小孩初中数学学完微积分后，高中再学些什么？

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谢谢各位对我前面贴子的斧正，不一一致谢了。

回答一下几个网友的问题：小孩初中数学学完微积分后，高中再学些什么？

先说个趣事，天普大学博士毕业，在普林斯顿高等研究院和伯克利数学研究所做博士后，最后在纽约大学任教授的张高勇于 1994年在 Annals of Mathematics （数学领域最权威的刊物）发表著名论文，证明了著名的Busemann-Petty问题在n=4 下成立！轰动一时，被誉为几何学此领域中最有意义的结果。

1999年，还是在最权威、最重要的数学年刊 Annals of Mathematics 上，张高勇又发表了一篇论文，证明了Busemann-Petty问题在n=4 下不成立！再次轰动一时。

可见，什么才是严格的，颠扑不破的数学证明？数学证明的严格性应该不是小事，数学学到一定程度，计算就退居二线了，数学证明才是最基本的工作和最重要的技能。

有些家长，或者小孩，把学习当作百米竞赛，只争朝夕，只想拼命的把大学，甚至研究生的数学都赶快学完。这种精神啧啧称赞，也没什么不好。但不一定对所有小孩都适用。

小孩初中数学学完微积分后，高中可以按照有些去学抽象代数，实复分析，如果你喜欢。我想还有一些其他选择，比如学些更 foundation 的东西，比如数学逻辑，比如 set theory, type theory, category theory 等等。还有就是学习如何做证明题，即使为了今后40万什么的，这些可能更有用，也更容易。

我发现，尤其是美国的中学生，几乎都不会做数学证明，如何证明 1+1 = 2？这里不是指哥德巴赫猜想，而是如何从其他公理出发，得出 1+1=2 这个结果。记得罗素在 principia mathematica中花了很多页，从加法公理证明了 1+1=2. 而且并不难，但是绝对是非常好的数学素质教育，高中生是不是可以学习一下这个。

数学证明有很多方法，比如 proof by contraposition, 就是通过证明命题的逆反命题，从而证明了原命题。我发现大多数美国中学生并不会。

还有反证法，proof by contradiction, 从否命题推出错误结论，从而得证。

还有数学归纳法，中国中学很强调，美国中学好像没学。也许是里面的严格性让美国教师望而却步。

还有暴力法 brute force，历数法 complete induction，穷尽法 Proof by exhaustion

加上统计法，概率法，组合法。。。构造性证明法，非构造性证明法。。。

近年的计算机辅助证明法，比如地图的四色定理。

最后上2道题，不是证明题，而是模拟数学研究中，证明（或者反证）2个猜想：

假设 n 是任意正整数，如果 n 是偶数，除以2 （n-> n/2)，如果是奇数，乘以3再加1 (n->3n+1)。最后的序列是否将是 4，2，1，4，2，1.。。。。证明或者反证
假设 n 是正的奇数，是否有：

这里和数学竞赛不同的是，数学竞赛是证明题，命题肯定是成立的。你的任务就是证明它成立。在实际研究中，比如哥德巴赫猜想，他只是一个猜想。

如果高中生对上面猜想感兴趣，不妨可以做做。起码可以锻炼数学素质、培养数学兴趣。

太难的课，往往会扼杀小孩的兴趣。我有个亲戚小孩在马里兰上初中，他们学校自称是第一个在初中就教编程的，有Java课，有 Python课，很丰富，亲戚小孩很感兴趣，也上了不少。后来他们高中毕业上大学的时候，他并没有选 CS，我问为什么？他说，他们很少有人选CS，因为绝大部分同学觉得编程太难了，根本学不懂，不是学 CS的料，我想，这也许是拔苗助长的一个例子。有人初一就是编程天才，但大多数学生在初一就学编程，反而产生了反感。