Dirac函数 拉氏变换后积分为1，指数增长趋于常数 无限变有限,高维变低维

来源: marketreflections 于 2009-08-07 10:41:34 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (3081 bytes)

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第六节 拉氏变换及其性质


一 拉氏变换的基本概念





定义


设函数f(t)的定义域为[0， ),若广义积分 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即F(p)=


则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数，拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p)的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).





说明：


1）为方便计，总假定：当t 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。不影响讨论。
3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为：傅里叶变换）。





例题


例1 求f(t)=eat（t 0, a是常数）的拉氏变换。
例2 求f(t)=at（t 0, a为常数）的拉氏变换。
例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。
同理可求L[cos t].





公式小结：


L[eat]= (p>a)


L[t]= (p>0)


L[sin t]= (p>0)


L[cos t]= (p>0)





在自动控制系统中，经常会遇到下述两个函数：
（1）单位阶梯函数：




在例1中，令a=0得L[u(t)]= (p>0)





当常数a


故不难得


或
（分三段讨论）（参考下图）





u(t)


1


t


O


u(t—a)


1


O


a


t


1


O


b


u(t—b)


t


1


f(t)


a


b


t


O


(1)


(2)


(3)


(4)






结论：设0





则





例4 已知






试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。





例5 已知




试将f(t)合写为一个式子。





（2）狄拉克函数 (Dirac)
定义 设




则称 为狄拉克函数，


简称 函数。





的图象：



t


O


(1)


O


t


(2)






的性质


设g(t)是 上的连续函数，则





例6 求u(t)的拉氏变换。



例7 求 的拉氏变换。





公式小结：






性质1 （线性性质）
L[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1L[f1(t)]+a2L[f2(t)]
=a1F1(p)+a2F2(p)


例8 求 的拉氏变


换。


二 拉氏变换的性质






性质2（平移性质）
若L[f(t)]=F(p)，则




例9 求





布置作业：


P44: 1(1)(4)(5)(9)(17)

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