如果他公司已经启动为他办绿卡，他应当已经持有H1签证。

如果他公司已经启动为他办绿卡，他应当已经持有H1签证。
那么，你本人应持有H4签证。
如果他仍然持有TN签证，说明绿卡申请尚未起始。你和孩子都是TD签证，无工作许可。