在期满日T时,期权价值为VT = max (ST - X )逆向求解：由VT 求 V

数 学 实 验


OPTION
股票期权定价问题

Black-Scholes方程
和二叉树方法


作者: 张帆
班级: F0303032 学号: 5030309895

指导老师: 乐经良

2004年4月18日


（名人名言）

一、问题的重述
（问题一）在世界大多数证券市场上, 有一种期权(option)的交易.例如,某种股票的现价为S=42美元, 该股票的年波动率s=20%, 市场的无风险年利率r=10%; 若客户希望拥有在六个月即0.5年后以约定价格X=40(美元) 购进这种股票的权利, 而且届时他也可以放弃这种权利.试问:为拥有这种购买的选择权, 客户该付多少钱? 换言之,这种期权的价格为多少?

二、名词解释
期权 (option)：衍生证券的一种。是一种选择权，持有者有在约定时间以约定价格向其权提供者购买或售出某种资产的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。
看涨期权(call option)：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务。
看跌期权(put option)：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的义务。
欧式(European)期权：只能在期满日执行的期权。
美式(American)期权：可以在自购买起直至期满日之间任何一天执行的期权。
期权价格（Price）：这种权力对应的经济价值。

三、简单分析
股票的现价为S,由于股票价格的波动率,到期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为Sd. 为简单计,暂且假定涨跌幅均为10％ ,则有u=1+10％=1.1 ，d =1-10％＝0.9,

显然前一情况客户会执行期权，后一情况会放弃期权
在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格$40购进股票.这时期权的价值应为
Vu = Su - X = 46.2 - 40 = 6.2(美元)
在股票价格为$37.8时,客户必定放弃这约定的股票购买权,这时期权的价值应为
Vd = 0 (美元)
在期满日T时,期权价值为
VT = max (ST - X )
逆向求解：由VT 求 V


Black - Schole 的基本思路是套期保值, 即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略. 假定现在套利者卖出一份股票期权, 价格为V, 再以价格S买进α份这种股票, 那么该组合的价格为

组合的目的是使之不具有风险, 从而可获得无风险利率，那么在期权期满日,组合增值后的价值为

其中

另一方面，如前面分析，这组合的在期权满日价格

由于组合无风险，故

即




将数据代入 r = 0.1, u = 1.1,d = 0.9, 得到：
V = 4.454


记 ，那么

注意 p 正是股票价格上扬的概率,1- p 是股票价格上扬的概率，于是




四、Black - Scholes期权定价模型
评估上市交易期权的最常用的方法包括Black-Scholes模型和Cox-Ross-Rubinstein binomial价格模型。 产生于20世纪70年代早期的Black-Scholes模型比其他模式更广泛地应用于股票期权。它使用了精确的基于股票增值的可能性的方法。这种方法起先是用于交易“欧式”期权，而且仅在期权到期的最后一天可执行，它是和非支付股息股票一起发展起来的。起先的模式现已经被修改，并已能够支付股息股票和“美式”期权，这种股票期权在期权到期前的任何时间内都可以执行的并进行结算。
Black-Scholes模型包括了一些其他重要的假定，其中一些可能限制该模型在评估非交易期权像员工股票期权的作用。那些假设如下：

61548; 在其中没有利润要求、税收或办理花费，比如回扣。
61548; 无风险利益率一直不变。
61548; 利益产出一直不变。
61548; 在短期内股票价格仅能有一个很小数量的改变。
61548; 期权的期限是暂时的]
61548;61472;该股票价格的方差一直不变。

由于在Black-Scholes公式中在预期收益上波动性的显著性，该模型一般对具有高波动性和低分红的公司的期权得出高价值，并且对低波动性和高分红的公司的期权计算出低价值。
一些评论家对Blakc-Scholes模型在期权价值计算方面的用途提出疑问，因为它没有包含对预期未来股票增值的具体的假设。然而，Black-Scholes反映了无风险收益和该股票预期的价格方差，因而它实际上反映了未来股票增值的潜在程度。
Cox-Ross-Rubinstein（Binomial）模型
Cox-Ross-Rubinstein模型，也叫binomial模型，和Black-Scholes模型是基于同样的基本理论，并包括了一些随时间改变而不同的因素的价值曲线。像这样，Cox-Ross-Rubinstein模型在评估期权价值方面提供了更大程度的弹性和复杂性，由于假设可能在期权期限上改变。因为它指出了对早期执行可能性的价值（即，在任何一天行权而不是在期权到期的最后一天行权），该binomial模型通过其重复的过程更加准确地评估股息的影响。结果，Black-Scholes模型和binomial模型将提供不同的期权价值，取决于在股息产出方面改变的不同。除了股息的投入量，binomial模型允许使用不同的利率。取决于假设使用的未来利益率，该模式将产生不同的期权价格。对没有预计股息或具有不变股息数量的公司而言，binomail模型总的来说就提供了一个相似于Black-Scholes模型的价格。因此，当binomial模型比Black-Scholes模型更具弹性，因为binomial模型允许了许多假设的同时，结果可能几乎一样。


利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以导出

对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式，布莱克—斯科尔斯期权定价模型用下列公式计算普通股的欧式买入期权的公平（理论）价格：
看涨：
看跌：
其中：






由于布莱克—斯科尔斯期权定价模型不包括现金支付在内，所以此模型主要是针对不派发股利的股票而设计的。由布莱克—斯科尔斯期权定价模型得出的期权价格是公平的（fair），也就是说，如果存在其他任何价格，就有可能通过持有弥补头寸的基础股票而获得无风险套利。如果市场上买入期权价格比布莱克—斯科尔斯期权定价模型得出的价格高，投资者可以卖掉买入期权，同时买入一定量的基础股票，反之，如果买入期权的市场价格低于该模型得出的“公平”价格，则投资者会购进买入期权，并卖空一定数量基础股票，这种通过持有一定基础股票头寸的套期保值过程可以使投资者锁定无风险套利的利润。
Black-Scholes方程虽然影响巨大,但是它的数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.
将问题一的数据代入得到：
V = 4.759

五、二叉树模型（Binary Tree Mode）
在简单分析中. 有一个显然的问题, 例子中到期满日股价只有两种可能以及涨跌10％的假定都是很粗略的。事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们将T分为很多小的时间间隔Dt,而在每一个Dt,股票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为p, 那么下跌的概率为1- p
如前所述, 即股票预期收益率等于无风险利率, 故有

利用概率论的知识，可以导出
， ， ，


一个T = 4 Dt 的二叉树图




期权的预期收益率也应该等于无风险利率,故有





期权的计算将从树图的末端(T时刻)开始向后倒推进行.此时刻的期权价值是已知的,可倒推出前一个时刻的期权价格。


图中每个节点有两个值，上方是此时股票的价格，下方的是此时期权的价值。

基于以上的分析，我们可以将二叉树模型用程序来实现（详见附带程序）。将问题一的数据输入，取不同的分割频率N ,得到：
N V
6 4.819229107
12 4.792157924
24 4.76002346
50 4.761510298
100 4.761818358
200 4.761357077
360 4.760016001
1000 4.759817285
2000 4.759544576
5000 4.759438088
10000 4.759440513

可以看到，当N的值增大时，V的波动越来越小。N足够大时，结果已经十分精确了，和Black-Scholes方程得到的V = 4.759完全一致。

算法的简化
我们回顾逆推公式
如果将二叉树的图中的节点依次标号，记自左向右第i个、自上向下第j个节点为 ，则有：

于是从 （即所求期权价格）开始，反复向下展开，得到

其中 为组合数， 为最后一列的期权价值，即期满日的价值。
这样，我们就不需要从最末端一步一步向前推，直接利用上述公式即能迅速得到结果。

六、美式期权的例子
（问题二）股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率s=40%,市场的无风险年利率r=10%;敲定价格为X=50(美元),美式看跌期权的有效期为五个月即T=0.4167(年)意味着期权持有者有权在五个月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃这种权利.那么这种期权的定价应为多少?

若将T 分成五段,每段长度1个月, 则Dt ＝0.0833(年), 利用已知数据可以求出

，
同样的，我们建立二叉树模型，但是此时根据美式期权的特点，就要考虑是否在期限未满的中途某一点提前执行期权。于是，我们对逆推过程进行修正。

通过上式我们求得，如果不提前执行期权，这一点的期权价值。再考虑如果在这一点执行期权时的收益（即期权价值）。
（看跌期权）
其中 为此时股票价格。于是，在这一点期权的合理价格应是：

通过以上的修正后，我们作出问题二的二叉树图：


同样的用程序来实现（详见附带程序）。将问题二的数据输入，取不同的分割频率N ,得到：
N V
6 4.174465155
12 4.232164184
24 4.257709987
50 4.272020748
100 4.278058548
200 4.281213379
360 4.282551783
1000 4.283627215
2000 4.283922345
5000 4.284099161
10000 4.284157712

同样可以看到，当N的值增大时，V的波动越来越小。N足够大时，结果将十分精确。但是注意到一点与欧式期权不同的是，随着N值的增大，V的值是一直增大的，而并非在极限值两端波动。而引起这一特点的原因就在于美式期权可以随时执行的特点，N值越大，何时执行使得收益最大的时刻也就越精确，于是由此逆推得到期权价格也就越大。显然，这一递增是有极限的。为了进一步了解两种期权的特点，我们用相同的数据分别计算期权的价格：
欧式看涨 美式看涨 欧式看跌 美式看跌
参数一 4.760016 4.760016 0.809193 0.910524
参数二 6.112972 6.112972 4.072445 4.282552

可以看到，有时欧式期权和美式期权的价格相同，而有时美式期权又比欧式期权价格高。这是为什么呢？我们再来回顾两种期权的定价过程。
对于欧式期权：
对于美式期权，则还要考虑提前执行时
所以 。
以看涨期权为例，将 ， 代入，
并注意到

得：

其中，r为无风险利率。
可以看到，当r > 0 时， 恒大于 ，考虑到实际上 、 取0时上式中按负数计算，这样 更大，于是r > 0 时就不会发生提前执行的现象。此时，美式看涨期权与欧式看涨期权没有差别。
同理，对于看跌期权， ，当r > 0 时，还是有提前执行的可能，此时美式期权一般要比欧式期权的价格更高。
当r 至此，可以看到二叉树法的优越性：易于理解，简单易行，而且精度已经相当高了，因此它在实际计算中是相当实用的。通过这个实验，我们充分的体会到数学在经济学中的重要性。它将问题抽象化，数学化，建立恰当的模型来得到一般性的结论，用以解决实际问题。