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关于“最小作用量原理的个人体会”
最小作用量原理（principle of least action）：
最小作用量原理是物理学中描述客观事物规律的一种方法。即从一个角度比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，即作用量最小的那个经历。
我主要有四个问题：
第一：为什麽是作用量最小？而不是最大？
第二：什麽量可以成为“作用量”，实际的物理量是非常多的，要采用什麽样的标准来确定合适的量作为“作用量”呢？在几何光学的研究中，人们的认识就是一个从“最短路程”到“最短时间”的一个转变。
第三：在进一步问：能量守恒原理和最小作用量原理在力学系统中的地位有什麽差异？
第四：从这个原理的发展过程中可以提供给我们借鉴是什麽？

第一个问题：为什么提出的是作用量最小？而不是最大？
从数学的稳定性讲，在最高点的平衡属于不稳平衡，而在最低点的平衡属于稳定平衡，从宏观热现象的自然特征考虑：自然界中处在非平衡态的孤立系统会自发的趋于平衡状态。我对此问题没有深入的理解，只是从一种直观的考虑上来理解这个问题。
还有一个从哲学方面来考虑的因素。这个哲学观点是有争议的。
公元40年，希腊工程师（Hero）在对光的直线传播与反射定律的解释中，强调了自然现象的“经济本性”，并提出了光的最短路程原理，是最小作用量原理的早期表述。公元6世纪，希腊新柏拉图主义哲学家奥林匹奥德鲁斯（Olympiodorus）在他所著德《反射光学》中，重申了自然界的“经济本性”，他认为“自然界不做任何多余的事，或者不做任何不必要的工作”。到中世纪，最小作用量原理思想被更多的人所接受。达.芬奇（LeonardodaVinici）也认为自然界是经济的，自然界的经济性是定量的。英国哲学家奥卡姆OckhamWilliam1285～1349）明确指出：“对实际存在的事物，决不能不必要的添枝加叶。”这条准则如今已经被解释为：在两种皆符合客观实际的理论中，只有那个假设比较简单的理论才能更接近实际，这条准则被称为“奥卡姆剃刀”。法国数学家莫培丢也信奉自然界的经济本性，他认为问题在宇挖掘出自然过程中所花费的最小量是什麽。
但是拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到推论，同时反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。

问题二：什麽量可以作为“作用量”？
对于这个问题，从力学的角度，我的理解是守恒的物理量就可以作为“作用量”，比如能量，动量等。但是光学，电磁学好像并非如此。对于这个问题，有一个“诺特尔定理”，是20世纪，德国女科学家诺特Noether Emmy1882～1935）从理论上证实了守恒原理与最小作用量原理统一性：对于作用量的每一种对称性（变换不变性）都有一个守恒定律与之对应。人们把这种对称与守恒的联系称为诺特尔定理。而按照按照诺特尔定理，可以得出如下结论：
严格的对称性对应于严格的守恒定律；近似的对称性对应于近似的守恒定律。也就是说：对称变换下保持不变的作用量，必須會具有同樣的守恒定律与之对应。
在物理学中存在着许多守恒定律,如能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒等，这些守恒律从另外一个方向上告诉我们如何去寻找作用量，然后采用“最小作用量”原理考虑问题，而不是把一个任意的量作为“作用量”。从经典力学角度来考虑，主要实际上就是有两个“作用量”，能量和动量。
第三：在进一步问：能量守恒原理和最小作用量原理在力学系统中的地位有什麽差异？能量守恒原理所指出的只是什么样的运动是可能的。在物体运动的每一种情况下能量守恒原理都能得到一个方程，然而一个方程是不能单值地决定实际的运动。为此有多少表证运动的独立坐标就需要有多少方程，比如确定自由质点的运动就需要三个方程。最小作用量原理却提供了必要数量的方程。

第四个问题：从这个原理的发展过程中可以提供给我们借鉴是什麽？

我所感受到的是：不同学科（数学，光学，力学，电磁学）之间的这种相互的促进，借鉴和发展和交融。
使最小作用量发生质的飞跃的使法国数学家费马[Fermat，1601～1665]。他在对光的折射的研究中发现最短程原理并不成立，然而他相信自然界的行为总是采取某种最简捷的方式。1657年，费马用“最短时间原理”，使以前彼此独立无关的光的直线传播定律，反射定律，折射定律以及光路可逆性原理游了一个统一而又简捷，优美的表述。
1682年以后德国哲学家和数学家莱布尼兹Leibniz1646～1716，开始试图建立一个能支配所有力学过程和光学过程的“作用量”的概念。没有成功。
哈密顿同时认为最小作用量原理极为广阔，不只与动力学，光学相关，而且也涉及到全部物理学。姆霍兹赫1886年他把这一原理系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题，并做了关于电动力学中最小作用量原理的论述。
爱尔兰数学家和物理学家哈密顿Hamilton从光学的研究开始，利用力学与几何光学运动方程中的相似性，即一种对偶性思想，启发了哈密顿。光线轨迹可以利用对单一数学量——特征函数的计算得到，与单粒子动力学作用量函数的特征值非常相似，而几何光学中光线轨迹又与牛顿力学单粒子的轨迹相似他猜想，一定可以找到一种与几何光学类似的形式来表述力学规律，只要从力学的最小作用量原理出发，把他变换为与费马原理相似的形式，就一定可以找到力学与光学的统一表示。哈密顿使用具有动力学意义的正则变量（广义）替代只有运动学意义的广义速度和广义坐标，把拉格朗日函数和拉格朗日方程变换到哈密顿函数和哈密顿正则方程，对比费马原理提出了等时最小作用量原理，即哈密顿原理。这种思维对于现在的我们是一种很好的启发。
yycgy 发表于 2005-12-1 16:52

Re:关于“最小作用量原理的个人体会”
老兄能不能结合自己做过的实例进行讲解，这样可能更有说服力。
hillyuan 发表于 2005-12-1 22:32

少有的有深度的文章
不知是不是自己写的。
似乎对作用量的解释有些不够严格，比如说张量都有变换不变性，我倒想不起来他们和“最小作用量”原理有什莫直接联系。
关于统一场论的研究是近代物理的一个热门研究课题，能从哲学上历史上来看这个问题却是很有趣。
这里的斑竹似乎对连续体力学有兴趣。其实从场论的角度来看连续体力学也可得到一些有趣的结果，如从非黎曼空间的角度来看非经典力学（或非局部化力学）。当然这方面的研究还离实用太远。
spring_zj 发表于 2005-12-6 10:29

Re:关于“最小作用量原理的个人体会”
这是我的一篇课后作业，力学史。

1）在固体力学里面“最小作用量原理”的应用是很多的，比如：虚功原理和最小势能原理和最小余能原理，这都可以认为是最小作用量原理的具体体现。

2）不过我还有一个疑惑的地方：
质量是否是一个作用量呢？
质量是守恒的，在低速运动下，质量守恒；在高速运动下，质量和能量之间有一个转换，就是著名的爱因斯坦公式E=MC2，这说明什麽？质量也是一个守恒量，这是确定的，在流体和固体中都有专门的守恒方程，但是相应于诺特原理的最下作用量方程是什麽？我不知道，不知道怎麽考虑，按照分析是应该存在的。

3） 楼主说的“张量都有变换不变性”，张量是一个数学的概念，没有物理的含义的时候，我想是没有物理意义的。而最小作用量必须考虑的是物理量。还有就是关于作用量，确实我自己也在考虑。美国的费曼在物理学讲义中，也有专门的一章来描写“最小作用量原理”，这是很有意思的一件事情
吴辰武 发表于 2005-12-7 10:37

Re:关于“最小作用量原理的个人体会”
先赞一个：有小师趋势

但是鄙人看不太懂一些地方：
比如
1 关于“第一：为什麽是作用量最小？而不是最大？”
为什么要说“最”呢？
最小作用量谓之极值作用量 更恰当。正负号是人为定义的，最大可以是最小，最小也可以是最大。势能最小，则逝能最大；花费时间最短，则冗余时间最长。看的角度差异而已。但是“原理”不应该依赖于坐标系，所以谓之极值作用原理不是更好？

2 在低速运动下，质量守恒；在高速运动下，质量和能量之间有一个转换，就是著名的爱因斯坦公式E=MC2
是不是说高速运动质量不守恒；而低速运动时 E=MC2 不成立？
临界速度是多少？ C？

3 关于“质量是否是作用量”
在E=MC2以前，质量被认为是一种客观存在，镂铢 前面所列举的各种“最小作用原理”都是依附于这种客观存在的一种认识。猫和狗并没有著书说明“2点之间直线最短”，但是它们却对准老鼠或骨头直冲过去，可见它们也有它们的认识（参考：本山大叔语录“猫走不走直线，完全取决于老鼠”）。
可惜我出生在E=MC2以后，所以对于质量是什么，从出生开始就是迷糊的。

请拍砖
baibing 发表于 2005-12-7 15:09

Re:关于“最小作用量原理的个人体会”
这个领域 我不太熟悉，但是 兄弟 共享的精神 必须予以鼓励！！

顶！！
ihandsome7576 发表于 2006-4-12 16:25

Re:关于“最小作用量原理的个人体会”
so so 而已
yycgy 发表于 2006-4-12 22:48

Re:关于“最小作用量原理的个人体会”
个人认为，应该从物理角度出发，借助数学工具说明问题，学力学的人经常忽视这点。


最佳答案
构造函数L(x)=Q(x)+λf(x)
Q(x)=∏xi,约束条件为f(x)=∑xi-c=0
要求Q(x)最大，即要求出L(x)的驻点
得到必要条件：ð[L(x)]/ðxi=0
将i=1,2...n分别代入得
∏xi/x1-λ=0
∏xi/x2-λ=0
.
.
∏xi/xn-λ=0
由以上式子解得x1=x2=...=xn
再根据f(x)=∑xi-c=0得到
x1=x2=...=xn=c/n
λ=(c/n)^(n-1)
乘积最大值
Q(x)max=(c/n)^n

新的完整力学体系的建立，微积分在力学中的完美表达。
anyway，拉格朗日是很伟大的科学家~嗯，拉格朗日定理那叫一个有用好用值得反复利用啊，考研数学每考必有的。

《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。拉格朗日动力学和汉密尔顿动力学所依据的力学原理与牛顿的力学原理，在经典力学的范畴内是等价的，但它们研究的途径或方法则不相同。直接运用牛顿方程的力学体系有时称为矢量力学；拉格朗日和汉密尔顿的动力学则称为分析力学。

以下两段来自：http://qxg.com.cn/n/?fc=an&tid=162&id=2934
拉格朗日利用自己发明的变分法，把牛顿对力学的工作同欧拉、达朗贝尔等18世纪数学家的有关成果融为一体，把力学的各种原理统一起来，推导出刚体力学和流体力学的全部公式。《分析力学》对一般力学的意义，就像牛顿万有引力定律对天体力学的意义。它是一切力学必不可少的基础。爱尔兰数学家、理论物理学家哈密顿(1805—1865)赞美拉格朗日的工作“使力学成为科学的诗篇”。
在《分析力学》中，拉格朗日第一次把当时人们所普遍接受的“最小作用原理”在动力学上用具体的形式表现出来：对于单个质点来说，质量、速度和两个固定点之间距离的乘积的积分是一个极大值或极小值。拉格朗日还相信，对于质点组，甚至对广义质量来说，这个原理也是正确的。最小作用原理是人类长期观察和实践的总结。

圣诞快乐~
merry you a christmas and happy new year~
tidings of comfort and joy~