这辈子甭想买车了：上牌平均需要无穷年

北京的治堵方案终于出台——购买机动车必须先摇号，每月只“放号” 2 万个。想买车的朋友们可就慌了：如果一辈子都摇不中该咋办？市交通委副主任新闻发言人李晓松解释说，“每月一次摇号机会，没中的人可以一直在摇号池里摇号，我相信肯定会摇中。”
细想一下就会发现，这并不能解决问题：如果所有没中的人都会一直留在摇号池，摇号池中的号码就会越积越多，中奖概率也越来越低。按照每月新增 5 万人申请摇号来算 [1] ， 首月中奖概率高达 2/5 = 40%，剩下的 3 万人继续留在摇号池中；到了第二个月，又会新增 5 万人，因此摇号池中的号码会增加到 8 万，中奖率降低到了 25% 。照这样推下去，到了第 6 个月，中奖率会降到 10% ，一年之后中奖率会降到 5% 以下。
摇 号上牌可谓是真正的人品大比拼，如果第一个月就申请了摇号，一年内摇中的概率有八成，剩下两成的倒霉蛋只能面对越来越渺茫的希望仰天长叹。自然，我们想到 了一个有趣的问题：如果第一个月就申请了摇号，那么平均需要多少年才能中奖呢？果壳网死理性派告诉你，答案是——永远。下面我们就来证明，只要每月新申请 摇号的人数达到 4 万人，中奖需要的平均时间就已经是无穷了。
稍 作计算便可得知，如果第一个月便申请摇号，并且假设每月新增摇号人数 4 万人，则第一个月中奖的概率是 1/2，前两个月内中奖的概率就是 2/3，容易看出，在前 n 个月内中奖的概率就是 n/(n+1)。我们可以用数学归纳法来证明这一点。假设 n = k - 1 时命题成立，也就是说在前 k - 1 个月内中奖的概率的确是 (k - 1)/k。由于第 k 个月的中奖概率是

因此在前 k - 1 个月都没中奖，正好在第 k 个月中奖了的概率就是

因此，前 k 个月的中奖概率就是

正好符合我们之前给出的公式。
在前面的推导过程中，我们知道了，在前 k - 1 个月都没中奖，正好在第 k 个月中奖的概率是

也就是说，有 1/(1×2) 的概率在第一个月中奖，有 1/(2×3) 的概率到了第二个月才中奖，有 1/(3×4) 的概率要到第三个月才中奖，等等。因此，中奖平均需要的时间也就是

而无穷个 1/2 的和显然是无穷大，因此要想中奖，平均需要无穷多个月！
当然，在这个问题中，绝大多数人都会在一两年内摇中，只是极个别永远摇不上的倒霉蛋把平均时间拖到了无穷远。因此，大家也不必太紧张，几乎所有人中奖所需时间都会早于这个平均值的。

所有跟帖： 

• 看起来，北京要买车的人有无穷多了。。。 -e带渐宽- ♂ (0 bytes) () 01/04/2011 postreply 07:20:23

• 哈哈，在北京开车，出了有钱买，还要用运气拿到号~~~ 嘿嘿，中国特色~~ -^3.1415926^- ♀ (0 bytes) () 01/04/2011 postreply 07:29:08

• 不知道能赠送和继承吗? 不过50年后就没有油了, 大家也不用摇了. -I_am_nobody2- ♂ (0 bytes) () 01/04/2011 postreply 12:56:53

• 80年代课本上说世界上还有20年的油 -flywhc- ♂ (0 bytes) () 01/04/2011 postreply 15:56:32

• 我想这是某些部门为解决堵车问题的措施，但是 -七彩奶油- ♀ (35 bytes) () 01/04/2011 postreply 15:05:55