能参与电磁相互作用的物体叫做电荷

第六章 静电场
◆ 本章学习目标
1、深刻理解电场强度和电势的概念，掌握电场强度和电势的计算方法。
2、掌握高斯定理及其应用。理解静电场的场强的环路定理。
3、了解导体和电介质与电场的相互影响。初步掌握有关电容和电场能量的基本知识。
◆ 本章教学内容
1、静电的基本现象和规律
　　1.1 物质的电结构、电荷守恒定律、基元电荷
　　1.2 库仑定律、点电荷、真空电容率
2、电场 电场强度
　　2.1 静电场
　　2.2 电场强度
　　2.3 电场强度的叠加原理
3、高斯定理
　　3.1 电场线
　　3.2 电通量
　　3.3 高斯定理
　　3.4 高斯定理的应用
4、电势
　　4.1 静电场力的功
　　4.2 静电场场强的环路定理
　　4.3 电势差与电势、电势的叠加原理
　　4.4 等势面
　　4.5 电荷在外电场中的静电势能
5、静电场中的导体
　　5.1 导体的静电平衡条件
　　5.2 静电平衡的导体的性质
　　5.3 电容器、孤立导体的电容、电容器的电容、简单电容器电容的计算
6、电介质
　　6.1 电介质的极化、电介质极化的微观机制、分子的电矩、极化电荷
　　6.2 有电介质时的高斯定理、电位移矢量
7、静电场的能量
　　7.1 电容器储能
　　7.2 电场的能量、电场能量密度
◆ 本章重点
高斯定理和场强的环路定理；电场强度和电势的概念及计算。
◆ 本章难点
电场的微积分计算
场强与电势的基本概念
静电平衡与静电屏蔽
电介质的极化机制、电位移矢量
电场能量及其计算
◆ 本章学习方法建议及参考资料
努力掌握电场相关量的微积分计算方法。

§6.1 静电的基本现象和规律
6.1.1 电荷及其守恒
一、什么是电荷？
能参与电磁相互作用的物体叫做电荷。
二、电荷的分类
实验发现，自然界的电荷分为两种类型—正电荷和负电荷。根据现代物理学关于物质结构的理论，我们知道构成物体的最小单元--原子是由原子核和电子所构成的。将电子束缚在原子核周围的力是电磁相互作用力。因此，我们规定电子是带负电荷的粒子，而原子核中的质子是带正电荷的粒子。宏观物体失去电子会带正电（即正电荷），物体获得额外的电子将带负电（即负电荷）。
三、电量及其单位
物体带电的多少或参与电磁相互作用的强弱叫电荷的电量，电量的单位是库仑（C）。一库仑的电量规定为一安培的电流在一秒钟的时间内流过导线横截面的电量，即：
　　1C=1A•1S。
电量是标量，有大小和符号。
四、电荷守恒
实验指出，对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则该系统的正、负电荷的电量的代数和将保持不变，这一个自然规律就叫电荷守恒定律。现代物理学的很多实验都证明了电荷守恒定律。例如，一个高能光子受到一个外电场影响时，该光子可以转化为一个正电子和一个负电子（这叫电子对的产生），其转化前后的电荷电量的代数和都为零；而一个正电子和一个负电子相遇时就会湮灭成光子，前后的电量代数和仍然为零。
实验证明，一个电荷的电量与它的运动状态无关。这叫做电荷的相对不变性。这个结论告诉我们，不同的参照系对同一个电荷的电量的描述是完全一样的。
五、电荷的量子性
实验证明，在自然界中，电荷的电量总是以一个基本单元的整数倍出现，电荷的这个特性叫做电荷的量子性。电荷的基本单元（基元电荷）就是一个电子所带电量的绝对值：1e=-1．602×10-19C。任何物体所带电量一定是基元电荷的正负整数倍。微观粒子所带的基元电荷的数目(正整数或负整数)也叫做它们各自的电荷数。现代物理学理论认为基本粒子中的强子是由若干种夸克或反夸克组成，而夸克或反夸克带有±e/3或±2e/3的电量。然而，粒子物理学本身要求夸克不能单独存在，高能物理实验也没有发现自由的夸克。因此，电荷的量子性仍是一个得到认可的科学结论。
由于电磁学理论主要是讨论宏观电磁现象，所涉及到的电荷数通常是基元电荷的许多倍。从微观上看，这些基元电荷离散地分布在物体内。但从宏观上看，可以认为电荷连续地分布在带电物体上，而忽略电荷的量子性所引起的微观起伏。犹如宏观上看到的水是连续的，而微观上我们知道水是由一个个水分子组成的，水分子之间是有空隙的。宏观上对电荷的这种连续性处理非常有利于使用微积分方法来计算电场。
六、点电荷的概念
在后面的分析中经常用到点电荷这一概念。点电荷是一个理想模型，它是一个没有形状和大小而只带有电荷的物体。当一个带电体本身的线度比所研究的问题中涉及的距离小很多时，该带电体的形状对所讨论的问题没有影响或其影响可以忽略，该带电体就可以看作一个带电的点，即点电荷。点电荷是一个相对的概念，至于带电体的线度比相关的距离小多少时它才能当作点电荷，要看问题所要求的精度而定。在宏观意义上讨论电子、质子等带电粒子时，完全可以把它们视为点电荷。

6.1.2 库仑定律
一、库仑定律的文字表述
法国物理学家库仑利用扭枰实验直接测定了两个带电球体之间的相互作用的电力（或叫库仑力）。在其实验的基础上，库仑确定了两个点电荷之间相互作用的规律，即库仑定律。它可以表述为：在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们电荷电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线并且同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。
二、库仑定律的数学表述及其约定
如下图所示，有两个点电荷，其电量分别为 和 ，设矢量r由 指向 ，则 所受的库仑力为：

点电荷之间的库仑力

　　
式中r是矢量r的大小即两个点电荷之间的距离， 是矢量r的单位矢量，即 。而k为比例系数，可由实验确定，其数值和单位取决于上式中各量的单位，在国际单位制中：
　　
通常在练习题的计算中取它的近似值 。
在电磁学大量的公式中都会出现 这个因子，为了方便，我们把这个因子定义为一个新的常数并用 来表示它，即
　　
叫做真空介电常量，或真空电容率，它是电磁学的一个基本物理常数。用 代替k后，注意到 ，因而库仑定律的数学表达式改写为：
　　
从库仑定律的数学表达式可以看出，当 和 同号时其乘积大于0， 的受力方向与r同向表示排斥力，反之则是吸引力。因此，上面的数学表达式不仅表示了库仑的大小而且也表示了库仑力的方向。根据定律的约定，如果要计算 对 的库仑力只需将r反向即得。在这个意义上讲，库仑定律给出的库仑力仍然满足牛顿第三定律，即作用力与反作用力大小相等方向相反。
近代物理学实验证明，库仑定律在两个点电荷的距离很大或很小时都是成立的，这说明库仑力是一种长程力。可以认为r在0到∞的范围内，库仑定律都成立。
§6.2 电场、电场强度
6.2.1 静电场的概念
一、电场是怎样提出来的
我们知道，两个点电荷之间存在着相互作用的库仑力。深入分析这种力与经典力学中其它力，如弹力、张力的差别，对掌握电磁理论具有重要的意义。例如，力学中物体受绳子的拉力时，绳子与物体是有接触的；一根木棒顶着一个重物，物体所受的支持力也是因为它与木棒有接触。而一个电荷对另一个电荷的库仑力，则是在两个电荷没有接触的情况下发生的。在早期，人们把这种没有接触就发生的相互作用叫超距作用。当用超距作用的观点来解释电磁现象时会遇到困难。为了克服这个困难，法拉第最早提出了场和力线的概念试图解决电荷间相互作用力的传递问题。其基本的观点是：电荷与电荷之间的相互作用不是超距离的，而是近距离的；一个电荷之所以对另一个电荷有作用力是因为电荷要产生一个场，当其它电荷处于这个场中时这个场就对其有作用力，如下图所示。电荷作为电场的源，常称为场源电荷。法拉第的这个观点，完全为其后的科学实验和理论所证实。

如果电荷是静止的，则空间就只有电荷产生的电场，称为静电场。
二、电场的本质和特点
静电场是由电荷产生或激发的一种物质，静电场对处于其中的其它电荷有作用力。静电场的物质性是大家要理解的重点。经典物理学中没有自作用的概念，某个电荷所激发的静电场对这个电荷本身没有作用力，我们所谈到的作用力都是指对处于其场中的其它电荷的作用力，这就是静电场的特点。
三、电场力
根据静电场的观点，我们所观察到的两个电荷之间的相互作用力实质上是电场的作用力，库仑力不再是一个恰当反映实际的概念，因此，我们将用电场力来称呼电荷在电场所受的力。
四、关于什么是场
场既是一个数学概念也是一个现代物理学中的重要概念。数学认为在某一个空间内的每一点处都定义了一个量就是一个场，这量是矢量就是一个矢量场，是一个标量就是一个标量场。现代物理学认为，自然界中的万事万物都是由各种各样的场组成的，粒子和场是等价的，是物质性的。但在经典物理学中场与粒子是有区别的。在经典物理学看来，场具有空间兼容性，即不同的场可以同时在同一个空间区域内存在。而粒子是具有空间排斥性的，即不同粒子不能同时占据同一空间区域。场的空间兼容性将导致场的可叠加性，我们将在后面予以介绍。
五、静电场相关的问题有那些？
静电场概念的提出，同时也就提出了如下问题。电荷以什么样的规律产生电场？电场作用于其它电荷的力该怎么计算？静电场有什么样的特点？这些问题的回答就是后面的学习内容。

6.2.2 电场强度
一、怎样定量描写静电场？
要从理论上研究静电场的性质和特点，首先应该定义一个物理量来定量描写静电场。众所周知，描写一个事物要抓住事物的特点。静电场的特点是它对其它电荷有作用力。我们将抓住这个特点来定义描写电场的物理量—电场强度。
二、实验电荷
设有这样一种电荷，它满足：（1）体积足够小，可以看成是点电荷，以至于可以把它放到电场中的某一个点（称为场点）上去测试它受到的电场力；（2）电量足够小，以至把它放进电场中时对原来的电场几乎没有影响。这种电荷叫做试验电荷（常用 表示）。

试验电荷在电场中的受力
三、实验电荷在静电场中受力的规律
当我们将试验电荷放进各种各样的电场来测量它所受的电场力时我们会发现如下的结果。（1）在同一个电场中不同的地方其受力大小和方向一般不同（如图8-2所示），这说明电场是有强弱分布的，并且有方向性，它表明描写电场的物理量应该是一个矢量。（2）在同一个电场中的同 一点处试验电荷受力F是与其电量q0成正比的，这个结果表明试验电荷的受力与其电量的比值是一个与试验电荷无关，只与考察点处电场特性有关的量。
四、电场强度的定义
我们定义比值（及其方向）
　　
叫电场的电场强度（简称为场强）。将实验电荷放置在静电场中不同的地方，测量它的受力大小和方向，然后通过上面的定义式就可以得到该点处电场强度的大小和方向。
五、电场强度的单位
在国际单位制中，电场强度的单位是伏特每米，符号为 。也可以用牛顿每库仑（N/C）表示。
六、电场强度的物理意义
从上面的定义式，我们可以知道电场强度的物理意义是：单位正电荷所受到的电场力。例如：某电场中的某点处的场强大小为5 ，则一个单位的正电荷在该点处所受到的电场力的大小为5牛顿，电场力的方向就是该点处场强的方向。

6.2.3 电场力
当一个电荷处于某一个电场中时，电荷就要受到力的作用。如果电场的场强为已知，根据场强的物理意义我们非常容易计算处于该静电场的电荷受到的电场力，现讨论如下。
一、单个点电荷所受电场力
若一个点电荷q处于某电场中，所在点处的场强为E（根据场强的物理意义--单位正电荷所受到的电场力），则所受到的电场力为：
　　
二、点电荷组所受电场力
多个点电荷处在电场中
所受到的电场力
若有一个点电荷系处于某电场中（如图所示），其电场力该怎样计算呢？显然在电场中不同地方的点电荷，其所在位置处的场强是不同的。设q1、 q2、 q3、 q4……等所在位置处的场强分别为E1、 E2、 E3、 E4 ……则有：
　　
即：点电荷系所受的电场力等于各个点电荷所受电场力的矢量和。
特别注意：在这里没有考虑点电荷系内部的电荷之间的电场力。
三、电偶极子及其电矩
两个等量异号的点电荷所组成的点电荷组叫电偶极子。电偶极子的电矩（也叫电偶极矩）大小等于电偶极子的电量乘以它们的距离，方向由负电荷指向正电荷。即：
　　p=ql
电偶极子是一种很基本、很重要的电荷分布。
【例1】试求电矩为p=ql的电偶极子(如下图)在均匀电场E中所受电场力的合力和力矩。

电偶极子在电场中受力
【解】
根据电场力计算公式，在均匀外电场中电偶极子的正、负电荷（假设分别位于A、B两点）所受的电场力分别为
　　
由于是在均匀电场中，正、负电荷所受电场力大小相等、方向相反，是一对力偶。故合力
　　
它们的力偶矩的大小为
　　
不难看出，力矩的方向总是力图使电偶极子的电矩p转到到电场E的方向，写成矢量形式则为
　　

四、连续带电体的电场力
1、元电荷
如果是一个连续带电体处于某一个电场中，其电场力的计算就必须使用微积分方法。如下图所示，我们可以通过微分，将带电体分成无限多个无限小的微元电荷，叫做元电荷，用 表示。虽然元电荷有各种各样的选取方法（后面有更详细的介绍），但理论上讲它总是可以选取为点电荷的。我们任取一个点电荷作为元电荷 ，它所受的静电力为：

连续带电体微分成点元电荷
2、元电荷所受电场力
我们任取一个点电荷作为元电荷 ，它所受的静电力为：
　　
3、带电体所受合力
我们将所有元电荷所受静电力求和，即得连续带电体所受静电力的合力。这种无限多个无限小的求和就是积分。即：
　　
上式是计算电场力的最一般公式。这个公式更多的是表示了电场力计算的思想方法。具体的计算还要考虑不同的电荷分布情况。
4、不同电荷分布的讨论
（1）带电体呈体分布的情况
如果电荷分布在一个体积内，我们称之为电荷是体分布的。常用于描写电荷体分布的物理量是电荷密度，即单位体积内的电量，用ρ表示。此时，元电荷 可以表示为：
　　
式中 表示元电荷所占据的体积元。代入电场力计算公式，可知静电力的积分是一个体积分
　　
积分的范围是电荷所分布的体积。

电荷面分布
（2）带电体呈面分布的情况
如上图所示，当电荷是分布在某一个曲面上时，我们称之为电荷是面分布的。真实的面分布在实质上都是体分布的，但如果电荷分布很薄，其厚度在问题中可以被忽略，则可以把它作为面分布处理。用于描写电荷面分布的物理量是电荷面密度，即单位面积上的电量，用符号σ表示。在这种情况下，我们只需要对带电面进行微分，所得到的元电荷与一个面积元相对应。即：
　　
这里 表示元电荷所对应的面积元。将元电荷的这个表达方式代入（8-8）式，则得静电力的计算式为：
　　
从上式可以看出，在这种情况下静电力的积分是一个面积分。
（3） 带电体呈线分布的情况
有时电荷分布在一个细长的物体上，如下图所示。在这种情况下，通常可以忽略带电体的粗细而只考虑其长度，这不会对所讨论的问题产生影响，此时的带电体即是呈线分布的。

电荷线分布
用于描写电荷线分布的物理量是电荷线密度，即单位长度上的电量。用符号λ表示。在这种情况下，我们选取的元电荷一定与一个线元相对应。即： ，这里 表示元电荷所对应的线元的长度。将元电荷的这个表达方式代入电场力计算公式，则得线分布电荷静电力的计算式
　　
这是一个线积分。
值得注意的是，上面所讨论的三种情况下的积分都是定积分，都有相应的积分范围，在具体应用的时候应注意这一点。

6.2.4 电场强度的迭加原理
一、电荷产生的电场
点电荷产生电场的规律可以通过库仑定律直接得到。如下图所示，一个静止的点电荷q在其周围产生电场，设场点P相对于q的位置矢量为r，简称矢径r。

静电点电荷的电场
现在假设有一个试验电荷q0处于P点，根据库仑定律，试验电荷q0所受的电场力为
　　
于是根据场强的定义我们可以得到：
　　
上式给出点电荷场中任意一点的场强的大小和方向，称作点电荷场强公式，从中可以看出点电荷产生电场的规律。由上式可知，若q>0，则E与r同向，即在正电荷周围的电场中，任意一点的场强沿该点的矢径方向（见上图a）；若q 二、电场强度的叠加原理
一般来说，在某一个空间可能存在由许多个点电荷组成的点电荷系，为了能计算点电荷系的电场强度，下面我们先介绍电场强度叠加原理。
库仑定律只讨论了两个静止点电荷之间的作用力，当考虑两个以上的静止点电荷之间的作用时，就必须补充另一个实验事实：两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而有所改变。因此，两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和，这个结论表明静电力遵从力的叠加原理。下图表示了两个点电荷q1和q2对第三个点电荷q0的作用力的叠加情况。设电荷q1和q2对单独作用在电荷q0上的作用力分别是F1和F2，它们共同作用在q0上的力F就是这两个力的合力，即
　　 　

静电力的叠加
对于由n个点电荷q1，q2，…，qn组成的点电荷系，若以F1，F2，…，Fn分别表示它们单独存在时各自对点电荷q0作用的力，则按照电场的概念，q0受到这一总静电力可以认为是点电荷q1，q2，…，qn组成的电荷系在该点的总电场所产生的电场力。据此我们可以认为，多个电荷同时在某一点处产生的电场可以用一个总电场来代替。根据电场强度的定义式，我们可以得到这个总电场的场强为
　　
即多个点电荷在某点处激发的总电场的电场强度，等于各个点电荷单独存在时在该点激发的电场强度的矢量和。上述结论虽然是从点电荷系得出的，但显然容易推广到更一般的情况并得出如下普遍的结论：任意带电体系所激发的电场中某点的电场强度，等于该体系各个部分单独存在时在该点激发的电场强度的矢量和。这就是电场强度的叠加原理。
三、荷系产生的电场
根据电场强度叠加原理，点电荷系所产生的总电场的场强应等于各个点电荷场强的矢量和。对于包含n个点电荷的点电荷系，第i个点电荷qi在场点P产生的场强为
　　
其中ri为场点P到点电荷qi的距离，eri为P到qi矢径的单位矢量。按场强叠加原理，总场强为
　　
这就是点电荷系电场强度的计算公式。
四、续带电体产生电场的规律
对于连续带电体所产生的电场，我们可以根据场强叠加原理和数学中的微积分方法计算它的电场强度。这种计算电场强度的方法叫做用叠加原理计算场强的方法。
根据前面关于静电力计算的介绍，我们知道任何连续带电体都可以微分成点电荷 ，如下图所示。由前面所介绍的点电荷产生电场的规律， 产生的场强为
　　

连续带电体的电场计算
图中r为 指向场点P的矢量，式中r为r的大小，er为r的单位矢量。不同的元电荷指向P点的矢量r是不同的，因此r是一个变量。再根据场强的叠加原理，带电体在P点处产生的总场强应该为各个元电荷在P点产生的场强的矢量和。这种无限多个无限小矢量的矢量和是一个矢量积分
　　
对应于连续带电体的体分布、面分布和线分布三种情况，上式可以化为如下三种形式
　　
　　
　　

6.2.5 电场强度的计算
在本知识点中，我们将给大家介绍使用迭加原理计算场强的方法。重点是微积分的使用。使用微积分计算场强的步骤大致有：
1、建立坐标系：目的是便于表示场强的方向和选择积分的变量；
2、选取元电荷：即对连续带电体进行微分；
3、写出元电荷在考察点的场强大小；
4、分析元电荷在考察点场强的方向：目的是为写分量做准备；
5、写出元电荷在考察点场强的各个分量：目的是为对各个分量积分做准备；
6、分别对各个分量积分，并在积分过程中选择恰当的积分变量和统一变量。
【例1】求电偶极子中垂线上任意一点的电场强度。

电偶极子的电场
【解】
如上图所示。设电偶极子的电量分别为+q和-q，用l表示从负电荷指向正电荷的矢量。设中垂线上任意一点P相对于+q和-q的位置矢量分别为r+和r-，而r+=r-。+q和-q在P点处产生的场强分别为
　　
　　
以r表示电偶极子中心到P点距离，则
　　
在距离电偶极子甚远时，即r＞＞l时，取一级近似有 。而P点的总场强为
　　
式中p=ql是电偶极子的电矩，这样上述结果又可以写成
　　
此结果表明，电偶极子在其中垂线上距电偶极子中心较远处各点的电场强度与电偶极子的电矩成正比，与该点离电偶极子中心的距离的三次方成反比，方向与电矩的方向相反。

【例2】试求一均匀带电直线外任意一点处的场强。设直线长为L（见下图），电荷线密度（即单位长度上的电荷）为 （设 ）。设直线外场点P到直线的垂直距离为 ，P点与带电直线的上下端点的连线与垂线的夹角分别为 和 。

带电直线外一点的电场
【解】
均匀带电直线可以理解为实际问题中一根带电直棒的抽象模型，如果我们仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电场，则该带电直棒就可以看作一条带电直线。P点处的场强可以通过微积分来求解。
在带电直线上任取一长为 的元电荷，其电量 。以P点到带电直线的垂足O为原点，取如图所示坐标轴 ， 。元电荷dq在P点的场强dE沿两个轴方向的分量分别为 和 。因而
　　
　　
由于 ，从而 （此式在几何上表示，当 很小时， 对P点张开的角度 与 的关系），并且 ，所以
　　
由于对整个带电直线来说，q的变化范围是从 到 ，所以
　　
同理可得
　　
P点总场强的大小可以由下式得到
　　
有几种特殊情况，讨论如下：
(1)中垂线上的点 在中垂线上 ，则有 ， 将 代入，可得
　　
此电场的方向垂直于带电直线而指向远离直线的一方。
（2）无限长直线外任意一点处的场强 真实的生活中没有无限长，无限长只是一个相对的概念，在本题中无限长的准确描述是 ，故有
　　
此外，在远离带电直线的区域，即当 时，中垂线上的电场强度
　　
其中 为带电直线所带的总电量。此结果显示，离带电直线很远处该带电直线的电场相当于一个点电荷q的电场。

【例3】求均匀带电圆环轴线上的场强。如下图所示，一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q（设q>0），圆环轴线上场点P到圆心的距离为x。
【解】
根据微积分的思想，我们把圆环微分成为许多小段，任一小段dl上的带电量为dq。设此元电荷dq在P点的场强为dE， dE沿平行和垂直于轴线的两个方向的分量分别为 和 。由于圆环电荷分布对于轴线对称，所以圆环上全部电荷的 分量的矢量和为零，因而P点的场强沿轴线方向，且
　　

均匀带电细圆环轴上的电场
式中积分为对环上全部电荷q积分。设P点与dq的距离为r，由于
　　
其中q为 与x轴的夹角，所以
　　
此式中的积分值即为整个环上的电荷q，所以
　　
考虑到 ，而 。可将上式改写为
　　
E的方向为沿着轴线指向远方。
当 时， ，则E的大小为
　　
此结果说明，远离环心处的电场也相当于一个点电荷q所产生的电场。当 时， ，则E的大小为
　　
即在靠近圆心的轴线上场强大小与x成正比。

【例4】试求均匀带电圆盘轴线上的场强。设带电圆盘半径为R（如下图），电荷面密度（即单位面积上的电荷）为 （设 ），求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。

均匀带电圆面轴线上的电场
【解】
一带电平板，如果其面积的线度及考察点到平板的距离都远远大于它的厚度，该带电板就可以看作一个带电平面。带电圆盘可看成由许多同心的带电细圆环组成。取一个半径为r，宽度为dr的细圆环（即将圆盘微分成许多圆环），由于此环的面积为 ，带有电荷 ，所以由上一例题可知，此圆环电荷在P点的场强大小为
　　
方向沿着轴线指向远方。由于组成圆面的各圆环的电场dE的方向都相同，所以P点的总场强为各个圆环在P点场强的大小的积分，即
　　
其方向也垂直于圆面指向远方。
当 时，
　　
此时相对于x，可将该带电圆盘看作“无限大”带电平面。因此，可以说，在一无限大均匀带电平面外的电场是一个均匀场，其大小由上式给出。
当 时，
　　
于是
　　
式中 为圆面所带的总电量。这一结果也说明，在远离带电圆面处的电场也相当于一个点电荷的电场。



§6.3 高斯定理
6.3.1电场线及其特点
一、电场线的定义
为了形象地表示电场及其分布状况，可以将电场用一种假想的几何曲线来表示，这就是电场线，也称E线。电场线最早是由法拉第提出来的。严格地讲，电场线是在电场中人为地做出的有向曲线，它满足：（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强的方向一致；（2）电场中每一点的电场线的密度表示该点场强的大小。电场线的密度可以这样理解，为了用电场线表示电场中某点的场强的大小，设想通过该点作一个垂直于电场方向的面元dS⊥，如下图所示。通过面元的电场线条数dΦe满足
　　

电场线数密度与场强大小的关系
这就是说，电场中某点电场强度的大小等于该点处的电场线数密度，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电场线条数。按照这样的规定，电场线既可以定性地描述电场的方向，又可以定量地表示电场的大小。事实上，对于所有的矢量分布（矢量场），都可以用相应的矢量线来进行形象描述，如电流场可以用电流线来描述，磁感应强度场可以用磁感应线来描述等等，其描述方法基本上相同。
下图为几种常见带电体系产生的电场的电场线。

（a）点电荷；（b）电偶极子；（c）带电直线
二、静电场电场线的特点
通过对各种各样电场的电场线的分析，我们会发现静电场的电场线具有如下的特点。这些特点也就是静电场的特点，大家应该充分领会。
（1）静电场的有源性
通过实作各种各样电场的电场线，我们发现静电场的电场线总是起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾的，它有起点和终点。
（2）静电场的无旋性
同样可以发现，静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。静电场的这一特点实际上是和电磁相互作用过程中的能量守恒联系在一起的。静电场的无旋性表明了电磁相互作用中能量是守恒的。如图所示，假设有一电场线闭合成为一个逆时针方向的圆周，我们就可以以该圆周的大小制作一个圆盘并使其边缘带电，例如带正电，然后将圆盘放在该电场中。由于圆盘上每一个地方受到的电场力都沿着电力线的方向，对圆心的力矩都沿着逆时针的方向，我们将会发现圆盘会加速转动，动能不断增加。这显然违背了能量守恒定律，因此，静电场的电场线是不能闭合的。


（3）同一电场的电场线不相交。
在同一电场中所作的电场线不会相交。事实上，若同一电场的电场线相交就意味着在交点处的场强会有两个方向，即一个点电荷在该点受到的电场力会有两个方向。这是不符合物理实际的。
6.3.2 电通量
电通量，也叫电场强度通量是我们对静电场进行理论分析时所必须的一个重要物理量。为了能严格地定义电场强度通量，我们首先介绍有向曲面的概念。
一、向曲面的概念
在通常的概念中，面积只有大小之分。为了讨论电场强度通量的方便，下面我们将把面积定义为矢量。我们先介绍平面矢量。如下图（a）所示的一个平面，它的面积是S，S是一个标量。我们可以取平面的一个法线方向en，将面积定义成一个矢量 。此矢量的大小就是该平面面积的大小S，其方向就是我们事先取定的法线方向en。我们将这种取定了法线方向的平面叫做有向平面。对于曲面，由于其法线的方向在各处并不相同，所以不能定义为一个矢量。但我们可以将其微分成为许多的面元dS，由于每一个面元都可以看作一个平面，于是都可以用上述对于平面所用的方法将其定义成面元矢量dS=dSen，这样的曲面就称为有向曲面（如下图（b）所示）。为了计算方便并且不致引起混乱，我们还规定曲面上各个面元的法线方向都必须在曲面的同一侧。面元的法线方向究竟取在曲面哪一侧在具体问题中有具体的约定，例如对于闭合曲面，面元的法线方向只能取为向外，即取作外法向，这种取外法向并且闭合的曲面叫做高斯面。

(a)有向平面与其Ｅ通量

　　　　　　　　　　（b）通过任意曲面的E通量　　
二、场强度通量的定义
定义：电场中通过某一有向曲面的电场线的条数，叫做该曲面上的电场强度通量（简称为E通量，电通量），用Φe表示。而且规定电场强度通量的正负为：沿着有向曲面法向通过的电场线作为正的通量，而逆着有向曲面法向通过的电场线作为负通量。
三、电场强度通量的计算公式
为了得到E通量的一般计算公式，我们先讨论一种特殊情况。求均匀电场中一个平面上的E通量。如上图（a）所示，平面S处于匀强电场E中。取en为平面的法线方向。求E通量就是求通过S的电场线条数。根据场强与电场线密度的关系，若场强E为已知，则垂直于电场方向的单位面积所通过的电场线条数就等于E的大小。我们将平面S投影在垂直于场强的方向上，得到 。可以得到通过平面S的E通量为
　　
用矢量的点乘的定义，上式可以表示为 　　
上式表明，当θ 对于一个任意的曲面上的E通量，其计算方法就要使用微积分。大家知道任意一个曲面可以微分成很多无限小的面积元，如上图（b）所示。面积元dS可以看成一个平面，并且在面积元的范围内场强可以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。如下图所示。

E通量的计算
与前面所讨论的平面情况类比，立即得到任意一个面积元上的E通量
　　
再根据积分的思想，得到任意曲面的E通量为
　　 。
这是一个面积分，积分号下标S表示此积分的范围遍及整个曲面。上式即为电场强度通量的定义式。
四、闭合曲面的电场强度通量
通过一个闭合曲面的E通量与任意曲面的E通量在计算方法上没有任何本质的区别。下图所示就是一个闭合曲面（高斯面），其E通量可以用如下积分式子来表示

通过闭合曲面的E通量
　　
积分符号“ ”表示S是一个闭合曲面，积分对整个闭合曲面进行。
在前面我们已经强调过，对于闭合曲面我们在取法线方向时只能取外法线。根据E通量正负的规定，当电场线从内部穿出时（如在上图中面元dS1处），E通量为正。当电场线从外部穿入时（如在上图中面元dS2处），E通量为负。上式所表示的通过整个闭合曲面的E通量 就等于穿出和穿入闭合曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。
6.3.3 高斯定理
一、高斯定理的推导
高斯（K. F. Gauss, 1777-1855）是德国物理学家和数学家，他在实验物理和理论物理以及数学方面都作出了很多贡献，他导出的高斯定理是电磁学的一条重要规律，是静电场有源性的完美的数学表达。
高斯定理是用E通量表示的电场和场源电荷关系的定理，它给出了通过任意闭合曲面的E通量与闭合曲面内部所包围的电荷的关系。为了使大家熟练掌握高斯定理及其相关知识，下面给出高斯定理的全部推导过程。
我们先讨论在一个点电荷的电场中，各种可能的闭合曲面的E通量。如下图，在点电荷q所激发的电场中有一个球面S，它以q为中心，r为半径。我们知道，点电荷在球面上任意点处的电场强度方向都是沿着矢径r的方向，因而处处与球面垂直。根据点电荷电场公式和闭合曲面电场强度通量计算公式，可得通过这个球面的E通量为

高斯定理推导用图

其结果与球面半径r无关，只与它所包围的电荷的电量有关。这表明任意以点电荷q为心的任何一个球面上的E通量都是相等的，意味着电场线确实是从点电荷q连续地延伸到无穷远处的。根据E通量就是穿过曲面的电场线条数的定义可知，一个正点电荷能发出的电场线条数有 条。因此，在上图（a）中我们也很容易分析出，S’这个闭合曲面上穿过的电场线条数与穿过S的电场线条数完全一样，即它们的E通量都是 。在这里，S与S’显然都有一个共同的特点，即它们都包围着q。而在上图（b）中，同样是在一个点电荷的电场中，闭合曲面S"的E通量也可以通过分析得到。由于没有包围住q，并且S"是闭合的，所以穿进与穿出S"的电场线数目一样多，即通过S"的E通量为零。
基于上述分析我们可以得到如下结论：在一个点电荷电场中任意一个闭合曲面S的E通量或者为 或者为零，即

以上是在点电荷电场中得到的结论。根据叠加原理，任意一个静电场都可以看成是点电荷电场的叠加。即在电场中任一点处的场强应该等于这些点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和
　　
其中E1，E2，…为单个点电荷产生的电场，E表示总电场。这时通过任意闭合曲面S的总电场的E通量为

上式中求和的每一项积分都表示一个点电荷单独存在时在闭合曲面S的E通量。此式表明E通量遵从迭加原理，即总场强在闭合曲面S的E通量等于各点电荷在S面的E通量之和。每个电荷在S面的E通量，按上面的结论，取决于该点电荷是否被闭合曲面S包围。例如，qj被S包围，相应的项就取为qj/ε0；qj没有被S包围，则相应的项就取为0。如果被包围的点电荷有m个，则过S的总电场的E通量为
　　
我们用q内表示S包围住的点电荷电量的代数和q内= ，则上式可以记作
　　
上式就是高斯定理的数学表达式，它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的E通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量的代数和）除以ε0。
二、关于高斯定理的几点讨论
对高斯定理的理解大家应该注意以下几点：
（1）高斯定理表达式左边的场强E是曲面上各点的场强，它是由全部电荷（包括闭合曲面内外）共同产生的总电场，并非只由闭合曲面内的电荷产生。
（2）通过闭合曲面的总E通量只与该曲面内部的电荷有关，闭合曲面外的电荷对总E通量没有贡献，但对曲面上的场强E有贡献。
（3）静电场的高斯定理是和静电场的有源性联系在一起的。它告诉我们，一个闭合曲面若围住了正电荷，则曲面上的E通量为正，即有电力线从曲面上穿出；若围住了负电荷，则曲面上的E通量为负，即有电力线从曲面上穿入。这意味着电力线确实是发出于正电荷，终止于负电荷的。静电场的高斯定理实际上是静电场有源性的数学表达。
6.3.4 高斯定理的应用
利用高斯定理可以求解具有高度对称性的带电体系所产生的电场的场强。具体的方法是：首先通过对已知电荷分布的对称性分析确定出它产生的电场的对称性，然后通过选取一个恰当的闭合曲面（简称为高斯面），并将高斯定理用于高斯面就可以求出该带电体系所产生的电场的场强。使用这种方法计算场强的关键有两个方面，一是电荷分布有高度的对称性，二是高斯面的选取要恰当。高斯面选取的技巧是使得 中的E能以标量的形式从积分号内提出来。一般有三种情况，我们逐一介绍于后。
1、点（球）对称的情况
【例1】求均匀带电球面的电场分布。已知球面半径为R，所带总电量为q（设q>0）。

【解】
本题中的电荷分布是球对称的。按对称性的理论，如果原因具有什么样的对称性，则它的结果也必然具有同样的对称性，因而本题中电荷激发的电场也应该满足球对称。先对球面外任一点P处的场强进行具体分析。设P距球心为r（如图），连接OP直线。由于自由空间的各向同性和电荷分布对于O点的球对称性，P点场强E的方向只可能是沿矢径OP的方向。（反过来说，设E的方向在图中偏离OP，例如，向下 ，那么将带电球面连同它的电场以OP为轴转动 后，电场E的方向就将应偏离OP向上 。由于电荷分布并未因此转动而发生变化，所以电场方向的这种改变是不应该有的。带电球面转动时，P点的电场方向只有沿OP的方向才能保持不变）。其它各点的电场方向也都沿各自的矢径方向。又由于电荷分布的球对称性，在以O为心的同一球面S上，各点的场强的大小都应该相等。可选该球面S为高斯面，由于球面上每个面元dS上的场强E的方向都和面元矢量的方向（法向）相同且大小不变，故通过它的E通量为
　　
此球面包围的电荷为 。高斯定理给出
　　
由此式得出
　　
考虑到E的方向，可得电场强度的矢量式为
　　
此结果说明，均匀带电球面外的场强分布正像球面上的电荷都集中在球心时所形成的一个点电荷的场强分布一样。
对球面内部任一点 ，上述关于场强的大小和方向的分析仍然适用。过 点作半径 的同心球面为高斯面 。通过它的E通量仍可表示为 ，但由于此 面内没有电荷，根据高斯定理，应该有
　　
即
　　
这表明：均匀带电球面内部的场强处处为零。上述结果我们常常用如下公式统一描述
　　
根据上述结果，可画出场强随距离的变化曲线—— 曲线（如上图所示），从 曲线中可看出，场强的值在球面（r=R）上是不连续的。
上述结论也可以通过场强迭加原理积分计算得到，但在电荷分布高度对称的情况下，用高斯定理显然要简单得多。
【例2】求均匀带电球体的电场分布。已知球半径为R，所带总电量为q。
【解】
均匀带电球体同样满足球对称。对于球外部，容易看出，上一例题中关于球外的场强方向和大小的分析和计算此时也完全适用。因此可以直接得出：在球体外部的场强分布与所有电荷都集中到球心时产生的电场一样，即
　　

均匀带电球体的电场
为了求出球体内任一点的场强，可以通过球内P点做一个半径为r（r 　　
由高斯定理可得
　　
这表明，在均匀带电球体内部各点场强的大小与矢径大小成正比。考虑到E的方向，球内外电场强度也可以用矢量式表示为
　　
若用电荷体密度 表示，均匀带电球体内部各点场强又可写成
　　
均匀带电球体的 曲线绘于上图中。注意，在球体表面上，场强的大小是连续的。

通过分析前两个例题，可以看出一些共同规律：在点（球）对称的情况下，作一个满足对称条件的球形高斯面，则在这个高斯面上的E通量为 ，由高斯定理马上可以得到 。于是，只要能求出高斯面内的电量 ，就能求得电场强度E了。
2、轴（柱）对称的情况
【例3】求无限长均匀带电直线的电场分布。已知直线上电荷线密度为 。

【解】
均匀带电直线的电荷分布是轴对称的，因而其电场分布亦应具有轴对称性。考虑离直线距离为r的一点P处的场强E（如下图）。由于带电直线为无限长，且均匀带电，因而P点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿径向，和P点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的场强的方向也都应该沿着径向，而且场强的大小应该相等。

无限长的均匀带电直线的场强分析
以带电直线为轴，作一个通过P点，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的E通量为通过上、下底面（S1和S2）的E通量与通过侧面（Sb）的E通量之和
　　
在S面的上、下底面，场强方向与底面平行，因此上式等号右侧前面两项等于零。而在侧面上各点E的方向与各点的法线方向相同，所以有
　　
此封闭面内包围的电荷 ，由高斯定理得
　　
由此得
　　
这一结果也可以通过场强迭加原理积分出来，但利用高斯定律计算显然要简便得多。

【例4】求无限长均匀带电圆柱面内外的电场分布。已知圆柱面(半径为R)上沿轴线方向的电荷线密度为 。
【解】
均匀带电圆柱面的电场分布具有轴对称性，考虑均匀带电圆柱面外距离轴线为r的一点P处的场强E（如下图）。由于电场分布的轴对称性，因而P点的电场方向只可能是垂直于带电圆柱面的轴线而沿径向。而且和P点同一圆柱面（以圆柱面的轴线为轴）上的各点的场强也都沿径向，大小也都相等。

无限长的均匀带电圆柱面的场强
作一个通过P点，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S.。与上一例题同理可得，通过S面的E通量为
　　
此封闭面内包围的电荷
　　
由高斯定理得
　　
由此得
　　
对于均匀带电圆柱面内部的圆筒形高斯面，由于面内没有电荷，应该有
　　
故柱面内部的场强
　　
以上结果可统一描述为
　　
即无限长均匀带电圆柱面外面的场强等于其全部电荷集中于轴线上时（均匀带电直线）的场强，其内部的场强等于零。

【例5】求无限长均匀带电圆柱体内外的电场分布。已知圆柱体半径为R，电荷密度为ρ。

【解】
均匀带电圆柱体的电场分布具有轴对称性（如下图），对圆柱体外场强的分析与上题中对均匀带电圆柱面的分析相同，若以 表示沿轴线方向的电荷线密度，其结果的形式也一样，即有

无限长的均匀带电圆柱体的场强
　　
对圆柱体内的高为l的圆筒形高斯面S.，与上一例题同理可得，通过S面的E通量为
　　
高斯面内包围的电荷
　　
由高斯定理有
　　
由此得
　　
无限长均匀带电圆柱体内、外的电场分别为
　　
可见无限长均匀带电圆柱体外面的场强也等于其全部电荷集中于轴线上时的场强，其内部的场强与场点到轴线的距离成正比。
综上所述，在线对称的情况下用高斯定理求解场强的关键是取一个高为l的两端封闭的圆筒作为高斯面，则这个高斯面的E通量为 ，若能求出 就能通过高斯定理求出场强了。
3、面对称的情况
【例6】求无限大均匀带电平面的电场分布，已知带电平面上电荷面密度为 。
【解】
无限大均匀带电平面的电场分布应满足平面对称。考虑距离带电平面为r的场点P的场强E（如下图所示）。由于电场分布应满足平面对称，所以P点的场强必然垂直于该带电平面，而且离平面等远处（同侧或两侧）的场强大小都相等，方向都垂直于平面指向远离平面的方向（当 时）。
我们选一个轴线垂直于带电平面的封闭的柱面作为高斯面S，带电平面平分此柱面，而P点位于它的一个底面上。

无限大均匀带电平面的电场
由于柱面的侧面上各点的E与侧面平行，所以通过侧面的E通量为零。因而只需要计算通过两底面的E通量。以 表示一个底的面积，则
　　
由于
　　
高斯定理给出
　　
从而
　　
此结果说明，无限大均匀带电平面两侧的电场是均匀场。这一结果与使用迭加原理计算的结果相同。

【例7】两个平行的无限大均匀带电平面（如下图），其电荷面密度分别为 和 ，而 。求这一带电系统的电场分布。

【解】
这两个带电平面的总电场不再具有前述的简单对称性，因而不能直接用高斯定律求解。据据上一例题，两个面在各自的两侧产生的场强的方向如下图所示，其大小均为
　　


考虑场强的方向，并根据场强叠加原理可得
在I区：
在II区： ，方向向右。
在III区：
从本题可以看出，如果电荷分布不满足上述的对称性，则不可能仅用高斯定理求出电场强度。但如果电荷分布可以分解为若干个对称的分布，则可以用高斯定理分别求出各个分布的场强，进而用迭加原理求出总场强。

【例8】如图所示，有一边长为a的正方形。在它中垂线上距离正方形a/2处有一个电量为q的点电荷。试求正方形上的E通量。
　　　　　　　


　(b)
　　　　　　　
【解】
以a为边长做一个正立方体如上图(b)所示，点电荷q正好处于立方体的中心处。立方体的每个表面均分1/6的E通量。正方体的六个表面正好构成一个高斯面，根据高斯定理，通过这六个表面总的电场强度通量为 。所以，正方体的各个正方形面上的E通量为 。



§6.4 电势
6.4.1 静电场力的功
一、电场力做功的计算
为了简单起见，我们先讨论一个点电荷在另一个点电荷产生的电场中运动时，它所受的电场力做功的特点。如下图所示，设q0和q均为正电荷，当点电荷q0在q所产生的电场中从P1点沿任意路径移动到P2点时，q0所受的电场力做的功为：

点电荷电场中电场力做功的计算
　　
q0所受的电场力为：
　　
所以
　　
从上图可以看出， ，这里θ是从电荷q指向q0的矢径r与q0的位移元dr之间的夹角。将此关系代入上式，得
　　
上述结果是按q0和q均为正电荷的情况推出的，不难验证，对于其他情况，此式依然正确。
在一般的静电场中，按照静电力的叠加原理，q0受到的力应为各个点电荷的静电力的矢量和
　　
在力学中我们又知道，作用在质点上的合力的功应等于各分力功的代数和 。所以，当点电荷q0在这个电场中从P1点沿任意路径移动到P2点时，q0所受的静电力所做的功应等于各个点电荷的静电力做功的总和，即得
　　
二、静电场力做功的特点
在上面的两个功的表达式中，由于r1和r2（或 ri1和ri2）分别表示运动的起点和终点从点电荷q（或qi）到q0的距离。所以此结果说明，在点电荷q的电场中，点电荷q0所受的电场力做的功只与始末位置有关而与路径无关。在力学中我们学过，这种做功只与始末位置有关，与路径无关的力叫保守力，因而我们知道，点电荷的电场力是保守力，一般的静电场力也是保守的。即：在任意静电场中，电场力做功都是与路径无关，只与始末位置有关。这就是静电场力做功的特点。
按力学理论，保守力还可以表述为：沿闭合路径一周做功恒为零。即
　　
这里 表示积分路径L是闭合的，并且是在这闭合路径上积分一周。
6.4.2 静电场的环流定理
一、静电场环流定理推导与结论
在一般情况下，电场力总可以表示为： 。电场力做功的积分式可以表示成电场强度的积分式与q0的乘积。即
　　
式中 为电场强度E沿任意路径从P1点到P2点的线积分，根据场强的物理意义，也叫做把单位正电荷从P1点沿任意路径移动到P2点电场力所做的功。我们将（8-39）式的结果也用这种方法来表示，则有
　　
由于 ，这必然有
　　
这个结论表明，在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。这个结论称为静电场的环流定理，它简洁地反映了静电场的保守性。
二、环流的概念与静电场环流定理的意义
1、环流的定义
一个矢量沿闭合路径L的线积分叫做矢量在闭合路径上的环流。环流是一个应用非常广泛的概念，常用于描写各种矢量场的特点。比如，河流中的水流可以用一个速度场来表示，其环流表示为： 。若速度场的环流为零，则表明闭合回路L内的水流没有旋涡，水流线不闭合；若速度场的环流不为零，则表明闭合回路L内的水流中一定是有旋涡的，水流线是闭合的。
2、静电场环流定理的意义
如果用环流的概念来表述，静电场的环流定理可以表述为：在静电场中沿任意闭合路径，电场强度的环流都恒为零，即在静电场中任何地方都不会有旋涡存在，即电场线是永远不闭合的。因此，常常称静电场为无旋场。任何无旋场所对应的场线都不能闭合。
6.4.3 电荷在外电场中的电势能
按照力学知识，只要有保守力就一定有与之对应的势能。静电场力是保守力，它所对应的势能叫电势能。根据力学中学过的势能的一般性定义，点电荷q0在任意一个外电场中的a点处的电势能为：
　　
在电磁学中，我们用W表示电势能（力学中用的势能符号Ep，在电磁学中容易与场强的符号混淆），势能零点用（0）表示。另外，在理论计算和讨论中电势能的零点常常选为无穷远处（在工程技术上常以接地为电势能的零点），在这种情况下，上式可以写成
　　
根据静电场的保守性，上述积分中从a到∞的积分路径可以是任意的，积分的结果一定与所选择的路径无关。（当然，在实际计算中应该选择一条使积分最简单的路径）。值得注意的是，电势能是电荷q0和静电场（其它场源电荷产生的）共同具有的，只谈电场或只谈电荷都没有电势能。所以，我们通常是说某电荷处于某电场中具有的电势能。
6.4.4 电势与电势差
一、电势
1、电势的定义式
从上一个知识点我们可以看到，任何一个点电荷在电场中所具有的电势能都是正比于它的电量的。那么，电势能与其电量的比值
　　
就是一个与q0无关，而只与电场的性质和场点a的位置相关的量。我们就把这个只与电场相关的物理量称为电场中a点的电势，它是描写电场的又一个重要物理量。上式就是电势的定义式。
2、电势的物理意义
如前所述，电场强度是从电场力的角度描写电场的，电势则是从功和能的角度描写电场，它们从不同的侧面描述电场的物理性质。从电势的定义我们知道，所谓电势就是单位正电荷在电场中所具有的电势能，这是从能量的角度来看电势的物理意义。
3、电势的零点
显然，在电势能为零的地方，电势也为零，所以电势能的零点也就是电势的零点。在电势能中我们规定了无限远处或接地为其零点，则电势的零点也是无限远处或接地。当然这只是通常的规定，选择其它地点作为电势零点也是可以的。
4、电势的单位
电势的单位是：伏特（用v表示）。
5、电势与场强的关系
既然场强和电势都是描写电场的物理量，它们之间必然有一定的联系。将将电势能公式代入上面电势的定义式中，可得：
　　
此式亦可作为电势的定义式，也是最一般的通过场强计算电势的公式，是我们计算电势时常用的公式。在已知场强时，用这个公式计算电势常常是非常方便的。
值得指出的是，电场的电势的数值是相对的，它与其零点的选择有关。这是因为上式中的积分虽然与路径无关但与始末位置有关，选择不同的位置作为零点，电势取值显然不同。在大部分公式中是取∞处为电势和电势能的零点，上述电势的积分公式变为
　　
大家知道，场强是单位正电荷所受的电场力。因此上式表明，电势等于把单位正电荷从电场中a点处移动到无穷远处电场力所做的功。这就是从电场力做功的角度看，电势的物理意义。
二、电势差
与电势相关的另一个重要概念是电势差。顾名思义，电势差就是电场中某两点的电势之差。电势差通常用U表示。大家要注意的是，通常我们所说的差值是指前量减后量，而与之相关的增量则应该为后量减前量，即电势差与电势增量之间有一个负号的差别。例如，电场中a、b两点的电势差可以表示为
　　
而电势增量则为 。根据电势的计算式，我们有
　　
由上式我们可以知道，电场中a、b两点的电势差实际上就是把一个单位正电荷从a点移动到b点电场力所做的功，也可以理解为单位正电荷在a、b两点处所具有的电势能之差。在静电场中给定的两点，电势差具有完全确定的值，而与电势零点的选择没有任何关系。
电势与电势差具有相同的单位，在国际单位制中，电势和电势差的单位都是伏[特]，用符号V表示，
　　1V=J/C
三、与电势有关物理量的计算公式
从上面的讨论可知，电场力做功、电势能、电势和电势差是相互关联的几个概念。特别是在计算方面，当我们已知电场的电势时，计算电势能和电势差都是十分方便的。而在知道了电势差或电势能后，计算电场力做功也就非常简单了。它们之间具体的数学关系总结如下。
1、电势能的计算
如果已知了电势，即已知单位正电荷在电场中所具有的电势能，则任意点电荷在电场中所具有的电势能为
　　
2、电场力做功的计算
当我们在计算出电势能后，q所受到的电场力所的做功就可以通过下式得到
　　
式中 、 分别表示电荷q在电场中a、b两点处所具有的电势能，而 则表示q从a点移动到b点电场力做的功。当然，电场力做功也可以按电势的定义Va=Wa/q，通过电势差进行计算
　　
由于上面这些关系存在，大家在计算电场力做功时一定要注意其思路与力学中计算做功的思路的不同。在力学中，我们计算做功时总是先想到力，在计算电场力做功时一般很少从电场力的思路去计算，常常是从计算电势、电势差的思路去进行计算。
6.4.5 电势的计算方法
一般说来，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原理。对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。通过后面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。下面我们介绍电势迭加原理。
一、 点电荷电场的电势
如右图所示，一个点电荷q处于O点处。在q所产生的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的定义式计算得到。选无穷远处作为电势零点，积分路径沿OP方向由P点延伸到无穷远。由于积分方向选取得与场强的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来


点电荷的电势
此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。公式中视q的正负，电势V可正可负。在正点电荷的电场中，各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势都是相等的，这些球面都是等势面。
二、电势的叠加原理
在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加，即有
　　
其中E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为
　　
上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电荷单独存时在a点的电势。即有
　　
式中Vai是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论仍然是正确的。即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势，等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。这个结论叫做电势叠加原理。
若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即
　　
式中ri是从点电荷qi到a点的距离。（应用这个公式时，电势零点取在∞处）。
对一个电荷连续分布的带电体系，可以设想它由许多元电荷dq所组成。将每个元电荷都当成点电荷，就可以由叠加原理得到求电势的积分公式
　　
式中r是从元电荷dq到a点的距离。（电势零点在∞处）。
三、计算电势的一般方法
计算电势一般有两种方法：根据已知电场强度计算电势和应用叠加原理计算电势。现分别介绍如下。
如果一个电场的场强为已知，应用电势的定义式，可以根据已知的场强直接计算电势。用这种方法计算电势时，电势零点可以任意选定。如果电荷分布可以分解为几个分布，而每个分布在考察点的电势为已知，则可应用叠加原理来计算电势。
【例1】一个电偶极子电量为q，相距l。点电荷q0沿半径为R的半圆路径L从左端A点运动到右端B点，如图所示，试求q0所受的电场力所做的功。

电偶极子电势
【解】
求解电场力做功，一般应该先求电势、电势差，再通过电势差求做功。首先，根据电势叠加原理和点电荷产生电势的公式，我们分别可得电偶极子在A、B两点的电势为
　　
　　
电势差为
　　
所以，点电荷q0沿半径为R的路径L从左端A点运动到右端B点电场力所做的功为
　　
若R>>l并利用电矩的定义，则上式可以写成：
　　 。


【例2】有一长度为L，电荷线密度为λ的均匀带电直线段（如下图所示），求其延长线上距离近端为R的P点的场强和电势。

直线段外的场强和电势
【解】
如图建立坐标系，将带电直线微分，则有元电荷 ，它在P点处产生的场强和电势分别为：
　　　　
　　　　
根据场强和电势的叠加原理，并考虑到场强方向都朝x轴方向，则有P点处的场强和电势分别为：
　　
　　
本题的电势也可以通过所求出的场强来计算。方法是先选择从P点沿x轴到无限远的一条路径，然后对场强进行积分。在积分时考虑到距离R是一个变量，可以用x替换R，沿x进行积分
　　 。
这个结果表明，用不同方法计算的电势是一样的。可以看出，用电势的叠加原理的计算过程要简单一些。

【例3】一半径为R的均匀带电细圆环，所带电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电势。

带电圆环轴线上的电势
【解】
本题也可以用两种方法求解。我们先用叠加原理求电势的方法来解。在上图中以x表示从环心到P点的距离，以dq表示在圆环上任一元电荷。由电势迭加原理可得P点的电势为
　　
当P点位于环心O处时，x=0，则
　　
另一种求解方法是根据已知场强求电势的方法。由前面的例题可知圆环在轴线上任意一点的场强为：
　　
如果我们在x轴上选择一条从x到无穷远的路径，则P点处的电势由已知场强计算电势的公式可得：
　　
可以看出，两种计算方法所得到的结果是完全相同的。

【例4】求均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半径为R，总带电量为q。
【解】均匀带电球面的场强分布很有规律性，本题适宜用电势的定义式通过对场强的积分来求电势。以无限远为电势零点。若场点P在球面外，由于在球面外直到无限远处场强的分布都和电荷集中到球心处的一个点电荷的场强分布一样，因此，把场强从P点积分到无穷远的计算结果应与点电荷电场中的计算结果相同，即球面外任一点的电势应为
　　 （r>R）
　　若P点在球面内（r 　　



由于在球面内各点场强为零，而球面外场强为点电荷的场强 ,所以电势为
　　
这说明均匀带电球面内各点电势相等，都等于球面上的电势。电势随r的变化曲线（ 曲线）如上图所示。和场强分布 曲线相比，可看出，在球面处（r=R），场强不连续，而电势是连续的。在经典物理学中，能量始终是连续的。

【例5】下图表示两个同心的均匀带电球面，半径分别为RA=5cm，RB=10cm，分别带有电量 ， ，求距离球心距离为r1=15cm，r2=6cm，r3=2cm处的电势。

带电同心球面的电势分布
【解】这一带电系统的电场的电势分布可以由两个带电球面的电势相加求得。每一个带电球面的电势分布已在例4中求出。由此可知在外球外侧r=r1处，
　　
在两球面之间r=r2处，
　　
在内球内侧r=r3处，
　　

【例6】求电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线电场中的电势分布。
【解】无限长均匀带电直线周围的场强的大小为

方向垂直于带电直线。如果仍选无限远处作为电势零点，则由 积分的结果可知各点电势都将为无限大而失去意义。这时我们可选距离带电直线为 的 点（如图）为电势零点，则距带电直线为r的P点的电势为
　　
　　式中积分路径 段与带电直线平行，而 段与带电直线垂直。由于 段与电场方向垂直，所以上式等号右侧第一项积分为零。于是
　　
这一结果可以一般地表示为
　　
式中C为与电势零点的位置有关的常数。
由此例看出，当电荷的分布扩展到无限远时，电势零点不能再选在无限远处。

无限长直线外的电势
【例7】求电偶极子的电场中的电势分布。已知电偶极子中两点电荷 间的距离为 。
【解】
设场点P离 和 的距离分别为 和 ，P点距离电偶极子中点O的距离为r（如图）。

电偶极子的电势分布
根据电势叠加原理，P点的电势为
　　
对于离电偶极子比较远的点，即 时，应有
　　 r+r-≈r2,r--r+≈lcosθ
为OP与l之间夹角，将这些关系代入上式，可得
　　
式中 是电偶极子的电矩，r为从O点到场点P的矢径。


【例8】求电矩 的电偶极子（如图）在均匀外电场E中的电势能。

电偶极子的电势能
【解】
由电势能公式可知，在均匀外电场中电偶极子中正、负电荷（分别位于A，B两点）的电势能分别为
　　　　
　　电偶极子在外电场中的电势能为
　　
即
　　
式中 是P与E的夹角。
上式表明，当电偶极子取向与外电场一致时，电势能最低；取向相反时，电势能最高，当电偶极子取向与外电场方向垂直时，电势能为零。

6.4.6 场强与电势梯度的关系
一、等势面
电场强度形成一个矢量场，矢量场可用矢量线来形象描述。电势分布形成一个标量场，标量场可用等值面来形象描述。在电场中电势相等的点所组成的曲面叫等势面。不同的电荷分布，其电场的等势面具有不同的形状与分布。对于一个点电荷q的电场，根据其电势的表达式，它的等势面应是一系列以点电荷为球心的同心球面（见右图）。
等势面有两个特点，使我们能从等势面的分布了解电场强度的分布。
(1)电场线与等势面正交且指向电势降落方向。在同一等势面上任意两点a、b之间的电势差为零，即将一单位正电荷从a点移动到b点电场力做功为零，所以场强在ab之间的投影必为零。故场强与等势面垂直（或正交）。
又按电势差计算式， ，把场强沿着电力线从a积分到b，其结果肯定为正，即电势差 为正，所以沿电力线方向电势降落。
点电荷的电势分布
(2)等势面密集的区域场强的数值大，等势面稀疏的区域场强的数值小。为了能通过等势面的分布，反映电场中场强大小的分布，作等势面时我们约定，相邻等势面的电势差为一个常数。设想把等势面作得较密，以至于相邻等势面之间的电场可以看作匀强电场。把场强沿电力线从一个等势面积分到相邻的等势面得到等势面间的电势差 ，其中d为相邻等势面之间的距离。由于相邻等势面之间的电势差相等，所以等势面间距大的地方场强小，等势面间距小的地方场强大。
等势面的概念是很有实用意义的。注意是因为在实际遇到的很多带电问题中等势面（或等势线）的分布容易通过实验描绘出来，并由此可以反过来分析电场的分布。
二、场强分量与电势方向导数的关系
电场强度和电势都是描写电场性质的物理量。从逻辑上讲，描写同一事物的物理量之间应该有某种关系。电势计算式子表述了电势与场强的积分关系，如果场强已知，则可以从这个关系式计算出电势来。反之，如果已知电势，能否计算出场强呢？答案是肯定的。
我们先讨论最简单的一种情况，即场强分量与电势方向导数的关系。如右图所示， 和 表示电场中的两个非常接近的点，由 指向 的方向叫做r方向，从P1到P2的距离为 ，电势增量为dV。由于电势差dU和电势增量dV只有一个负号的差别，所以P1到P2的电势差为　
其中 就是 处场强在r方向的投影。所以有
　

场强分量与电势的方向导数
式中 为电势沿r方向单位长度上的变化（在r方向的空间变化率），定义为电势在r方向的方向导数。上式说明，在电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此方向的方向导数（或空间变化率）的负值，也可以说成是等于电势在该方向的减少率。如果空间的电势分布为已知，则可由上式求出电场强度在任意方向的分量。
三、场强与电势梯度的关系
如果电势的分布已表示为笛卡儿坐标x、y、z的函数V(x，y，z)，由上式可求得电场强度在三个坐标轴方向的分量
　　
由于电势是x、y、z的函数，所以上式中用偏导数表示电势沿这三个方向的变化率。将上式合并写为矢量公式，则有
　　
按数学中场论的处理方法，电势是一个标量场，标量场在空间的变化率用梯度来描述，电势梯度定义为
　　
其中 表示一个矢性算符，定义为 ，表示对函数求空间变化率。于是场强与电势的关系式可记作
　　
即电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值。上式表述电场强度与电势的微分关系。用这个公式，可以很方便地由已知的电势分布求出场强分布。特别是，如果一点的场强E的方向可以通过对称性判定出来，则可以设该方向为e方向，注意到场强在自身方向的投影Ee就是场强的大小，因而可以立即由电势分布求出场强的大小
　　
【例】点电荷的电势分布为 ，由对称性我们可以判定点电荷的电场强度方向沿矢径r的方向，因而场强的大小为 ，这正是点电荷的场强公式。
需要指出的是，场强与电势的微分关系说明，电场中某点的场强决定于电势在该点的空间变化率，而与该点电势的值本身无直接关系。
在理解场强与电势梯度关系时，大家要注意如下几点：
第一、场强与电势梯度关系式表明，场强在自身方向的投影等于电势在该方向的减少率。由于场强在它自身方向的投影是最大投影，因而此式表示场强的方向是电势减少最快的方向。
第二、场强与电势梯度关系还表明，场强的大小等于电势沿场强方向的减少率。
综合以上两条即有如下结论：场强的方向是电势减少最快的方向，而场强的大小等于电势沿该方向的减少率。由于电势梯度与场强的大小相同而方向相反，因而反过来有下述结论：电势梯度的方向沿着电势增加最快的方向，而电势梯度的大小等于电势沿该方向的变化率，即电势的最大变化率。此结论不仅对于电势分布是正确的，而且对所有标量场都成立。
下面给大家讲两个例题，帮助大家掌握场强与电势梯度关系式的应用。
【例1】在均匀带电细圆环轴线上任一点的电势公式可以表示为：
　　
其中，x表示圆心到场点的距离，R是圆环的半径。求轴线上任一点的场强。
【解】
由于均匀带电细圆环的电荷分布对于轴线是对称的，所以轴线上各点的场强在垂直于轴线方向的分量为零，因而轴线上任一点的场强方向沿x轴。场强与电势梯度关系式的分量形式可得
　　
这一结果与使用迭加原理得到的结果相同。

【例2】已知电偶极子的电势公式
　　
求电偶极子的场强分布。

电偶极子电场
【解】
如图建立坐标系。令电偶极子中心位于坐标原点O，并使电矩p指向x轴正方向。设场点P所在平面为Oxy平面，显然P点的场强也在Oxy平面内，即只有Ex、Ey两个分量。由于
　　
及
　　
所以
　　
对任一点P(x,y)，场强与电势梯度关系式的分量式可以得出
　　
　　
这个结果还可以用矢量式表示如下：
　　
其正确性同学们可以自行验证。


§6.5 静电场中的导体
6.5.1 静电平衡及其条件
一、静电感应与静电平衡
所谓导体就是能够导电的物体，在形态上可以是固体、液体或气体。从微观上分析，导体区别于绝缘体是因为它内部有大量可以自由移动的电荷，这些电荷称为载流子。在不带电的时候，导体中的每一个区域内，自由的负电荷都与正电荷精确地中和，导体不显电性，我们说它处于电中性状态。如果我们把导体放入静电场 中，电场将驱动自由电荷定向运动，形成电流，使导体上的电荷重新分布，见下图(a)。在电场的作用下导体上的电荷重新分布的过程叫静电感应，感应所产生的电荷分布称为感应电荷，按电荷守恒定律，感应电荷的总电量是零。感应电荷会产生一个附加电场 ，见下图(b)，在导体内部这个电场的方向与原场 相反，其作用是削弱原电场。随着静电感应的进行，感应电荷不断增加，附加电场增强，当导体中总电场的场强 的时候，自由电荷的再分布过程停止，静电感应结束，导体达到静电平衡，见下图(c)。由于导体中自由电荷的量十分巨大（对于铜，自由电子密度为 ，自由电荷密度为 ），静电感应的时间极短 。通常在我们处理静电场中的导体问题时，若非特别说明，总是把它当作已达到静电平衡的状态来讨论。

导体的静电感应和静电平衡
二、导体静电平衡条件
导体达到静电平衡后，导体的电场及电荷分布要满足一定的条件，称为导体静电平衡条件。导体实现静电平衡的具体方式有很多，可以把不带电的导体放入电场中，或是给不带电的导体注入电荷，或是将已经带电的导体再施加一个电场的影响。但无论是什么情况，只要导体达到了静电平衡，即自由电荷停止了定向流动，下述的条件就一定满足。
1、场强条件
静电平衡导体中的电场强度为零；导体表面外附近的场强与表面垂直。导体中的场强为零是显然的，否则电场将继续驱动自由电荷运动，这就不是我们讨论的静电平衡状态了。导体表面附近的场强可以不为零，但它必须与表面垂直，否则场强沿表面的切向分量也能驱动自由电荷形成表面电流，破坏静电平衡。静电感应对电场的影响不局限于在导体内部，导体外部的电场也可能因静电感应而发生改变。见下图，在均匀电场中放入一导体球，静电平衡后，不仅导体球所在空间的场强变为零了，导体球外的电场也因感应电荷的生成而发生了改变，不再是原来的均匀电场了。

均匀电场中的导体球
2、电势条件
静电平衡的导体是一个等势体；导体表面是一个等势面。导体内的场强为零，按场强与电场梯度的关系， 可知电势梯度为零，即导体的各处的电势相等，故导体是一个等势体，其表面是一个等势面。显然，导体内或导体表面电势不等就会有电势差，因而就有电流，就会破坏静电平衡，所以上述结论是很显然的。导体表面既然是等势的，那么表面以及表面附近的场强就应该垂直于表面，这与条件1中谈到的表面的场强垂直于表面的结论是一致的。
以上的关于场强和电势的静电平衡条件是基本的，下面的结论可作为推论。
推论一 静电平衡导体内各处的净电荷为零，导体自身带电或其感应电荷都只能分布于导体表面。这一结论可以用高斯定理来证明。在导体内部任意作一个闭合曲面S，按高斯定理有 ，由于导体内的场强处处为零，故上式左边是零，可见等式右面S面包围的净电荷为零。也即是说，任意地在导体内作一个闭合曲面，无论此闭合曲面在什么位置，无论是大或是小，均不能围住净电荷，这意味着导体内确实没有净电荷，电荷只能分布于导体表面。导体表面不只是指导体的外表面，一个导体空腔，如一个导体球壳的内表面也可能有电荷分布，这将在后面仔细分析。
推论二 静电平衡导体表面外附近的电场强度的大小与该处表面上的电荷密度的关系为：
　　
即表面附近的电场可看作是匀强电场且场强与电荷面密度成正比。这里所说的导体表面附近的含义应是指考察点的位置相对于导体很近，以至于在该点能看到的导体表面上一块很小的面积S就象是一个无限大的平面。
上式也可以用高斯定理来证明，见下图，考察点P在导体表面附近，

导体表面附近的电场
过P点作一个很小的柱型高斯面S，柱面的上底ΔS过P点且与导体表面平行，柱面的侧面与导体表面垂直。由高斯定理 ，定理左边为电场通量，由于导体表面附近的场强与表面垂直，故柱面侧面与场强E平行没有通量，柱面下底在导体内，E=0，故通量也为零，所以只有上底面上有电场通量。由于上底与E垂直，在一个很小的区域内E又可以看作均匀场，故通量为EΔS。公式右边的q为柱面所围住的净电荷，柱面在导体表面围住一块大小也为ΔS的面积，由于电荷可以看作是均匀分布的，故 ， 为导体表面的电荷密度，于是有 ，由此可得 。在上面的推导过程中所用图形是按导体表面电荷为正的情况下作出的，若表面为负电荷，容易看出，以上的推论仍然正确，但电场的方向是指向导体表面的。
按高斯定理的物理含意，上式中的E应是合场强，不要误解为就是考察点P附近的导体表面处的电荷所贡献的场强，而是所有表面上的电荷以及导体外的电荷共同产生的总电场的场强。
以上所列出的导体静电平衡条件及其推论是普遍成立的，只要是处于静电平衡状态的导体，这四条结论就必然成立。下面谈到的这个推论是有条件的，即：若没有其它电场的影响，导体上曲率越大的地方电荷面密度也越大。如一个孤立带电球，它表面的曲率处处相等，故电荷面密度是均匀的。若把它放在另一个点电荷产生的电场中，则它的电荷分布就不再均匀了。一个孤立带电的椭球，由于电荷的相互排斥，则在长轴端点的电荷密度要大一些。但若是在椭球附近放一个异号点电荷，则该点电荷附近的导体表面的电荷密度可能会更大。若导体表面有尖锐的凸出部分，见下图，由于排斥作用，尖端的电荷面密度可以达到很大的值，尖端附近的电场按 也可以达到很强甚至击穿空气形成尖端放电。若导体表面有凹面存在，则凹面内的电荷密度和场强可以很小。

导体尖端处电荷密度大
有导体的静电学问题比真空中的静电学问题要实际一些，也要复杂一些。这主要表现在真空中所研究的往往是一个确定的电荷分布，而在导体问题中电荷分布却恰好是有待分析的问题，分析电荷分布需要正确地理解静电平衡条件，还常常要用到高斯定理以及电荷守恒定律等基本知识。一旦电荷分布问题解决了，余下的问题，如求场强和电势，就与前面真空中大家所处理过的问题没有多大的区别了。

6.5.2 静电屏蔽
若导体内有空洞，我们称之为导体空腔。一个达到静电平衡的导体空腔能隔断空腔内和空腔外电荷的相互影响，这称之为静电屏蔽。下面我们举例说明，先看如下图所示情况。图中的导体空腔是一个导体球壳，空腔内部没有电荷而空腔外部有个一点电荷。此时导体中的场强为零，下面我们证明，空腔内的场强也为零。在导体中作一闭合曲面S包围空腔，由高斯定理 可知，由于曲面S上的场强为零故电场通量为零，所以S内的净电荷为零。由于空腔内没有电荷，这表明空腔内表面的净电荷也为零。问题在于，是否可能在内表面上存在等值异号的电荷分布而在空腔内形成电场？如果真是这样，正电荷将发出电场线，由于导体内场强为零，这意味着电场线不能穿过导体而只能终止于同样位于空腔内表面的负电荷上，这将违背导体的等势条件，所以空腔内表面也不能有电荷分布。由此可见，空腔内的场强也为零，这表明导体空腔确实屏蔽了空腔外部的电荷对空腔内部的影响。静电屏蔽并不违背场强迭加原理，而应该理解为场强迭加原理应用于导体时的一个结果。导体外部空间的电荷仍然在空腔内的每一点独立地产生它的场强，而在导体外表面分布的感应电荷却能精确地按照迭加原理在每一点把它完全抵消。静电屏蔽是把导体的静电平衡条件应用于空腔时所得到的一个必然结论。静电屏蔽是相当完美的，无论腔外的电荷有多大，无论电荷距离空腔有多近，甚至电荷可以与空腔外表面接触而直接使空腔外表面带上净电荷，空腔内表面都不会有电荷分布，空腔内也都不会有电场分布。

空腔处电荷对空腔内无影响
静电屏蔽在工程技术中有很多的应用，为了避免外场对某些精密元件的影响，可以把元件用一个金属壳或金属网罩起来。高压作业时，操作人员要穿上用金属丝网做成的屏蔽服也是为了防止电场对人体的伤害。屏蔽服也会带电，电势可能会很高，但屏蔽服内的场强却为零，这就保证了操作者的安全。

空腔内电荷对空腔外无影响
下面看上图(a)所示情况，一个导体球壳本身不带电，而在空腔内部有一个点电荷q。在导体中作一闭合曲面包围空腔，由高斯定理可知，曲面内的净电荷为零，即空腔内表面的感应电荷应与空腔内部的电荷等值异号，即为 。按电荷守恒定律，空腔外表面要出现感应电荷 ，并在空腔外产生一个电场。把导体球接地，见上图(b)，这时外表面的感应电荷被中和，导体电势为零。同于空腔外没有电荷分布，所以也没有电场，可见一个接地的导体空腔能屏蔽空腔内电荷对外部的影响。
下图表示空腔内、外均有电荷的情况，它相当于前面两个图的两个电荷分布的迭加。可以理解，这时空腔内（包括内表面）的电荷在空腔外产生的场强仍然为零，而空腔外（包括外表面）在空腔内产生的场强也还是零。这意味着导体空腔屏蔽了空腔内、外电荷的相互影响，这才是静电屏蔽的完整结论。可以证明，这个结论是普遍适用的。
在下图中，按静电屏蔽的结论，如果把空腔中的点电荷移到球心，则空腔内表面的电荷会均匀分布，空腔内的电场会是一个对称的点电荷电场而不会受到空腔外电荷的非对称性的影响。如果空腔内电荷不在球心并把空腔外的点电荷移到远处，则空腔外表面的电荷会均匀分布，空腔外电场将是一个均匀带电球面的电场而不会受到空腔内电荷的非对称性的影响。

导体空腔屏蔽了内、外电荷的相互影响
【例1】一半径为R1的导体球带有电量q，球外有一内、外半径分别为R2和R3的同心导体球壳带电为Q；(1) 求导体球和和球壳的电势；(2) 若用导线连接球和球壳，再求它们的电势；(3) 若不是连接而是使外球接地，再求它们的电势。

【解】
(1) 由静电平衡条件可知，电荷只能分布于导体表面。在球壳中作一闭合曲面可求得球壳内表面感应电荷为 。由于电荷求恒，球壳外表面电量应为 。由于球和球壳同心放置，满足球对称性，故电荷均匀分布形成三个均匀带电球面，见上图(a)，用电势迭加原理可直接求出电势分布。
导体球的电势为
　　
导体球壳的电势为
　　
(2) 若用导线连接球和球壳，球上电荷q将和球壳内表面电荷 中合，电荷只分布于球壳外表面，见上图(b)。此时球和球壳的电势相等，为
　　
(3) 若使球壳接地，球壳外表面电荷被中合，这时只有球和球壳的内表面带电，见上图(c)，此时球壳电势为零
　　
球的电势
　　
此题也可以先求出空间的场强分布，再用电势的定义 用场强积分求出电势，请读者自己考虑。
【例2】一半径为R的导体球原来不带电，在球外距球心为d处放一点电荷，求球电势。若将球接地，求其上的感应电荷。

【解】
由于导体球是一个等势体，故只要求得球内任一点的电势，即为球的电势。此题中球心的电势可以用电势迭加原理求出，它等于点电荷在球心提供的电势与导体球在球心提供的电势的代数和。若导体球上的总电量为Q，由于Q只分布在球表面，故它在球心提供的电势为球面上各微元电荷在球心提供的微元电势的积分 。因球上原来不带电即总电量Q=0，故导体球在球心提供的电势为零，只有点电荷在球心提供电势
　　
若将导体球接地，则导体球总电量Q不再为零，而球心处电势应为零，即有
　　
可解得
　　

【例3】有两块面积较大的导体薄板平行放置，它们的面积均为S，距离为d，见下图。若给a板电荷Qa，b板电荷Qb，(1)求导体板四个表面的电荷分布、空间的场强分布及两板之间的电势差；(2) 若将b板接地，再求电荷分布、场强分布及两板的电势差。

【解】
(1) 不考虑边缘效应，静电平衡时电荷将分布在导体板的表面上形成四个均匀带电平面，设电荷面密度分别为 、 、 、 。由电荷守恒定律可知
　　 　　　　　　　　　　　　　(1)
　　 　　　　　　　　　　　　　(2)
由静电平衡条件，导体板内的A点和B点的场强应为零。先分析A点的场强，A点的场强是四个均匀带电平面场强迭加而来。以向右为正，则 在A点的场强可记作 ，若 为正，则E1为正即场强向右；若 为负则E1为负即场强向左。 在A点的场强可记作 ，若 为正则E2为负即场强向左；若 为负 则E2为正即场强向右。依次类推，A点的合场强可表示为 ，故有
　　 　　　　　　　　　(3)
同理，B点场强为
　　 　　　　　　　　　(4)
联立以上四式可得
　　 ，
两板左边的场强
　　
两板之间的场强
　　
两板右边的场强
　　
以上三式中若E>0，表示场强向右，E 　　
(2) 若将B板接地，地面可考虑作一个延伸到无穷远处的导体，若以无穷远处作为电势零点，则地面和接地的导体电势均为零。此时B板右表面的电荷应为零即
　　
否则将有电场线由B板向右延伸到无穷远处，按照沿着电场线电势降落的结论，这意味着B板电势与无穷远的电势不同，这显然不符合上述的等势条件。此时问题（1）中的（2）式由于B板和地面交换电荷已经不成立了，而（1）、（3）、（4）式仍成立。注意到已有 ，可解得
　　 ，
即电荷分布集中于两导体板的内侧，这是一个典型的平板电容器的电荷分布。进而可求出三个区域此时的场强为
　　 ，
两板间的电势差为
　　



6.5.3 电容器
导体可容纳电荷，利用导体的这一性质制成的电容器是电子技术中最基本的元件之一。我们把两个导体定义为一个电容器，更复杂的情况可以用电容器的串联、并联等概念来处理。如下图所示，有两个导体A和B组成一个电容器，A、B称为电容器的两个极板。设两个极板分别带电 和 ，若没有外电场的影响，实验证明，两极间的电压V与电量Q成正比
　　

电容器的概念
这个结果可以这样来理解。若每个极板的电量均增加一倍，则每个地方分布的电荷都应是原来的两倍。按场强迭加原理，电场中每一点的场强也应是原来的两倍，电压是两极间场强的积分，自然也应是原来的两倍了。上式中的比例常数
　　
定义为电容器的电容。电容取决于电容器的结构即两导体的形状、相对位置及导体周围电介质的性质而与电容器的带电状态无关。电容描述电容器的容电能力，即电容器中有单位电压时每个极板所带的电量。实际上，如上图所示的那样两个一般的导体构成的电容器的电容很小，而且容易受到外电场的干扰而影响到Q和U的正比例关系。通常的实用电容器是由两个距离很近的导体板构成（如平板电容器），或是把电容器的一个极板做成一个导体空腔，另一个极板放在空腔之内形成屏蔽（如圆柱形电容器，和球形电容器），这样做的好处是电容器的电容较大而且不容易受到外电场的影响。
一、常见电容器电容的计算
1、平板电容器

平板电容器
一般的平板电容器由夹有一层介质的两个平行而靠近的金属薄板A、B构成，见上图。设A板带电 ，B板带电 ，忽略边缘效应，电荷将各自均匀地分布在两板的内表面，电荷面密度的大小为 。由D高斯定理可求得两板间的电位移矢量
　　
两板间的电场强度为
　　
其中 为介质的介电常量，场强方向由A板指向B板。两板间的电压为
　　
其中积分沿场强的方向进行。故平板电容器的电容为
　　
显然，平板电容器的电容取决于两板的形状（S）、相对位置（d）和介质的性质（ ）。平板电容器充满介质后与不充介质时电容的比值
　　
即与相对介电常量成正比，因而 又称为介质的相对电容率， 为介质的电容率， 为真空的电容率。

2、圆柱形电容器

圆柱形电容器
圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒A、B构成，见上图。两个圆筒的长度均为L，内筒的外径为RA，外筒的内径为RB，它们之间的介质的介电常量为 ，设A筒带电 ，B筒带电 。忽略边缘效应，电荷应各自均匀地分布在A筒的外表面和B筒的内表面上，单位长度上的电量 。由D高斯定理可求得两筒之间距离轴线为r的p点的电位移矢量
　　
进而求出电场强度
　　
场强方向沿半径方向由A筒指向B筒。将场强沿径向积分可得到两筒间的电压
　　
故圆柱形电容器的电容
　　
单位长度上的电容为
　　
3、球形电容器

球形电容器
球形电容器由两个同心的导体球壳A、B构成，见上图。设内球的外径为RA，外球的内径为RB，两球间介质的介电常量为 。若内球带电 ，外球带电 ，则电荷将形成两个均匀带电球面，通过D高斯定理可求得两球之间距离球心为r的p点的的场强
　　
方向沿半径方向。两球之间的电压
　　
故球形电容器的电容为
　　
一个孤立的导体球可当作是球形电容器的一种特殊情况，即 的情况。设若 ，此时B球上的电荷 将均匀地分布在一个无穷大的球面上，实际上可以认为该电荷分布已可忽略不计。此时B球在无穷远处,电势为零，A、B球之间的电压就是A球的电势。设介质为空气，则A球电势为
　　
其中R即A球半径，孤立导体球的电容为
　　
显然，此式也可由前面的式子直接取 而来。
从以上三种电容器的计算结果可以看出，两个极板间距越小,电容的值越大。但间距小了也会产生另一个问题，即电容器容易击穿。对于额定的电压，两板间距越小，介质中的场强越强，当场强超过一定的限度（击穿场强）时，分子中的束缚电荷能在强电场的作用下变成自由电荷，这时电介质将失去绝缘性能而转化为导体，电容器被破坏。
二、电容的联接
在实际应用中，若已有的电容器的电容或耐压值不满足要求时，可以把几个电容联接起来构成一个电容器组，联接的基本方式有并联和串联两种。
1、并联电容器
下图表示几个电容器的并联。充电以后，每个电容器两个极板间的电压相等，设为U，有
　　
U也就是电容器组的电压。电容器组所带总电量为各电容器电量之和
　　
所以电容器组的等效电容为
　　
由于 为每个电容器的电容，所以有
　　
即并联电容器的等效电容等于每个电容器电容之和。

电容器的并联
2、串联电容器
下图表示n个电容器的串联，充电后，由于静电感应，每个电容器都带上等量异号的电荷 和 ，这也是电容器组所带电量，故有
　　
电容器组上的总电压为各电容器的电压之和
　　
为了方便，我们计算等效电容的倒数
　　
即有
　　
此式表示串联电容器的电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和。

电容器的串联
【例1】平行板电容器两板面积均为S。在两板间平行地重迭地放置两块面积也是S，厚度分别为d1和d2，介电常量分别为 和 的介质板，见下图，求电容器的电容。

【解】
设两个极板A、B分别带电 和 ，面电荷密度 。忽略边缘效应，两种介质中分别出现均匀电场，场强E和电位移矢量D均垂直于平板向下。如图，作两个底面积分别为ΔS1和ΔS2的柱形高斯面S1和S2，两底与平板平行，侧面与平板垂直。由于它们的上底在导体板内，E=0，D=0，所以D通量为零。侧面与D线平行，所以D通量也为零，所以只有下底有D通量。注意下底分别在两种介质中，由D高斯定理
　　
　　
有
　　
　　
得到
　　
即此时两种介质中的D是相等的。两种介质中的场强
　　
　　
两板之间的电压
　　
所以电容器的电容为
　　
或记作
　　
可见当平板电容器中平行的重迭放置两种介质时，其电容相当于两个平板电容器的串联。这两个电容器的板面积仍为S，板距分别为d1和d2，其中介质的介电常量分别为 和 。


§6.6 电介质
6.6.1 电介质的极化及其机制
电介质中几乎没有自由电荷，分子中的电荷由于很强的相互作用而被束缚在一个很小的尺度（10–10m）之内。在外电场的作用下，这些电荷也会在束缚的条件下重新分布，产生新的电荷分布来削弱介质中的电场，但却不能象导体那样把场强减弱为零。下面我们就来讨论这种现象，而且只讨论均匀的、各向同性的介质的情况。
分子由等量的正、负电荷构成，在一级近似下，可以把分子中的正、负电荷作为两个点电荷处理，称为等效电荷，等效电荷的位置称为电荷中心。若分子的正、负电荷中心不重合，则等效电荷形成一个电偶极子，其电偶极矩 称为分子的固有电矩，这种分子叫有极分子。如HCl分子，H原子一端带电 ，Cl原子一端带电 ，形成一个电偶极子，这是化学中典型的极性共价键。几种分子的固有电矩见表9.1。若分子的正、负电荷中心重合，则分子的电偶极矩为零，这种分子叫无极分子。H2、O2、N2、CO2分子即属于这一类情况，化学中称为非极性共价键。


有极分子的极化示意图
有极分子在没有外场作用时，由于热运动，分子电矩无规则排列而相互抵消，介质不显电性，见上图(a)。在有外场E0的作用时，分子将受到一个力矩的作用（见上图(b)）而转动到沿电场方向有序排列，如图 (c)所示意，这称为介质的极化。有极分子的极化是通过分子转动方向实现的，称为取向极化。若撤去外场，分子电矩恢复无规则排列，极化消失，介质重新回到电中性。分子热运动的无规则性与分子极化时的取向性是矛盾的，一般说来，电场越强，温度越低，则分子的排列越有序，极化的效应也越显著。

无极分子极化的示意图
无极分子在没有外场作用时不显电性，见上图(a)。有外场作用时，正负电荷中心受力作用而发生相对位移，形成一个电偶极矩，称为感生电矩，见图(b)。感生电矩沿电场方向排列，使介质极化，见图 (c)所示意。无极分子的极化是由于分子正负电荷中心发生相对位移来实现的，故称为位移极化。若撤去外场，无极分子的正、负电荷中心重新重合，极化消失，介质恢复电中性。显然，位移极化的微观机制与取向极化不同，但结果却相同：介质中分子电偶极矩矢量和不为零，即介质被极化了。所以，如果问题不涉及极化的机制，在宏观处理上我们往往不必对它们刻意区分。
6.6.2 极化强度与极化电荷
极化电荷与介质中的电场
如果介质是均匀的，极化的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。极化电荷不是自由电荷，不能自由流动（有时也称为束缚电荷），但极化电荷仍能产生一个附加电场 使介质中的电场减小。
介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果。下面考虑一种比较简单而常见的情况，即各向同性介质均匀地充满电场的情况来定量地说明这种迭加的规律。所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的和场的电场强度E为原来真空中的电场强度 的 分之一，即
　　
其中 为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。对于“真空”， ，对于空气，近似有 ，对其它介质， 。
加入介质以后场强的变化是由于介质中产生的极化电荷激发的附加电场参与迭加而形成的。在介质均匀地充满电场这种简单条件下，我们可以通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。以点电荷为例，真空中的点电荷 在其周围空间任一点p激发的电场为
　　
充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。极化电荷是分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。这是一个很小的范围，从观察p看去，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为 ，它在p点激发的电场应为
　　
介质中的场强应是 与 迭加的结果
　　
又由前式可知，介质中点电荷电场中的合场强为真空中场强的 ，故有
　　
比较这两式即可得到
　　
上式表示自由电荷和束缚电荷的总和等于自由电荷的 。于是我们可解得点电荷周围的极化电荷电量
　　
由于 ，故极化电荷与自由电荷反号，这是预期中的结果。对于其它的电荷分布，只要是在介质均匀地充满电场的条件下，均可如此分析。按 ，可知场强总是为真空中自由电荷产生场强的 ，由之可以理解，这时每个地方的自由电荷和束缚电荷的总和均应为自由电荷的 ，即有 ，于是我们依然可以得到 。
定义
　　
为介质的介电常量，则介质中的点电荷电场为
　　
与点电荷在真空中的场强比较，公式形式不变，唯一的变化是把 换成了 。由于在所有的场强公式中，真空中的介电常量 均在分母中，故在介质均匀地充满电场时，场强公式的形式都不会变，但必须把 换作 。上式中介质中的场强比真空中要小，我们知道，这是由于极化电荷的场强影响的结果，但极化电荷在式子中并未出现，但它们影响已包含在 之中了。
6.6.3 介质中的高斯定理、电位移矢量
介质中的高斯定理
静电场中的高斯定理 是普遍成立的，式子右边的q是闭合曲面S内的净电荷。当电场中有介质时，它应当是自由电荷与极化电荷的总和即 ，于是高斯定理可记作
　　
式子中的极化电荷 一般情况下是一个未知量，在应用时不方便，我们设法把它用自由电荷来表示。严格的推证很麻烦，我们用介质均匀地充满电场的情况来说明这个问题。按前面所述，介质均匀地充满电场时，极化电荷出现在自由电荷旁，每个地方自由电荷和极化电荷的总电量均为自由电荷的 ，即有 ，把它代入高斯定理有
　　
由于在电场E中只有一种介质 ，于是有
　　
定义一个新的物理量叫电位移矢量，用D表示，
　　
即在电场中的任意一点，电位移矢量等于该点介质的介电常数 与电场强度E之积。于是高斯定理表示为
　　
这就是介质中的高斯定理，简称为D高斯定理。介质中的高斯定理表明，电场中通过任一闭合曲面的电通量等于闭合曲面围住的净自由电荷。可以证明，介质中的高斯定理对任意的电荷分布，任意的介质分布都成立。若介质就是“真空”或空气，此时 ，介质中的高斯定理将还原为高斯定理原来的形式 。
和电场强度E相似，电位移矢量D也在电场所在空间构成一个矢量场，其矢量线称为电力线，简称D线。D线的方向表示D的方向，D线的密度表示D的大小。D的通量 称为电通量或D通量，表示通过曲面S的D线条数 。D高斯定理表明：在闭合面S上的D通量等于曲面S内自由电荷的代数和即净自由电荷。D高斯定理的物理意义是D线发自于正的自由电荷，终止于负自由电荷。这与电场线即E线不同，E线始于正电荷，终于负电荷而无论这种电荷是自由的还是束缚的，见下图。D线的起点和终点与极化电荷无关，但不能认为D与极化电荷无关。场强E是由自由电荷和极化电荷共同产生的，故E与极化电荷的分布相关，故由E定义的D亦与极化电荷的分布相关。图9-14是在一个均匀电场中放入一个介质球前后的E线和D线的分布情况，极化电荷对电场的影响，特别是对E和D方向的影响是十分明显的。

E线和D线
均匀电场中放入介质球前后的E线和D线

电位移矢量的单位是c/m2即库伦每平方米，与电荷面密度的单位相同。
6.6.4 介质中的高斯定理的应用
介质中高斯定理可以用于求解带电系统和介质都具有高度对称性时产生的电场的场强。下面我们通过几个例题来讲解它的应用。
用介质中的高斯定理求电场同样要求电荷，包括自由电荷和极化电荷分布满足一定的对称性。这在实际的导体和介质的静电问题中，则是要求导体和介质本身的形状对称，于是才可能有电荷分布的对称及电场分布的对称，从而能简单地求出D和E来。
【例1】若导体外有介质，求证，导体表面附近的电位移矢量与导体表面电荷面密度的关系为 。

【证明】
如图所示在导体表面附近作一底面为ΔS的闭合柱面S，其侧面与导体表面垂直。按D高斯定理，柱面上的D通量
　　
由于在导体内 故 ，所以柱的下底没有D通量。由于导体表面是等势面，表面附近E与表面垂直，故D也与表面垂直。所以柱的侧面也没有D通量。只有柱面上底面有D通量。所以有
　　
得到
　　
故命题得证，同时还有
　　
若 为正电荷，D和E垂直于导体表面指向导体外，否则垂直于表面指向导体内。若介质为空气，则回到原来的导体表面附近场强与电荷面密度的关系

【例2】半径为r1的导体球带电为 ，球外有一层内径为r1外径为r2的各向同性均匀介质，介电常量为 ，见下图。求介质中和空气中的场强分布和电势分布。

【解】
由于导体和介质都满足球对称性，故自由电荷和极化电荷分布也满足球对称性，因而电场的E和D分布也具有球对称性，即其方向沿径向发散，且在以O为中心的同一球面上D、E的大小相同。如图在介质中作一半径为r的球面S1，按D高斯定理
　　
有
　　
故
　　
所以介质中的场强
　　
方向沿径向发散。同理在介质外作一球面S2，则仍然有
　　
故介质外的场强
　　
方向沿径向发散。
介质中距球心为r的一点的电势为
　　
空气中距球心为r的一点的电势为
　　
电场中有介质时，一般不宜用迭加原理来求场强E和电势V，否则必须要考虑极化电荷 单独产生的那一部分场强 和电势 。在一定的对称条件下，用D高斯定理求出D，由 得到E，进而用 求出V是常用的方法。

§6.7 静电场的能量 6.7.1 电容器的储能
电容器的能量

电容器充电对外力作功
一个电容器在没充电的时候是没有电能的，在充电过程中，外力要克服电荷之间的作用而作功，把其它形式的能量转化为电能。如上图所示，一电容器正在充电，在充电过程中，无论是用什么装置、什么方法，总是要不断地把电荷从一个极板输运到另一个极板，从而使两个极板带上等量异号的电荷。设输运的电荷为正电荷，在某一个微元过程中，有数量为dq的电荷从负极输运到了正极A。若此时电容器带电量为q，两极板间电压为U，则该微元过程中外力克服电场力作功为
　　
若在整个充电过程中电容器上的电量由0变化到Q，则外力的总功为
　　
按能量转换并守恒的思想，一个系统拥有的能量，应等于建立这个系统时所输入的能量。在电容器充电的过程中，能量是通过作功输入到电容器中的，外力的功表现为能量转换的量度。于是我们可以肯定，一个电量为Q，电压为U的电容器贮存的电能应该为
　　
图中形式上是一个平板电容器，但我们讨论的过程中并没有涉及到平板电容器的特性，而是对任意电容器都能适用，所以上式的结论是普遍地成立的。
6.7.2 电场能量、电场能量密度
静电场的能量
电容器中贮存的能量究竟是贮藏在电荷之中还是在电场之中在静电学中是无法判断的，因为电场总是与电荷伴随而不可能分开。在一般的电磁场理论中这个问题不难解决。例如现在人类已能探测到一百亿光年以外星体的发光，光是电磁波即变化的电磁场。最初产生电磁场的那些电荷分布现在是否存在我们无从知道，但它产生的电磁场所依然存在，并能携带着能量来启动我们的仪器使我们探测到它的存在，可见能量确实存在于场之中，电能就是电场的能量（同样，磁能也就是磁场的能量，见后面的知识点）。让我们来计算一个平板电容器的电能
　　
其中V表示电场的体积。此结果表明，对一定的介质中一定强度的电场，电能与电场体积成正比，这与我们说电能是存贮于电场中的能量的说法是一致的。平板电容器中的电场是均匀电场，因而电场能量的分布也应该是均匀的，所以我们能求出单位体积内的电场能量即电场的能量密度
　　
可记作
　　
可以证明，此式是普遍正确的。有了电场能量密度以后，对任意的电场，可以通过积分来求出它的能量。在电场中取体积元dv，在dv内的电场能量密度可看作均匀的，于是dv内的电场能量为 ，在体积V中的电场能量为
　　
【例1】一球形电容器内、外球的半径分别为 和 ，见下图。两球间充满相对介电常量为 的电介质，求此电容器带有电量Q时所贮存的电能。

【解】
球形电容器充电后，内外两球分别带有电量 和 。由高斯定理可求出内球内部和外球外部的场强为零，两球之间的场强为
　　
在两球之间取一个半径为r，厚度为dr的球壳，它的体积
　　
球壳内的电场能量密度可看作是均匀的，故球壳内的电场能量为
　　
电容器贮存的电能为
　　
球形电容器的电能也可以直接用电容器贮存电能的公式求出
　　



本章小结
一、库仑定律
　　
二、电场强度
　　
三、场强迭加原理
点电荷场强
点电荷系场强
连续带电体场强
四、静电场高斯定理
　　
五、几种典型电荷分布的电场强度
均匀带电球面
均匀带电球体
均匀带电长直圆柱面
均匀带电长直圆柱体
无限大均匀带电平面
六、静电场的环流定理
　　
七、电势
　　
八、电势迭加原理
点电荷电势
点电荷系电势
连续带电体电势
九、几种典型电场的电势
均匀带电球面
均匀带电直线
十、场强与电势梯度的关系
　　
十一、导体静电平衡条件
(1) 导体内电场强度为零 ；导体表面附近场强与表面垂直 。
(2) 导体是一个等势体，表面是一个等势面。
推论一 电荷只分布于导体表面
推论二 导体表面附近场强与表面电荷密度关系
十二、静电屏蔽
导体空腔能屏蔽空腔内、外电荷的相互影响。即空腔外（包括外表面）的电荷在空腔内的场强为零，空腔内（包括内表面）的电荷在空腔外的场强为零。
十三、电位移矢量
十四、介质中的高斯定理
静电场中任一闭合曲面上的D通量等于曲面内的净自由电荷。
十五、电容器的电容
　　
平行板电容器
圆柱形电容器
球形电容器
孤立导体球
十六、电容器的联接
并联电容器
串联电容器
十七、电场的能量
电容器的能量
电场的能量密度
电场的能量