰根纲领进行的（【5】，1-8）。利用直线概念，可以把连续变换群限制为射影变换群；同样，借助零锥概念可从射影变换群中挑出相似变换群。零线元确定了三维无穷远平面以及其中的绝对圆锥截面，从不同点发出的零锥是同一个圆锥截面在各点的投影。三维无穷远平面把射影几何限制为仿射几何，绝对圆锥截面进一步将仿射几何限制为度量几何。反过来，我们也可以先从零锥概念出发。零线元把连续变换限制到麦比乌斯球变换，直线进一步将其限制为相似变换。因此，相似变换群是射影群与麦比乌斯球变换群之交。仿射变换是唯一的把有限远点变为有限远点、把无穷远点变为无穷远点的射影变换；相似变换是唯一的把有限远点变为有限远点的球变换。因此如果人们考虑的是整个无限世界，闵可夫斯基几何就可以单独建立在零线元概念基础之上，直线的概念是多余的。
外尔引入射影和保形结构，不仅有数学上的考虑，同时也有物理上的含义。在爱因斯坦流形中，闵可夫斯基几何在无穷小范围内是有效的。4维世界的直线就是质点循“引导场”运动的测地线，零锥就是从某点发出的光锥。既然射影性质和保形性质唯一地确定了度量关系（准确到一个常数 λ），那么通过观察光线和自由落体轨迹，就可以确定引力场，而无需求助于时钟和刚尺的测量。关于流形上这四种几何结构及其与物理学的关系，外尔在1931年的一篇文章中给出了一个简明图示（【9】，GA III，340）：
度 量 → 仿射联络
↓ ↓
保形特性 射影特性
(因果结构) (惯性场)
4． 空间“度量的本质”
在外尔的几何三部曲中，联系仿射联络空间与度量空间这两个环节的关键就是微分几何的基本定理：在黎曼流形或外尔流形上，存在唯一与黎曼度量gij 或外尔度量 (gij, φk)相容的无挠仿射联络 Γ 和 wΓ 。从1920年之后，外尔开始发问，这个定理的逆命题是否成立？【11】或者说，采用二次齐次微分式来定义度量的依据何在？我们能否从一个更直观的基础出发，利用自由运动的合同公理，并假设上述逆命题成立，从而说明黎曼或外尔度量假设的合理性呢？
这就是外尔所说的 “空间问题”(Das Raumproblem)。在黎曼或外尔几何中，线元的长度表示为二次齐次微分式的平方根，用外尔的话讲，就是“在无穷小范围内毕达哥拉斯定理是成立的”。外尔把这个度量假设称作“空间度量的毕达哥拉斯本质”，有时简称为“空间的本质”或“度量的本质” ( die Natur der Metrik)，因为它是与空间中点的位置无关的。在外尔的用语中，“度量的本质”是与“度量在各点的相对定向”比照而言的，后者的意思是说，
空间各点的切空间中可以作自同构线性变换，从而改变度量表达式中n(n+1)/2个项的系数。
外尔之所以考虑这个问题，旨在为他的“纯粹无穷小几何”奠立一个更牢固的、更合理的基础。我们知道，外尔的“纯粹无穷小几何”是他用来统一引力场和电磁场的数学框架，但这个统一场论先后遭到了爱因斯坦和泡利的批判【12】。面对物理学家的反驳，作为数学家的外尔仍然相信自己的理论在数学上的优越性，这就逼使他从一个更明显、更直观的、甚至在某种意义上是先验的基础出发来证明外尔几何的合理性。 那么，这个直观的、先验的基础是什么呢？黎曼本人显然没有考虑这个问题，因为这种发问方式明显带有爱尔兰根纲领【13】和希尔伯特公理化运动的性质。
在1854年的就职讲演中，黎曼确实提到过，度量也可能用四次微分式的四次方根来表示，但他对此未予考虑：
对于这个较一般的情形的研究，实际上并不要求本质上不同的方法，但这要消耗大量时间，并且不会给空间理论带来多少新的知识，特别是这样得出的结果缺少几何意义；因此我只限于研究那些能用二次微分式的平方根表示线元的流形。（【4】，9）
对于这种限制，黎曼的理由是：考虑一个绕某点O的无穷小“圆周”，该圆周上各点（按短程线量度）与O点的距离相同，因此可用一个解析函数方程
F (x1, x2, … , xn) = 常数
来表示。考虑F在O点的泰勒展开，因为F在O点具有极小值并且为0，因此其展开式必以二次项开头。所有的二次项构成一个非负二次型。如果所有的二次项皆为正，并且在高阶项退化的情形下，我们就得到“毕达哥拉斯性质”的ds2。黎曼还假定，线元的长度与位置无关，因此“度量的本质”在空间各点是相同的。按照线性代数的惯性定理，任意一个黎曼空间中各点的度量都对应于同一个标准型
ds2 = (ξ1)2 + (ξ2)2 + … + (ξn)2。
外尔的“空间问题”实际上是赫姆霍兹（H. L. F. von Helmholtz 1821-1894）和李（M. Sophus Lie 1842-1899）的空间问题的推广。赫姆霍兹和李所探讨的问题，简单地说，就是利用刚体的自由运动性和两个定向旗（oriented flag）来刻画齐性黎曼空间(【14】, 80-82)。外尔在1922年马德里讲演中，依据正交群的李代数对赫姆霍兹－李问题作了完整的阐述和严格的证明。所谓n维空间中的自由运动(合同变换)，按照外尔的叙述，
能够把一个任意点移动到任意一点，一条过某固定点的任意定向线元移动到过此点的任意一条定向线元，一个过某固定点以及过该点的固定定向线元的任意定向面元移动到任意一个这样的定向面元，如此直到(n 8722; 1)维定向元。如果某一点、过该点的定向线元、过该点及该线元的定向面元、一直到(n 8722; 1)维定向元全都保持不动，那么除了恒等变换外没有其它的合同变换。（【5】，31）
从这个自由运动公理出发，外尔证明：唯一满足这种自由运动条件的空间是黎曼球空间，唯一满足这种条件的运动群是球空间的合同变换群。
运用赫姆霍兹－李的自由运动公理只能刻画齐性空间的度量。在一般的黎曼空间或外尔空间中，矢量的平行位移依赖于路径，因此赫姆霍兹－李的运动公理是不适用的。按照黎曼
的思想和爱因斯坦的广义相对论，度量场的定量分布完全是任意的，依赖于物质的分布与变化。用外尔的话来讲，空间不是一间造好待租的标准客房，而是像蜗牛一样适应力场的结果。齐性空间与一般黎曼空间的区别，犹如晶体与流体的区别（【5】，44-45）。此时我们该如何定义一组合同公理来导出“度量的毕达哥拉斯性质”，显然是一个极为困难的问题。
外尔所选用的合同公理，归纳起来可以表述为（【3】，140-143;【5】，47-49）：
（1） 微分流形M上任意一点P处的矢量的合同变换群，即该点切空间的线性自同构变换群GP，是幺模的；在局部坐标系中，GP 8834; SL (n, R)；对于流形上任意两个不同的点P和Q，GP和GQ在GL(n,R)中相互共轭，并且都共轭于某个标准的群G 8834; SL (n, R)。
（2） 在局部坐标系 (xi) 中，点P = (xi) 的矢量 (ξi) 的无穷小合同转动定义为：
DAξi = dξi + Aijk ξj dxk = 0，或dξi = 8722; Aijk ξj dxk，这里Aijk dxk是GP的无穷小元素（即取值在其李代数g 上的微分形式）。
（3） 在局部坐标系 (xi) 中，点P的矢量 (ξi) 的无穷小合同移动定义为：
DΛξi = dξi + Λ ijk ξj dxk = 0，即dξi = 8722; Λijk ξj dxk ，Λijk 称为度量联络 (metrischer Zusammhang) 系数。两个度量联络Λ1和Λ2称为相对于无穷小合同转动是等价的，如果 Λ1 - Λ2 = A ∈ g。
上述公理旨在为流形M上同一点以及不同点的切空间中的向量提供一个比较的途径。外尔的目标是证明，公理（1）中的G同构于带有符号差的正交群SO（n, n-k）。为此，外尔在上述公理的基础上添加了一个核心假设：
（4） 在度量联络的等价类 [Λ] 中，存在唯一的一个无挠仿射联络 Γ。仿射联络确定矢量平行位移时的方向变化，在局部坐标系 (xi) 中，矢量 (ξi) 的无穷小平行位移定义为DΓξi = dξi + Γ ijk ξj dxk = 0，即dξi = 8722; Γijk ξj dxk ( Γijk = Γikj )。因此，任意一个度量联络 Λ 可以表示为 Λ ijk = A ijk + Γ ijk，Λ ijk在 n3 维欧氏空间中任意取值。
公设（4）实际上就是度量几何的基本定理：在“度量的本质”所容许的自由范围之内，无论度量场取何种定量形式，总是唯一地确定了仿射联络。在度量几何中，“度量的本质”，即带有确定符号差的二次标准型，是先验的、不变的；随意变化的只是各点度量式相对于标准型的一个线性变换，或者说“空间中各点度量的相对定向”。但在这里，“度量的本质”是由群G来刻画的，“度量的相对定向”即所有的GP都相互共轭。 外尔把“度量的本质”比作国家的宪法，“度量的相对定向”比作公民在宪法所容许的范围之内享有的个人自由。宪法是对全体国民具有约束力的法律，但宪法的本质是最大限度地保障全体的福利。
在空间的王国，具有约束力的国家大法就是度量的本质，公民的自由即空间中各点度量取不同相对定向的可能性；那么什么是“全体的福利”呢？只要人们留意一下无穷小几何的构造及其在广义相对论中的应用，不难发现一个关键性的事实, … 即，仿射联络是由度量场所确定的；在我看来，这就触及时空王国内“全体的福利”。（【5】，46）
回过头来看一下公理（1）至（3）不难发现，外尔所构造的实际上是一个纤维丛GM，其典型纤维是G，结构群为G在GL(n, R) 中的正规化子
N (G) = { g ∈ GL(n, R)9168; h·G·h8722;1 = G }。
与这个丛相伴的主丛就是主- N (G) 丛。如果我们把度量联络 Λ 看作是主标架丛 P(M, GL(n,R))上的联络，那么公理（1）表明它可以约化到主- N (G) 丛上。若只考虑度量联络的等价类，则进一步可约化到主- H丛上，H = N (G)/G。所谓“度量的本质”，即群G的性质；“度量在各点的相对定向”，即GP在SL(n, R) 内连续地变化【15】。
为证明G共轭于（伪）正交群；外尔将问题转换为，证明G的李代数的复化同构于复正交群的李代数。上述公理表明，“度量的本质”在空间各点是相同的，都是由共轭于G的群GP所确定的。但“度量的相对定向”在各点是不同的，这就是说GP之间相互共轭，并且在SL(n, R) 内连续地变化，这对应于外尔所说的“在宪法范围内公民享有的最大自由”。按照这个“自由原则”，(Λijk) 可以取任意值，或者说，其参数空间是n3 维的。但另一方面，我们还有一个“限制原则”，“最大限度地保障全体福利”的原则。按照这个原则，在无穷小合同移动的等价类中，只有唯一的一个无穷小合同移动同时也是一个无穷小平行位移：
Λ ijk = A ijk + Γ ijk。
我们知道， 仿射联络系数 Γijk 的自由度为n (n + 1)/2，假设无穷小合同移动 Λ 的矩阵Aij 的自由度为N，那么
n3 = 1/2 n2(n+1) + nN 8658; N = 1/2 n(n 8722;1) 。
再者，若 Λijk 为零，那么由唯一性可知 Γijk 必为零，故
Γijk = - Aijk 8658; Aijk = Aikj 8658; Aijk = 0 。
此外，由
det (Exp A) = eTr A
不难看出，作为G 8834; SL(n, R)的李代数g的元素，Tr A = 0 。
因此，合同转动群G的李代数g有下述三条性质（【3】，146；【5】, 51-52）:
(a) A ∈ g 8658; Tr A = 0 ；
(b) dim g = 1/2 n(n 8722;1) ；
(c) Aijk = Aikj (Aij ∈ g ) 8658; Aijk = 0 。
外尔于是猜想，满足上述性质的李代数g同构于正交群SO(n, n8722;k; R) 的李代数。只要证明了这个猜想，那么推广的空间问题就彻底解决了。也就是说，在满足外尔合同公理和基本假设的流形上，存在一个外尔度量关系 (gij , 981;k)。SO(k, n8722;k; R) 确定了一个处处非退化的二次型gij dxi dxj（准确到一个常数）。长度联络可以这样来确定：若无穷小平行位移dξi = 8722; Γijk ξj dxk 保持矢量的合同性质不变，那么
d (gij ξi ξj) = 8722; (gij ξi ξj) d981; ，
这里d是平行位移引起的增量，d981;与矢量 ξ 的选择无关。将上式展开，得：
8722; dgij + gik Γkjl dxl + gjk Γkil dxl = gij d981; ，
故d981;必与位移量 (dxi) 呈线性关系：
d981; = 981;k dxk 。
正交群SO(n, n8722;k; R)的李代数显然满足 (a) 8722; (c) 三条性质，但在缺乏李代数工具的情形下，要证明外尔的猜想绝非易事。为绕过符号差引起的困难，外尔从实数域延拓到复数域，即证明李代数g的复化同构于复正交群SO(n, C)的李代数。1921年，外尔在《空间－时间－物质》第四版中声称，他已对n = 2和3的情形得出了证明。次年，外尔在“毕达哥拉斯度量的唯一性”这篇论文中发表了一般证明（【9】，GA II，W49）。这是一个冗长而精致的证明，基本思路是首先证明n = 1, 2, 3时成立，接下来把矩阵分块并分类型考虑，整个过程占了整整26页，以致人们把它叫做“走钢丝表演”。1923年，外尔在巴塞罗纳和马德里的演讲中对此证明作了一定的简化（【5】, 53-61, 88-112）。
后语
上述定理的证明不但是外尔对黎曼几何思想系统发掘的顶峰，同时也是外尔数学生涯中一个重大的转折点。外尔的《空间、时间与物质》第四版于1922年译成法文。外尔对黎曼几何的一系列拓展，特别是仿射联络概念和“空间问题”的群论分析，很快就抓住了嘉当的注意力。针对外尔的空间问题，嘉当做了一点小小的、然而却是意义重大的修改：他用一个任意的齐性空间来取代原来的流形上各点的切空间。按照克莱因的爱尔兰根纲领，该齐性空间可以由某个连续变换群G来刻画，因此嘉当又称其为“G－空间”。嘉当研究的对象，所谓广义空间，是在流形M的每一点P上附着一个齐性空间RP，RP的维数n不必与M的维数m相同。这正是现代的纤维丛概念。在嘉当的广义空间中，可以自然地引进联络和曲率的概念。从P = (xi) 到P’= (xi + dxi) 的一个无穷小“线性输运” (lineare Übertragung) 定义为
dξi = 8722; Λijkξjdxk (ξi ∈ RP)。
当空间RP沿由P点发出的一条闭曲线C线性输运并回到P点时，终态RP与初态RP相差一个属于群G的变换tC。若我们取C为一个无穷小平行四边形，就得到类似的黎曼曲率。进一步，嘉当假设在G－空间上存在唯一的无挠联络。在这个基本前提下，嘉当运用单李代数的分类知识成功地证明了：G的李代数的复化共轭于复正交群的李代数 so(n, C)。这项工作还导致嘉当对齐性空间按照单李群的分类做出了完备的描述。
嘉当的广义空间概念给外尔留下了极为深刻的影响。在外尔1925年撰写的长文《黎曼几何思想》中，嘉当的这一概念是以压轴戏登场的。引用外尔的话说，
这一开端是如此普遍，以致可以容纳任意的群；对附属齐性空间而言，爱尔兰根纲领的整个原野向其敞开。此外，嘉当的研究不单涉及流形本身；毕竟，切空间无论如何已经是一个带中心的仿射空间，不过也因此从一开始就只涉及全线性群，而不涉及像射影和保形变换这样更广泛的群。… 嘉当的广义结构的数学意义在于：在能够建立一个类似于黎曼空间的曲率理论的范围之内，它达到了自然地推广该理论所能达到的最大限
度。（【6】，39）
嘉当的广义空间概念把黎曼几何思想与克莱因的爱尔兰根纲领融合为一体，从而包容并取代了自广义相对论发表以来人们对黎曼几何的种种拓展。随着嘉当影响的逐渐扩大，外尔关于联络与度量的思想渐渐被人们遗忘了。但在1930年以前，在当代的大数学家中，大概只有外尔和庞加莱认识到嘉当的重要地位【16】。外尔不仅认识到嘉当广义空间概念的重要性，更为嘉当发展的李代数工具所折服。外尔1925年3月22日致嘉当的信中写道：
自从与广义相对论打交道以来，您关于连续群的工作给我带来的激动和欢乐，没有任何东西可与之相比。（【17】, 54）
对外尔而言，这并非溢美之词。嘉当所证明的结论不仅比外尔的定理更为普遍，同时还显示了李代数方法所具有的强大威力。在嘉当思想的刺激之下，外尔在1924年从微分几何领域转向了李群理论的研究，并迎来了自己数学生涯的巅峰时刻。1925－1927年外尔所发表的一系列关于李群线性表示理论的论文，特别是“半单连续群的线性表示理论，I－III及补篇”（【9】，GA II，W68）和“闭连续群不可约表示的完备性”（【9】，GAIII，W73）这两篇开山之作，无疑是20世纪数学史上最有份量的文献之一。外尔在群论方面的工作，业已超出了本文的范围。
致 谢 本文是在笔者博士论文《赫尔曼·外尔关于空间问题的数理分析和哲学思考》第一部分基础上修改而成的，作者特别感谢导师刘钝研究员的悉心指导。在博士论文写作过程中，德国乌珀塔大学数学系E. Schloz教授和马克斯·普朗克科学史研究所S. Sigurdsson博士先后惠寄了许多资料，这些资料对于作者理解外尔的思想多有帮助。本文修改过程中，笔者参考了胡作玄研究员所提的建议，在此一并致谢。
参考文献
【1】 Jean Dieudonné, Hermann Weyl, in Dictionary of Scientific Biography, ed. in chief by Charles C. Gillispie, vol. XIV, pp.281-285, 1976.
【2】 S. Sigurdsson, Unification, Geometry and Ambivalence: Hilbert, Weyl and the Göttingen Community, in Trends in the Historiography of Science, ed. by K. Gavroglu, etc., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1993.
【3】 Hermann Weyl, Space Time Matter, translated from 4th edition by Henry L. Brose, Methuen, London, 1922; Dover, New York, 1950.
【4】 Hermann Weyl, Kommentar zu Riemanns 8222;Über die Hypotheses, welche der Geometric zu Grunde liegen“. J. Springer, Berlin , 1919.
【5】 Hermann Weyl, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesung gehalten in Barcelona und Madrid, Wissenchaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1977.
【6】 Hermann Weyl, Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkung und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie. Written in 1925 for an edition of Lobatchevsky’s work planned in the USSR. Herausgegeben von K. Chandrasekharan, ETH Zürich und Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1988.
【7】 David E. Smith(ed.), A Source Book in Mathematics, vol. 1-2, Dover, New York, 1959.
【8】 M. 克莱因，《古今数学思想》，第3－4册，北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1980－1981。
【9】 Hermann Weyl, Gesammelte Abhandlungen Herman Weyl, Band I-IV. Hrsg. von K. Chandrasekharan, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1968.
【10】 E. Scholz, Hermann Weyls Contribution to Geometry, 1917-1923, in The Intersection of history and mathematics, ed. by J. Dauben etc., Basel 1994, 203-230.
【11】 Jürgen Ehlers, Hermann Weyl’s Contribution to the General Theory of Relativity, in Wolfgang Deppert (Hrsg.) Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel, 1985. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main, 1988, pp. 83-106.
【12】 W. 泡利，《相对论》，凌德洪、周万生译，上海科学技术出版社，1979。
【13】 菲利克斯·克莱因， “关于现代几何学研究的比较考察”，何绍庚、郭书春译，《数学史译文集》，科学史所数学史组和数学所数学史组编，上海科学技术出版社，1981。
【14】 George Temple, 100 Years of Mathematics, Duckworth, London, 1981.
【15】 E. Scholz, Weyl and the theory of connections, in The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, ed. by Jeremy J. Gray, Oxford University Press, 1999, 260-284.
【16】 Jean Dieudonné, Élie Cartan, Dictionary of Scientific Biography, ed. in chief by Charles C. Gillispie, vol. III, pp. 95-96, 1971.
【17】 Armand Borel, Hermann Weyl and Lie Groups, in K. Chandrasekharan(ed.), Hermann Weyl, 1885-1985, Centenary Lectures delivered by C. N. Yang, R. Penrose, A. Borel at the ETH Zürich, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1986, pp. 53-82.
Hermann Weyl’s Generalization about Riemann Geometry
Abstract Based on the first-hand materials, this article mainly focused on Hermann Weyl’s systematical elucidation and significant generalization about Riemann geometry during the year 1917-1923, including the intrinsic definition of affine connection, the foundation of purely infinitesimal geometry, the introduction of projective and conformal structure, and group analysis of the nature of metric space. Partly because Weyl’s generalization did not enter into modern nomenclature of differential geometry, Weyl’s contribution has almost been buried in oblivion. But the author argued that Weyl’s work in this field was not only an important historical linkage from Riemann geometry to fiber bundle but also a main incentive for his research diversion from analysis to Lie group.
Key words Riemann geometry, affine connection, Weyl metric, projective and conformal structure, the nature of metric space.