喔，整数分解， 可不是件容易的事（ZT）

在数学中，整数分解（英语：integer factorization）又称素因数分解（prime factorization），是将一个正整数写成几个约数的乘积。例如，给出45这个数，它可以分解成9×5。根据算术基本定理，这样的分解结果应该是独一无二的。这个问题在代数学、密码学、计算复杂性理论和量子计算机等领域中有重要意义。

 

中文名

整数分解

外文名

integer factorization

别    称

素因数分解

定    义

一个正整数写成几个约数的乘积

相关定理

算术基本定理

应用领域

代数学、密码学

目录

1. 1 因子分解
2. 2 实际应用
3. 3 当今的新进展

1. 4 难度与复杂度
2. 5 整数分解算法
3. ? 特殊用途算法

1. ? 一般用途算法
2. ? 其他算法

 

因子分解

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完整的因子列表可以根据约数分解推导出，将幂从零不断增加直到等于这个数。例如，因为45=3²×5，45可以被3⁰×5⁰，3⁰×5¹，3¹×5⁰，3¹×5¹，3²×5⁰，和3²×5¹，或者 1，5，3，9，15，和 45整除。相对应的，约数分解只包括约数因子。

 

实际应用

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给出两个大约数，很容易就能将它们两个相乘。但是，给出它们的乘积，找出它们的因子就显得不是那么容易了。这就是许多现代密码系统的关键所在。如果能够找到解决整数分解问题的快速方法，几个重要的密码系统将会被攻破，包括RSA公钥算法和Blum Blum Shub随机数发生器。

尽管快速分解是攻破这些系统的方法之一，仍然会有其它的不涉及到分解的其它方法。所以情形完全可能变成这样：整数分解问题仍然是非常困难，这些密码系统却是能够很快攻破。有的密码系统则能提供更强的保证：如果这些密码系统被快速破解（即能够以多项式时间复杂度破解），则可以利用破解这些系统的算法来快速地（以多项式时间复杂度）分解整数。换句话说，破解这样的密码系统不会比整数分解更容易。这样的密码系统包括Rabin密码系统（RSA的一个变体）以及Blum Blum Shub随机数发生器。

 

当今的新进展

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2005年，作为公共研究一部分的有663个二进制数位之长的RSA-200已经被一种一般用途的方法所分解。

如果一个大的，有n个二进制数位长度的数是两个差不多大小相等的约数的乘积，还没有很好的算法来以多项式时间复杂度分解它。

这就意味着没有已知算法可以在O（n）（k为常数）的时间内分解它。但是算法也是比Θ(e)快的。换句话说，我们已知最好的算法比指数数量级时间要快，比多项式数量级时间要慢。已知最好的渐近线运行时间是普通数域筛选法(GNFS)。时间是：

对于平常的计算机，GNFS是我们已知最好的对付n个二进制数位大约数的方法。不过，对于量子计算机，彼得·秀尔在1994年发现了一种可以用多项式时间来解决这个问题的算法。如果大的量子计算机建立起来，这将对密码学有很重要的意义。这个算法在时间上只需要O(n)，空间只要O(n)就可以了。 构造出这样一个算法只需要2n量子位。2001年，第一个7量子位的量子计算机第一个运行这个算法，它分解的数是15。 ^[1] 

 

难度与复杂度

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还不确切知道整数分解属于哪个复杂度类。

我们知道这个问题的判定问题形式（“请问N是否有一个比M小的约数?”）是在NP与反NP之中。因为不管是答案为是或不是，我们都可以用一个素因数以及该素因数的素数证明来验证这个答案。由秀尔算法可知，这个问题在BQP中。大部分的人则怀疑这个问题不在P、NP完全、以及反NP完全这三个复杂性类别中。如果这个问题可以被证明为NP完全或反NP完全，则我们便可推得NP=反NP。这将会是个很震憾的结果，也因此大多数人猜想整数分解这个问题不在上述的复杂性类别中。也有许多人尝试去找出多项式时间的算法来解决这个问题，但是都尚未成功，因此这个问题也被多数人怀疑不在P中。

有趣的是，判定一个整数是否是素数则比分解该整数简单许多。AKS算法证明前者可以在多项式时间中解决。 测试一个数是否为素数是RSA算法中非常重要的一环，因为它在一开始的时候需要找很大的素数。

 

整数分解算法

特殊用途算法

一个特别的因子分解算法的运行时间依赖它本身的未知因子：大小，类型等等。在不同的算法之间运行时间也是不同的。 ^[2] 

• 试除法
• 车轮分解
• 波拉德RHO算法
• 代数群因式分解算法，其中包括Pollard'sp−1算法、Williams'p+1算法和Lenstra椭圆曲线分解法
• 费马素数判定法
• 欧拉因式分解法
• 特殊数域筛选法

一般用途算法

一般用途算法的运行时间仅仅依赖要分解的整数的长度。这种算法可以用来分解RSA数。大部分一般用途算法基于平方同余方法。

• Dixon算法
• 连分数分解法（CFRAC）
• 二次筛选法
• 理性筛选法
• 普通数域筛选法
• Shanks' square forms factorization（SQUFOF）