**使用射影定理证明勾股定理的步骤：**
**射影定理（投影定理）**：在直角三角形中，直角边的平方等于斜边与该边在斜边上的投影的乘积。
即，若直角三角形的斜边为 \( c \)，两直角边为 \( a \) 和 \( b \)，且它们在斜边上的投影分别为 \( d \) 和 \( e \)，则：
\[
a^2 = c \cdot d, \quad b^2 = c \cdot e.
\]
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**证明过程：**
1. **构造直角三角形**：
设直角三角形 \( \triangle ABC \)，直角在 \( C \)，斜边为 \( AB = c \)，直角边为 \( AC = b \)，\( BC = a \)。
从点 \( C \) 作斜边 \( AB \) 的高 \( CD = h \)，垂足为 \( D \)。
- 此时，\( AD \) 是 \( AC \) 在斜边上的投影，记为 \( d \)；
- \( DB \) 是 \( BC \) 在斜边上的投影，记为 \( e \)。
- 显然，斜边被分为 \( AD + DB = AB \)，即 \( d + e = c \)。
2. **应用射影定理**：
根据射影定理：
\[
AC^2 = AB \cdot AD \quad \Rightarrow \quad b^2 = c \cdot d, \tag{1}
\]
\[
BC^2 = AB \cdot DB \quad \Rightarrow \quad a^2 = c \cdot e. \tag{2}
\]
3. **两式相加**：
将式（1）和式（2）相加：
\[
a^2 + b^2 = c \cdot e + c \cdot d = c \cdot (e + d).
\]
由于 \( e + d = c \)，代入得：
\[
a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2.
\]
**结论**：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：
\[
\boxed{a^2 + b^2 = c^2}
\]
**证毕**。
