我们最近就一道有趣的美国高中数学题进行了讨论。thegreatcolour 2011 年 11 月 4 日说,我抽空整理一下各位的几个闪光点，再贴在这里 (http://bbs.wenxuecity.com/math/1590293.html) 。好些天已过去。我们还没有看到thegreatcolour的整理。让我冒昧地在这里总结一下我们的讨论。很有趣。如yddad所说,做这种题是可以防老年痴呆的。或让我说,是可以防中年痴呆的因为我还不是老年人。
请不要看,如果你对数学不感兴趣。
(1) thegreatcolour: 请注意 (1/2)^1/2=(1/4)^1/4, 证明有无穷截然不同的正数a和 b 使 a^a = b^b。
高中最后一年的题。平常俺闺女做不出的题目，俺都没费过大劲儿。看来俺这回要栽。偷偷在这里发个求助帖，请大侠哥哥姐姐弟弟妹妹帮帮我，面子要紧啊，呵呵。
谢谢啦！
(2) leo爸(michigan007修改):证明: 假定 b=a^n, a^a=b^b=> a^a=(a^n)^(a^n)=>a^a= a^na^n => a= na^n => 1=na^(n-1)=>, a=n^1/(1-n) ,b=n^n/(1-n) => n= 2，3,…，对于每个 n, 有一双a=n^1/(1-n) 和b=n^n/(1-n) 。显然，b^b=(n^n/(1-n))^ (n^n/(1-n))= n^1/(1-n)n^(1+n/(1-n)= n^1/(1-n)n^(1/(1-n) =(n^1/(1-n))^ (n^1/(1-n))= aa 。给定 n，a=n^1/(1-n) 和b=n^n/(1-n) 是唯一确定的。有无限 n，我们有无限的a和 b使 a^a = b^b。
(3)yddad: 实际上我们可以通过这个方法找出很多子集。 如除了设 b = a^n 外, 也可以设 a = nb 得出类似的结果。
(4) michigan007: 您是对的。您可以假定 a = nb。
请注意 a=n^1/(1-n) 和b=n^n/(1-n) 虽然有b=a^n的关系,但他们可以被重写为a= n^1/(1-n)=n^1+n/(1-n)=n(n^n/(1-n))=nb. 这就是为什么您可以假定 a = nb。
(5)yddad: 有多少人找到了这个答案会深想这一答案是一个子集。会理解还有无数个这样的子集存在。是否还可以用其他假定a=f(b)的方法找到其它子集。只有再证明 a！=b 和 a 是有 infinite 可能, 证明才完整。
(6) michigan007:早上好！
a=x^1/(1-x) 和b=x^x/(1-x) 哪里x>0和x≠1是所有的解。但找到所有的解是完全没有必要的。只找一个解子集来证明问题要漂亮得多。请记住数学证明是越简单越好。对这些特定的解a和b,假定a=nb与假定b=a^n是一回事因为他们给出相同的解子集。您还可以假定a=xb或b=a^x.(请注意a=x^1/(1-x) 和b=x^x/(1-x)虽然有b=a^x的关系,但他们可以被重写为a= x^1/(1-x)=x^1+x/(1-x)=x(x^x/(1-x))=xb。) 但给定a^a = b^b,没有其他a=f(b)存在。(我承认这证明比较难。等我有时间的时候可以试试。) 看来我们知道所有的解,a和b之间的关系已经确定。如果你不相信，试着找一个来看。假设a!=b是完全错误的。
因为是连续的函数, 无限性不是问题。
当我说没有其他a=f(b)存在，我假定a^a = b^b已经给定。有人可能会说a^a = b^b是另一种a=f(b)，但这样说表明他已不在考虑我们正在讨论的问题, 因为他只是重述了已知的条件。重述已知的条件显然不能帮助您求解a 和 b。给定a^a = b^b, 您仅可以假定a=xb或b=a^x。没有其他a=f(b)存在。
事实上，值得注意是, 这三个关系:(1) a^a = b^b,(2) a=xb,(3)b=a^x,给定其中任何两个，您可以得到第三个。
给定:(2) a=xb,(3)b=a^x, 从(2)=>b=a/x, 从(3)=>a/x= a^x,=>a=xa^x=>1=xa^(x-1)=> a=x^1/(1-x) 从(3)=> b=x^x/(1-x) ,bb=(x^x/(1-x))^ (x^x/(1-x))= x^1/(1-x)x^(1+x/(1-x)= x^1/(1-x)x^(1/(1-x) =(x^1/(1-x))^ (x^1/(1-x))= a^a=>(1). 给定:(1)(2)=>(3) 和给定:(1)(3)=>(2) 是很容易证明的。
谢谢您继续我们的讨论。周末愉快。
(7) BeLe(michigan007修改):事实上我们还可以证明, 对每个 0 < x < 1/e，在区间 (1/e ,1) 中有 y，使x^x = y^y。
证明： 使用微积分，很容易验证, 当x 从 0 到 1/e，函数 y= x^x从1单调递减 到最小值 y=(1/e)^1/e , 当x 从 1/e 到正无穷大，函数 y= x^x单调递增到正无穷大 。
y=x^x, y '=(ln x + 1)x^ x (证明:lny=xlnx,(lny)’=y’(1/y),(xlnx)’= lnx+x(1/x)=lnx+1, =>y’=(lnx+1)y=(lnx+1)x^x), 令 y’=0=>x=1/e. y=x^x在 x=1/e达到最小值. y’的x可以取任何正数。一阶导数在最低点x = 1/e前为负, 之后为正。换句话说，y=x^x在 x = 1/e达到最小值前单调递减, 之后单调递增。从解析几何的角度看,结果自然跟随。
很有趣的是，如果你画出函数 y = x^x(x≥0)，用图像法,很明显，任何一个 1/e 和 1 之间的值可以有两种x^x表达式。一个大于 1的值只有一个x^x表达式。一个小于 1/e 的值没有x^x表达式。但你很难用代数去证明因为y = x^x是超越函数(Transcendental Functions). 例如，给定 a = x^x，找不到 x的代数表达式。在x<0时，函数曲线是间断的，且有无数个间断点。
用图像法,显然, 当x从接近1到∞,a 从接近1/e起单调递增直到 1 和 b 从接近1/e起单调递减直到 0。我们可能认为x 必然在区间（1,∞）。但事实上x 也可以在区间（0,1）。很容易证明, Limitx->0a=0, Limitx->∞a=1, Limitx->0b=1, Limitx->∞b=0, Limitx->1a=1/e, Limitx->1b=1/e (证明见附录)。基于这些极限，很显然，a从0开始单调递增直到 1 , b 从1开始单调递减直到 0. 但当 x = 1时,a 和 b 在1/e有一个间断点。x 是在区间（0,1）和（1,∞）中, 因为 x≠1，a=x^1/(1-x) ≠x^x/(1-x)=b。y = x^x 是连续函数在x=1/e 的值是定义好的。(x 与a和 b之间的关系见图 1)
请注意, a(1/x)=b(x) 和b(1/x)=a(x)。 换句话说，如果我们改变 x为1 / x，a(1/x)将改变为b(x)(a(1/x)=(1/x)^1/(1-1/x)=(1/x)^x/((x-1)=x^x/1-x)=b(x))而b(1/x) 将改变为a(x)(b=(1/x)^(1/x)/1-1/x)=(1/x)^1/(x-1)=x^1/(1-x)=a(x)).这样，对应于x的a和 b与对应于1/x的a和 b是相同的如果我们更换a和 b的位置话。因此，只有一对不同的a和 b值使a^a=b^b。
最后, 注意1/e-0≠1-1/e。y = x^x 不是对称的函数。
这是一个非常有趣的数学问题。但对一个美国高中的孩子来说,可能有点难。对一个中国高中的孩子来说, 也许还行。我喜欢讨论这个问题。但我是研究管理的不是吃数学饭的人。如果有错误，请指出。谢谢。
附录
(1) Limitx->0a(=x^1/(1-x))=0
证明: Limitx->0x^1/(1-x)= Limitx->0x^1=0
(2) Limitx->∞a(=x^1/(1-x))=1
证明: 注意,x=e^lnx, limitx->∞ x^(1/(1-x))= limitx->∞ e^(ln(x^(1/(1-x)))= limitx->∞ e^((1/(1-x))ln(x))
= limitx->∞ e^(ln(x)/(1-x))= e^ limitx->∞ (ln(x)/(1-x)) (通过连续性)= e^ limitx->∞ ((1/x) / -1) 按洛皮塔勒规则= e^0= 1。
(3) Limitx->0b(=x^x/(1-x))=1
证明: Limitx->0ln(b)= Limitx->0x/(1-x)ln(x)= Limitx->0ln(x)/(1/x-1)= Limitx->0(1/x)/(-1/x2) 按洛皮塔勒规则= Limitx->0-x=0=> Limitx->0b=1.
(4) Limitx->∞b(=x^x/(1-x))=0
证明: 注意,x=e^lnx, Limitx->∞x^x/(1-x)= Limitx->∞e^(x/(1-x))lnx=e ^Limitx->∞(x/(1-x)lnx通过连续性=e-∞=0。
(5) Limitx->1a(=x^1/(1-x))=1/e
证明:y=1-x, x=1-y, x->1, y->0. Limitx->1 X^1/(1-x)=Limity->0(1-y)^1/y=(Limity->0(1-y)^-1/y)-1=e-1=1/e。 在数学里有一个众所周知的极限，limitx->0(1+x)^1/x =e (很容易证明。z=(1+x)^1/x, limitx->0ln(z)= limitx->0ln(1+x)/x= limitx->0(1/(1+x))/1=1,按洛皮塔勒规则,=> limitx->0z= limitx->0(1+x)^1/x =e。)
(6) Limitx->1b(=x^x/(1-x))=1/e。
证明:y=1-x, x=1-y, x->1, y->0. Limitx->1 X^x/(1-x)=Limity->0(1-y)^(1-y)/y=(Limity->0(1-y)^-1/y+1)-1=( Limity->0(1-y)^-1/y Limity->0(1-y))^-1)=( Limity->0(1-y)^-1/y)-1= e-1=1/e. 注意,Limity->0(1-y)=1.
参考文献
(1) 求救。这竟然是老师给高中生布置的数学作业。 -thegreatcolour- (507 bytes) (3071 reads) 11/2/11 (http://bbs.wenxuecity.com/math/1588286.html)
(2) thegreatcolour的 高中生数学作业的另一种解 -yddad- ♂ (946 bytes) (238 reads) 11/2/11 (http://bbs.wenxuecity.com/math/1589131.html)
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