如何定价思路 交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套利者卖出一份股票期权,价格为V,再以价格S

来源: marketreflections 于 2009-02-06 22:30:15 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (9163 bytes)

股票期权定价问题

Black-Scholes方程

和二叉树方法


数学实验


上海交大数学系

乐经良








在世界大多数证券市场上,有一种期权(option)的交易.例如,某种股票的现价为S=42美元,该股票的年波动率s=20%,市场的无风险年利率r=10%;若客户希望拥有在六个月即0.5年后以约定价格X=40(美元)购进这种股票的权利,而且届时他也可以放弃这种权利.试问:为拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言之,这种期权的价格为多少?


实际问题








背景知识


衍生证券 — 期权(option)


约定价格：

看涨期权(call opton)；看跌期权(put option)


欧式(European)期权；美式(American)期权


期权价格：一种未定权益的价格


Black — Scholes 方程








简单分析


股票的现价为S,由于股票价格的波动率,到期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为Sd. 为简单计,暂且假定涨跌幅均为10％ ,则有u=1+10％=1.1 ，d =1-10％＝0.9,


Su($46.2)



S

Sd ($37.8)


显然前一情况客户会执行期权，后一情况会放弃期权








在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格$40购进股票.这时期权的价格应为

Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元)


期权价格


在股票价格为$37.8时,客户必定放弃这约定的股票购买权,这时期权的价格应为

Vd = 0(美元)


在期满日T时,期权

价格为

VT = max (ST - X )


Vu (6.2) V ?

Vd (0)


反问题：由VT 求 V






http://72.14.253.160/search?q=cache:vUIQYiJfPbMJ:math.sjtu.edu.cn/jidi/sxsy/manuel/twotree.pps+%22+Black--Scholes%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%80%9D%E8%B7%AF%5C%22&hl=zh-CN&ct=clnk&cd=9&gl=cn&st_usg=ALhdy2-8pFVHz0l7Sa2Mv5p8y9Sg3hQSCw

如何定价的思路


基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套利者卖出一份股票期权,价格为V,再以价格S买进a份这种股票,那么该组合的价格为


组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无风险利率，那么在期权期满日,组合增值后的价值为


其中






另一方面，如前面分析，

这组合的在期权满日价格


由于组合无风险，故


将数据代入 r=e0.1×0.5,

u = 1.1,d = 0.9,得到


V = 4.454








再作分析


记


那么


注意 p 正是股票价格上扬的概率,1- p 是股票价格上扬的概率，于是








Black - Scholes方程


利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以导出


Black-Scholes方程虽然影响巨大,但是它的数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.


对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式








二叉树


在简单分析中.有一个显然的问题,例子中到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅10％的假定都是很粗略的


事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们将T分为很多小的时间间隔Dt,而在每一个Dt,股票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为p,那么下跌的概率为1- p


如前所述,即股票预期收益率等于无风险利率,故有








利用概率论的知识，可以导出


确定有关常数








股票价格二叉树图



Su4

Su3

Su2 Su2

Su Su

S S S

Sd Sd

Sd2 Sd2

Sd3

Sd4




一个T = 4 61508;t 的二叉树图








计算期权的价格


期权的预期收益率也应该等于无风险利率,故有


期权的计算将从树图 Vu

的末端(T时刻)开始向后 V

倒推进行.时刻的期权

价值是已知的,可倒推出 Vd

前一个时刻的期权价格








计算的实例


59.30

19.39

56.05

52.91 16.39 52.91

13.58 16.39

49.94 49.94

47.14 13.58 47.14 10.28 47.14

8.56 7.81 7.14

44.49 44.49 44.49

42 6.51 42 6.71 42 4.83 42

4.83 4.04 3.16 2

39.64 39.64 39.64

2.79 37.42 2.02 37.42 1.11 37.42

1.27 0.61 0

35.32 35.32

0.34 33.34 0 33.34

0 0

31.47

0 29.70

0









算得期权价格


当61508; t =1/12, 得到V = $ 483


当然61508;t 越小，可得越精确的结果


实验任务


取61508; t =1/360, 求期权价格








美式期权的例子


股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率s=40%,市场的无风险年利率r=10%;敲定价格为X=50(美元),美式看跌期权的有效期为五个月即T=0.4167(年)意味着期权持有者有权在五个月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃这种权利.那么这种期权的定价应为多少?








有关数据


若将T 分成五段,每段长度1个月,则61508;t ＝0.0833(年),利用已知数据可以求出








用二叉树计算


89.07

79.35 0

0

70.70 70.70

62.99 0 62.99 0

0.63 0

56.12 56.12 56.12

50 2.15 50 1.30 50 0

4.48 3.76 2.66

44.55 44.55 44.55

6.95 39.69 6.37 39.69 5.45

10.35 10.31

35.36 35.36

14.64 31.50 14.64

18.50

28.07

22.93








实验任务


取61508; t =1/360, 求上一问题美式期权价格


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