（一）先算立方体的底面的辐射强度
设立方体底面正下方单位面积的月面对距离其正上方一个单位高度的平面的辐射强度为p;
设立方体高度为h；
那么根据辐射的平方反比率，这个单位面积的月面对其正上方的立方体底面的辐射强度为 p/(h²)，
也就是说，离月面越高，单位面积的月面对其产生的辐射强度越小。
用极坐标（ρ，φ）计算。坐标原点设在立方体正下方的月面上，可选任意方向为角度的零方向。
下面对整个月面作积分，计算月面对立方体底面产生的辐射强度。
月面上任一点的（微分元）面积：ρ * dφ * dρ，这一点到立方体底面的距离是: D =（ρ² + h²)^(½),
设这一点到立方体底面连线的入射角为θ，那么月面上这一点的（微分）面积对立方体底面的辐射
强度为：
p/(h²) * (h²)/(D²) * sinθ * sinθ * ρ * dφ * dρ,
其中：(h²)/(D²) 是平方反比；两个sinθ，一个是月面发射辐射的斜角损失，一个是立方底面接
收辐射的斜角损失。
计算：
∫∫p/(h²) * (h²)/(D²) * (h/D) * (h/D) * ρ * dφ * dρ
= p * h² * ∫∫1/(D^4) * ρ * dφ * dρ
= p * h² * ∫∫1/((ρ² + h²)²) * ρ * dφ * dρ
积分区域为整个月平面，就是φ=[0，2π]，ρ=[0，+∞]。
φ与ρ独立变化，这个二重积分就成为两个单变量积分了。对dφ从0到2π积分，直接得出2π；
ρ * dρ = （½）d（ρ²)上式变成：
p * h² * π * ∫1/((ρ² + h²)²) d（ρ²) ，积分区间ρ=[0，+∞]。
令 T = ρ²，做积分变换替换，上式变成：
p * h² * π * ∫1/((T + h²)²) dT ，积分区间变为 T=[0，+∞]。
令 U = T + h²，做第二次变换替换，上式变成：
p * h² * π * ∫1/((U²) dU ，积分区间 U=[h²，+∞]。
计算定积分，上式变成:
p * h² * π * 1/（h²）
= π * p
立方体的底面的辐射强度 = π * p
值得注意的是，它与立方体的高度无关。
（二）再来算立方体垂直的侧面的辐射强度。
同上，设立方体底面正下方单位面积的月面对距离其正上方一个单位高度的平面的辐射强度为p;
设立方体高度为h；
根据辐射的平方反比率，这个单位面积的月面对其正上方的立方体底面的辐射强度为 p/(h²)，
也就是说，离月面越高，单位面积的月面对其产生的辐射强度越小。
这次我用直角坐标（x，y）计算。坐标原点设在立方体正下方的月面上，坐标平面就是月面，
x轴方向平行于这个垂直的立方体侧面的平面，y轴方向与这个侧面垂直，指向立方体外侧。
下面对整个月面的一半面积做二重积分，也就是说，计算这个侧面对应的半个月面对立方体
侧面产生的辐射强度。积分区间 x=[-∞，+∞],y=[0，+∞]
月面上任一点的（微分元）面积：dx * dy，
这一点到立方体面的距离是: D =（x² + y² + h²)^(½),
设这一点到立方体底面连线的月面发射角为θ，垂直的立方体侧面的接收辐射角为σ，那么月面上
这一点的（微分）面积对立方体底面的辐射强度为：
p/(h²) * (h²)/(D²) * sinθ * sinσ * dx * dy,
其中：(h²)/(D²) 是平方反比；sinθ，是月面发射辐射的斜角损失，sinσ 是垂直的立方体侧面接
收辐射的斜角损失。这两个角度不是同一个直角三角形的两个锐角。
sinθ = h / D
sinσ = y / D
计算：
∫∫p/(h²) * (h²)/(D²) * sinθ * sinσ * dx * dy
= p * h *∫∫1/(D^4) * y * dx * dy
积分区间 x=[-∞，+∞],y=[0，+∞]
采用极坐标变换，也就是说将点(x,y)从直角坐标变换到相应的极坐标（ρ，φ）中。这使得定义
域的形状改变，从而简化运算。该变换的基本关系如下：
x = ρ * cos(φ) ; y = ρ * sin(φ)
积分区域为半个月平面，就变换为 φ=[0，π]，ρ=[0，+∞]。
辐射强度函数就变为：
p * h /((ρ² + h²)²) * ρ * sin(φ)
微分 dx * dy 变换为 ρ * dρ * dφ，(根据雅可比行列式）
计算：
p * h * ∫∫ρ²/((ρ² + h²)²) * sin(φ) * dφ * dρ
φ与ρ独立变化，这个二重积分就成为两个单变量积分了.
上式变成:
p * h *∫ρ²/((ρ² + h²)²) dρ * ∫sin(φ) * dφ
积分区间 ρ=[0，+∞]，φ=[0，π]
2 * p * h *∫ρ²/((ρ² + h²)²) dρ，积分区间 ρ=[0，+∞]
T = ρ / h，做积分变换替换，上式变成：
2 * p *∫T²/((T² + 1)²) dT，积分区间 T=[0，+∞]
用凑积分法（详细步骤极其繁琐，就不列出了。如果有怀疑，请用微分法逆向验证，要容易得多。），
这个不定积分算得：p * (arctan(T) + T/(T² + 1))
即立方体的侧面的辐射强度 = π * p /2
注意，它还是与立方体的高度无关。
（三）结论
1）立方体的底面的辐射强度 = π * p
2）立方体单个侧面的辐射强度 = π * p /2
3）两者是 2:1 的关系；换句话说，月面对立方体的总辐射按 P2 * 3A 计算。
4）立方体受月面的辐射强度与其距离月面的高度无关。
（这是假设月面无限平，无限大的情况。实际情况下这个立方体不能悬太高）
5）注意：这里的 p 是有准确定义的。它不是我们所说的月面对立方体的辐射强度P2。
by TBz
