股票Beta的理解误区
随便找个AI问一下，what is a stock's beta，往往得到如下差不多的解释：
A stock's beta (β) is a measure of its volatility, or how much its price tends to move in relation to the overall market. It quantifies the degree to which a stock's price fluctuates compared to a benchmark index, typically the S&P 500. Investopedia explains that investors can check a stock's beta when choosing a stock that matches their tolerance for risk.
许多人想当然认为 beta 就是该股票波动率对市场（比如S&P500）波动率的比例。如以波动率为风险标准，beta=1想当然就是与市场（S&P500）风险大致相当，beta>1就是比市场风险更高，beta
我们来看一下beta的定义再看这个说法是否准确。 假定某股票的回报率是\(r_s\)，市场（比如S&P500）的回报率是\(r_m\)，二者都是随机变量，那么beta的定义就是回归系数： \[ \beta = \frac{\mbox{Cov}(r_s, r_m)}{\mbox{Var}(r_m)} \] \[ \mbox{Cov: covariance, 中文协方差} \] \[ \mbox{Var: variance, 中文方差} \] 意思是 \[ r_s = \alpha + \beta r_m + \epsilon \] 这里\(\epsilon\)是回归误差，\(\epsilon\)与\(r_m\)不相关: \[ \mbox{Cov}(r_m, \epsilon) = 0 \] 这样该股票回报率的方差可以被分解为两个部分: \[ \mbox{Var}(r_s) = \beta^2 \mbox{Var}(r_m) + \mbox{Var}(\epsilon) \] 把该股票的波动率及市场的波动率分别写为 \[ \sigma_s = \mbox{Var}(r_s) \] \[ \sigma_m = \mbox{Var}(r_m) \] 同样，把回归误差项的波动率写为 \[ \sigma_\epsilon = \mbox{Var}(\epsilon) \] 那么 \[ \sigma_s^2 = \beta^2 \sigma_m^2 + \sigma_\epsilon^2 \] 显然可见该股票波动率与市场波动率之比不一定正好是\(\beta\)。
熟悉回归分析的都知道相关系数 \[ \rho = \frac{\mbox{Cov}(r_s, r_m)}{\sqrt{\mbox{Var}(r_s)\mbox{Var}(r_s)}} \] 也知道相关系数\(\rho\)与回归系数、(\beta\)之间的关系 \[ \beta = \rho \frac{\sigma_s}{\sigma_s} \] 也就是 \[ \frac{\sigma_s}{\sigma_s} = \frac{\beta}{\rho}\] 熟悉回归分析的也都知道\(\abs{\rho\}\leq 1\)，所有波动率之比不小于\(\beta\)，一般大于\(\teta\)。
回归分析中的beta项是市场系统风险。回归的误差项\(\epsilon\)投资界称为idosyncratic risk（中文公司特质风险）。举个例子，大苹果AAPL的\(\beta\)大概在1.0左右，但单个苹果股票的风险（波动率）远高于市场（S&P500）。投资界一般认为idosyncratic risk可以通过diversification降低。
