勾股定理的证明可以通过几何构造和面积计算来完成，以下是详细步骤：
**证明过程：**
1. **构造图形：**
作一个边长为 \(a + b\) 的大正方形。在其内部四个角各放置一个全等的直角三角形，每个三角形的直角边分别为 \(a\) 和 \(b\)，斜边为 \(c\)。四个三角形的斜边围成一个内部小正方形，边长为 \(c\)。
2. **计算大正方形的面积：**
大正方形的边长为 \(a + b\)，面积为：
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
3. **计算四个直角三角形的总面积：**
每个三角形的面积为 \(\frac{1}{2}ab\)，四个三角形的总面积为：
\[
4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab
\]
4. **确定内部小正方形的面积：**
内部正方形的边长为 \(c\)，面积为 \(c^2\)。根据面积关系，大正方形的面积等于四个三角形面积加上内部小正方形面积：
\[
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\]
5. **推导勾股定理：**
两边减去 \(2ab\) 得：
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
**结论：**
通过几何构造和面积计算，我们证明了勾股定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) 成立。
