无套利思想与看涨看跌期权平价关系的数学解释
在金融定价理论中，无套利是最基本的假设之一。无套利的含义是：市场中不存在这样一种交易策略，使得投资者在初始时刻不需要投入资金，并且在未来能够无风险地获得正收益。如果这种机会存在，理性的交易者会不断利用它，直到价格被修正。因此，在理论分析中，我们通常假设市场满足无套利条件。
在这一假设下，可以推导出远期合约价格以及看涨看跌期权平价关系。
一、远期合约价格的无套利定价
考虑一只不支付股息、也没有任何持有成本或收益的股票，其当前价格为 S0，无风险利率为 r，到期时间为 T。
如果投资者在时间 0 买入股票并持有到 T，那么这笔资金的机会成本是无风险利率下的终值，即：
S0 exp(rT)
另一种方式是在时间 0 签订一份远期合约，在时间 T 以价格 F0T 买入股票。
如果不存在套利机会，那么在时间 T 通过这两种方式获得股票的成本必须相同，因此远期价格必须满足：
F0T = S0 exp(rT)
这就是不支付股息资产的远期价格公式。
二、期权与远期合约的等价关系
现在考虑到期时间为 T、执行价为 K 的看涨期权和看跌期权。
如果投资者：
-
买入一份执行价为 K 的看涨期权
-
同时卖出一份执行价为 K 的看跌期权
那么在到期时，无论股票价格 ST 处于什么水平，投资者都可以以 K 的价格买入股票：
-
若 ST 大于 K，看涨期权被行权；
-
若 ST 小于 K，看跌期权被行权。
因此，“买入看涨期权并卖出看跌期权”的组合在到期时的效果，与一份执行价为 K 的多头远期合约完全一致。这一组合被称为合成多头远期。
三、合成远期的时间 T 成本
构造该合成策略时，在时间 0 的净成本为：
Call(K,T) - Put(K,T)
将这笔成本按无风险利率滚动到时间 T，其时间 T 的价值为：
(Call(K,T) - Put(K,T)) exp(rT)
此外，在时间 T 还需要支付 K 才能获得股票。因此，通过合成远期在时间 T 的总成本为：
(Call(K,T) - Put(K,T)) exp(rT) + K
四、看涨看跌期权平价关系
由于合成远期和真实远期合约在时间 T 提供完全相同的结果，在无套利条件下，它们在时间 T 的成本必须一致，即：
(Call(K,T) - Put(K,T)) exp(rT) + K = F0T
对于不支付股息的股票，代入远期价格公式 F0T = S0 exp(rT)，得到：
(Call(K,T) - Put(K,T)) exp(rT) + K = S0 exp(rT)
将等式两边同时除以 exp(rT)，得到经典的看涨看跌期权平价公式：
Call(K,T) - Put(K,T) = S0 - K exp(-rT)
五、构造无风险组合的证明思路
另一种理解平价关系的方法是直接构造一个无风险组合。
考虑如下投资组合：
-
买入 1 股股票
-
买入 1 份执行价为 K 的看跌期权
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卖出 1 份执行价为 K 的看涨期权
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借入金额 S0 + Put(K,T) - Call(K,T)
该组合在时间 0 的净成本为 0。
在时间 T：
-
若 ST 小于 K，看跌期权被行权，股票以 K 的价格卖出；
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若 ST 大于 K，看涨期权被行权，股票以 K 的价格卖出。
无论哪种情况，最终都没有股票，只得到确定的现金 K。
这是一个确定性收益，因此借入的金额在时间 T 的本息和必须等于 K，否则将产生套利机会。于是有：
K = (S0 + Put(K,T) - Call(K,T)) exp(rT)
整理该等式即可得到看涨看跌期权平价公式。
六、总结
看涨看跌期权平价关系并不是经验规律，而是无套利原则的直接结果。它说明，只要两个投资组合在未来任意状态下的结果完全相同，那么在一个无套利市场中，它们的价格就必须一致。
期权、现货与远期之间的定价关系，正是通过这一逻辑被严格联系在一起的。
