费曼 条路径对总概率波幅所贡献的概率是相同的，但是各路径的概率波幅的相位不同，概率波的相位与经典力学中作用量S成正比

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大波大

费曼的观点是，粒子走各种路径的可能性都是存在的，对应a、b两时空点之间的每条路径r(t)都有一概率波幅Φ［r(t)］(概率波幅的绝对值平方｜Φ［r(t)］｜2反映概率)，对各路径均应等权地加以考虑.粒子从时空点a出发到达时空点b的概率波幅是连接a、b两点之间所有路径的概率波幅之和∑Φ［r(t)］.每条路径对总概率波幅所贡献的概率是相同的，但是各路径的概率波幅的相位不同，概率波的相位与经典力学中作用量S成正比，

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在工科物理中引入费曼路径积分理论--zz

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2003-11-20
白衣

我见青山多妩媚，料青山见我应如是。
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大学物理
COLLEGE PHYSICS
2000　Vol.19　No.4　P.38-41


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在工科物理中引入费曼路径积分理论

周佩瑶　孟湛祥　陈宜生

摘要：用费曼的路径积分理论来表述量子力学，将经典力学作为S>>的极限情况纳入量子力学的理论框架.
关键词：工科物理；路径积分；量子力学；传播函数
中图分类号：O 413.1　　　文献标识码：B
文章编号：1000-0712(2000)04-0038-04

Introduction of Feynman's path integral theory into engineering physics

ZHOU Pei-yao,MENG Zhan-xiang,CHEN Yi-sheng
(Department of Physics,Tianjin University,Tianjin,300072,China)

　　Abstract:Expressing quantum mechanics with Feynman's path integral theory,the classical mechanics is bringed into the theoretical frame of quantum mechanics as a limiting case of S>>.
　　Key words:engineering physics;path integral;quantum mechanics;propagator

　　美国Carnegie Mellon大学的Edwin F.Taylor教授在接受美国物理教师协会(AAPT)1998年颁发奥斯特奖大会上说：“应用费曼以最小作用量原理为基础的路径积分方法，在经典力学和量子力学之间过渡不再有任何困难…….费曼站在宇宙之上宣布一个命令：探测所有的路径.这是如此简单，以致于每个粒子均可遵循…….但是世界上的各大学，就在费曼提出见解50年以后的今天，仍然在用老的方式教学生学习经典力学，用薛定谔波动力学去学习量子力学，以致于无法鉴赏费曼的路径积分法的简易，费曼的方法既省时间又省力…….”
　　量子力学是近代物理学的两大理论基石之一，量子力学的建立和发展导致许多新技术的产生.但是在传统的工科物理教材中，量子力学却被作为“机动”内容置于全书尾部.如何提高量子力学在教材中的地位，使之成为认识和阐明物理现象本质的基本理论，这是一个值得探索的问题.下面仅就在工科物理中引入费曼的路径积分理论谈谈我们的看法.

1　使学生能从量子力学的高度来理解经典力学的基本规律

　　在经典力学中，用坐标和动量来描述宏观粒子在某一时刻的状态.在时空坐标中，当粒子从时空点a(r1,t1)到达时空点b(r2,t2)时，a与b两点之间有许多通道，而宏观粒子只走使作用量S取极小值的路径.这就是经典力学中的最小作用量原理.为什么宏观粒子只选择走使作用量S取极值的路径呢?经典力学回答不了这个问题，认为自然界的规律就是如此.费曼的观点是，粒子走各种路径的可能性都是存在的，对应a、b两时空点之间的每条路径r(t)都有一概率波幅Φ［r(t)］(概率波幅的绝对值平方｜Φ［r(t)］｜2反映概率)，对各路径均应等权地加以考虑.粒子从时空点a出发到达时空点b的概率波幅是连接a、b两点之间所有路径的概率波幅之和∑Φ［r(t)］.每条路径对总概率波幅所贡献的概率是相同的，但是各路径的概率波幅的相位不同，概率波的相位与经典力学中作用量S成正比，即

　　(1)

与路径r(t)相对应的作用量为

　　(2)

式中L为拉格朗日函数.对于单粒子体系，在保守力场中，拉格朗日函数为

　　(3)

若路径r(t)确定，L有一确定的表达式，根据式(2)可以求得相应的作用量S［r(t)］.路径变化，作用量S也随之变化，即不同的路径对应于不同的作用量，因而概率波幅的相位S/因不同的路径而异.在微观领域，由于作用量S与普朗克常量可以相比拟，因此，各路径的概率波幅(概率波)叠加产生了干涉效应；在宏观领域，作用量S与普朗克常量?相比就显得太大了.设在时空坐标中对于a、b两点之间，存在宏观上可区分的两条路径(如图1)，其中路径1的作用量为S，路径2的作用量为S+δS.由于δS>>，因此，路径2与路径1两概率波幅的相位差δφ=(δS/)>>1，从而使概率波幅



的实部和虚部值在+1与-1之间急速振荡，致使当一条路径给出一个正的贡献时，而另一条路径给出一个等量的负贡献，因此，在宏观上两条十分靠近的路径因概率波幅反相位而干涉相消，净贡献为零.但是对于作用量取极小值Sc的路径rc(t),其邻近路径的作用量变化很小，趋于零(δS→0)，于是与rc(t)相邻近的路径的概率波幅的相位几乎都相同，即(Sc+δS)/≈Sc/,叠加得到加强.因此，远离rc(t)的其它路径对总的概率波幅几乎无贡献，只有在作用量S取极值邻近的路径对总的概率波幅才有重要贡献，这里指的邻近范围(δS→0),在宏观上是极小的，可以将它们看作是一条宏观路径，即宏观粒子走S取极小值的路径的概率几乎是100％.这就是为什么宏观粒子总是受最小作用量原理支配，沿一特定路径运动的缘由.根据最小作用量原理很容易求出经典粒子运动的路径，即运动方程.






图1

　　例如，一质量为m的粒子在保守力场中运动，其势能为V(x)，拉氏函数为

　　(4)

相应的作用量为

　　(5)

根据最小作用量原理



得



由于在t=t1和t=t2两端点δx为零，上面方程中第一项为零.因此在作用量取极小值的路径上，满足下面的拉格朗日方程：

　　(6)

将式(3)代入式(6)，即可得到牛顿方程

　　(7)

可见，在费曼的路径积分理论中，经典力学是在作用量S>>情况下的一种极限理论.

2　用费曼的路径积分理论来处理微观粒子的干涉(或衍射)既方便又直观

　　上面已讨论，一个经典粒子(只考虑一维运动)从时空点a(x1,t1)到达时空点b(x2,t2)总是沿最小作用量原理所指示的轨道运动，而对一个微观粒子，提及从a点沿某一特定路径x(t)到达b点是毫无意义的，因为在a、b二时空点之间每一条路径对总的概率波幅都有贡献，粒子从一个确定的时空点a出发，到达时空点b的概率波幅等于a、b二点之间沿所有路径的概率波幅的总和，即

K(x2,t2;x1,t1)=∑Φ［x(t)］　　(8)

式中K(x2,t2;x1,t1)就是费曼路径积分理论中的传播子(kernel),即传播函数，其定义式为

Φ2(x2,t2)=∫K(x2,t2;x,t1)Φ1(x,t1)dx　　(9)

上式表示，传播函数K作用在t1时刻的概率波幅Φ1上，得到t2时刻的概率波幅Φ2.若粒子在t1时刻从x1点出发，即Φ(x,t1)=δ(x-x1)，则式(9)简化为

Φ(x2,t2)=K(x2,t2;x1,t1)

可见，传播函数K就是粒子从时空点a(x1,t1)转移到时空点b(x2,t2)的概率波幅，因此，求粒子在某一时刻在空间某一位置的概率波幅，在费曼路径积分理论中就是求传播函数问题.由于a、b两点之间的各种可能的路径是连续变化、不可数的，因此，在式(8)中对a、b两点之间所有路径概率波幅求和就成了对所有连续变化路径的积分 ，故称为路径积分，即

　　(10)

上面的积分是对给定的始点(x1,t1)和终点(x2,t2)之间一切连续变化的路径求积分.根据式(10)可以求得一质量为m的自由粒子从a(x1,t1)点到达b(x2,t2)点的传播函数为

　　(11)

　　下面仅以单电子的双缝干涉为例(减弱电子束强度，让电子一个一个相继通过狭缝)，来说明用费曼路径积分法处理粒子干涉态的方便、直观.参见图2，在双缝干涉装置中，缝S1和缝S2很窄，故不考虑缝的宽度，设两缝之间的距离为a.






图2

　　一自由粒子沿x轴正方向运动，假设t=0时刻通过缝，于t时刻到达观测屏上P点的概率波幅为Ψ(y,t)，它等于从缝S1到P点的传播函数K1(y,t;,0)和从缝S2到P点的传播函数K2(y,t;-,0)的叠加，即

Ψ(y,t)=K1(y,t;(a)/(2),0)+K2(y,t;-(a)/(2),0)　　(12)

根据式(11)得传播函数

　　(13)

令，且因D>>a，可作如下近似处理：

　　(14)

将式(14)代入式(13)，分别得：

　　(15)

将上式代入式(12)，即可求得电子到达观测屏上P点的概率波幅



式中



概率波幅的绝对值平方反映粒子在空间的概率分布，于是求得在观测屏上电子的概率分布函数为

(16)

当上式满足条件



时，电子概率波干涉得到加强，即



得



上式就是电子双缝干涉加强的位置，与光学中的杨氏双缝干涉加强位置的表达式完全相同.

3　应用费曼路径积分理论可以很方便地说明A-B效应

　　若在图2所示的电子双缝干涉装置中的缝S1和S2中部放一平行于双缝的长直螺线管L(如图3(a)所示).实验发现，螺线管通电时观测屏上干涉条纹相对不通电时的干涉条纹产生了位移δAB(如图3(b)所示)，即零级的干涉极大不再位于y=0处，这说明由于通电螺线管的引入，致使来自缝S1和S2概率波的相位差发生变化，即产生一个附加相位差.这种现象最先是由Aharonov和Bohm于1959年预见的，故称之为A-B效应.由于磁场只局限在螺线管内部，在电子的活动区域并无磁场(B=0)，因此，A-B效应是磁矢势A所产生的一种物理效应.下面用费曼路径积分理论加以说明.
　　由于引入通电的螺线管，在电子的运动区域磁矢势A≠0，因此，拉格朗日函数为

　　(17)

而与路径r(t)相对应的作用量为



式中S0是A=0时的作用量.因此，在有矢势A的区域，电子从时空点a沿某一路径到达时空点b的概率波幅应等于无矢势(A=0)情况下，电子沿同一路径的概率波幅乘以因子.故在双缝装置中引入通电螺线管后，从缝S1和S2到达观测屏中心点(y=0)的传播函数分别为：






图3

　　(18)

式中r1=r2=r,将上式与式(15)对比，可以看出，在引入磁场以前，在y=0处，K1和K2的相位差为零，该处为零级极大位置.引入磁场以后，在y=0处，K1和K2存在如下附加相位差：

　　(19)

式中S是A的环流所围面积，Φ是通过这个面的磁通量.因此，干涉图样沿y轴发生平移.在零级极大位置K1和K2的相位差为零，即



由于D>>a,



故零级极大位置移至



由于电子带负电，当磁场方向向外时，干涉条纹向上平移，反之则向下移动.
　　上面讨论的是磁矢势A引起的电子概率波相移.应用费曼路径积分理论还可以定量地分析静电势所致的A-B效应及超导量子干涉效应、介观体系中的A-B效应等等这些靠近前沿领域的课题.但是费曼路径积分理论的核心是求传播函数，即对所有路径求积分，这是将该理论引入教学中的一个难点.而Edwin F Taylor教授说：“费曼原来的对所有路径求和方法是采用困难的数学形式去实现，但是这种形式现在可升华为计算机辅助，让学生去对可能的路径取样.”

周佩瑶(天津大学物理系，天津　300072)
孟湛祥(天津大学物理系，天津　300072)
陈宜生(天津大学物理系，天津　300072)

参考文献：

［1］费曼R P，希布斯A R.量子力学与路径积分［M］.北京：科学出版社，1986.42.
［2］费曼R P等.费曼物理学讲义　第二卷［M］.上海：上海科学技术出版社，1983.175～179.
［3］费曼R P等.费曼物理学讲义　第一卷［M］.上海：上海科学技术出版社，1989.296.
［4］Edwin F Taylor.The Boundaries of Nature:Special and general relativity and quantum mechanics,a second course in physics［J］.Am J Phys,1998,66(5):369～376.
［5］曾谨言.量子力学　卷Ⅱ［M］.北京：科学出版社，1993.59.




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我见青山多妩媚，料青山，见我应如是。


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2007-01-28 01:41 第 1 楼 回复 | 引用 | 编辑 | | Top


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