阿罗不可能定理【1】起源于经济学，说的是社会效用函数不存在。这个定理原来应用在经济学的公共选择领域，现在用在选举系统理论。阿罗不可能定理的基础，就在于没有整体的偏序。即A大于B和B大于C不保证A大于C。这是一种没有传递性的局域偏序。这种循环偏序链，有如小孩游戏的“剪刀、石头、布”，类似于中国古代哲学的五行相克，就像西游记中的“一物降一物”一样。如果碰到这样一个系统，你不能说“剪刀、石头、布”中哪个最厉害，也不能判断“金、木、水、火、土”中哪个最强。这就是阿罗不可能定理说的最大社会效用不存在。
这理论说起来太玄乎，还不如具体用两个实在的例子来说明。
假设我们用三个骰子来代表“布”，“石头”和“剪刀”，每个骰子上的数字都不同，即两个骰子投出的数总能绝出胜负。我们这样来安排数字：
“布”：2、5、7、12、13、18
“石头”：1、4、8、11、16、17
“剪刀”：3、6、9、10、14、15
每个骰子以1/6的概率投出一个数，每两个骰子就以1/36的概率投出一对数值，以数值大的为胜。耐心的人把两个骰子的36对数值列出来，就可以证明“布”有19/36的几率赢“石头”；“石头”有19/36的几率赢“剪刀”；“剪刀”有19/36的几率赢“布”如果你在街上摆摊赌博，让对方先选择一个骰子，你总可以拿一个比他好的骰子。如此我们就有了一个没有极大，但双双有偏序的系统。
同样，我们可以构造五个骰子如下：
“金”：2、9、11、20、21、30
“木”：1、4、12、19、28、29
“土”：3、6、13、18、26、27
“水”：5、8、14、17、24、25
“火”：7、10、15、16、22、23
那么就可以金克木、木克土、土克水、水克火、火克金。每个相克都的概率是19/36，这个概率大于1/2。
阿罗不可能定理启示之一：资本主义社会比封建社会优越，封建社会比奴隶社会优越，奴隶社会比原始共产主义社会优越。但是，人类学家忽然在热带雨林中发现原始社会优越于资本主义社会。原始共产主义社会没有精神病、没有战争、没有竞争、没有毁坏资源、经济可持续（不发展）、每天平均工作2小时，有大量闲暇时间。看来对于人类社会，还不能说那个社会模式最好。阿罗不可能定理成立。
阿罗不可能定理启示之二：后发制人。你先选一个骰子，我可以选一个赢你的骰子。比如美国在伊拉克的战争，是增兵呢？还是撤兵呢？无论美国做出那种选择，游击武装都可以选一个更好的骰子。毛兵法云：敌进我退、敌退我进、敌驻我扰。美国国内撤兵呼声高涨，伊拉克游击武装就加强袭击，结果美军伤亡日重。
引理2.1：有些事只能做，不能说。如果布什要撤军，他不能预先告诉敌人他的撤军意图。即不能让对手知道自己手中捏的是什么骰子。这是布什否决撤军案的理论根据。
引理2.1.1：美国撤军意图不能告诉敌人，但是民主政治中纳税人有知情权，纳税人有权知道伊拉克这笔军费的用法。由此可见，在强权政治的国际政治中，军事弱国难以实施民主政治，民主政治是军事强国的奢侈品。在地球上还要战争和战争危险的情况下，民主政治会与军事战略相冲突。军事弱国实施民主，就更容易受军事强国的威胁。得有免除了内忧外患的福气，人民才可能安然享受民主。如美国，战争不在家门口，民主一番好自由。如巴勒斯坦，内战外战一起来，民主一番好痛苦。
不是说民主不好，只是民主设计大有考究，不是简单的事。记得看过一个漫画，一个胖女人要买身材窈窕的明星穿的那种时装。那时装穿在明星身上固然好看，穿在肥胖女人身上就恶心了。
阿罗不可能定理启示之三：“金”克“木”，但被“火”克。对美国好的制度，不一定对中国好。所以，如果要克火的话，不能看见人家以金克木就跟着用金，用金反被克。克火应该用水。这就是我们平时说的不能生搬硬套，要根据实际量体裁衣。中国要民主，不能搬美国这套，美国为伊拉克军费这番民主，换到其它战争中的国家用起来都是灾难。
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