三门问题

来源: stonebench 于 2024-02-17 18:12:53 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 次 (657 bytes)
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从短视频上看来的一个经典问题：

出自一个娱乐电视节目，ABC三扇门：一个门后有车，两个门后是羊（随机分布）。嘉宾随便选一扇门，得车概率是1/3.

可是有一次，某嘉宾选了A门，主持人却打开了B门，发现是一只羊。这时问题就有意思了： 这位嘉宾得到一个在A与C之间重选的机会，他应该不应该从A门换为C门呢？

或者说，换到C门得车的概率更高，还是A门不换更高，还是换不换一样高呢？

如果你没看过答案，就想想看吧：）

 

 

所有跟帖： 

• 哈哈, 经典的概率问题, 从中可见条件概率定义的局限, 有兴趣不妨讨论一下 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:34:49

• 条件概率公式(贝叶幸公式)在这里并无遭遇局限. 数理是有局限或漏洞,但不要在这么浅的层面随便怀疑数学的局限 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:34:16

• 很愿意与您讨论 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:37:03

• 抱歉我话说冲了，晨跑受伤心情不好，没有冒犯的意思 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:07:44

• 完全不必介意! 健老脑子敏捷, 我对此划过很长时间, 正苦于无人指点, 略有心得, 正想与您分享 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:14:33

• 你或许对Bayesian统计不是很熟，非常powerful， 我只是工作中用得多点，有的要涉及上百变量 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:40:20

• 我是想从概率空间来看, 每扇门都是1/3, 主持人掌握了2/3, 他用已知信息排出了一扇, 剩下的是2/3 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (60 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:02:22

• A -美国老师- ♂ 给 美国老师 发送悄悄话 美国老师 的博客首页 (37 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:47:00

• 提示: 传统的解法一般都比较复杂, 从信息的角度就很简单 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:49:14

• 关键的你却没交代清楚，主持人是无意错开了B门还是故意开了B门 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 18:56:08

• 这个俺也没留意。俺的理解是主持人的行为对嘉宾的决定和相应的概率没有影响。 -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:01:35

• 我猜吧，这个问题应该是主持人故意开错，选了一个羊门，否则没啥意思了 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:03:40

• 应该是没有影响, 但主持人开的一定不是车 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:07:32

• 是的。 -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:13:46

• 主持人如果听错了而开B门当然不一样 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:17:03

• 说说看，怎么不一样？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:45:37

• P(B=羊 / 听错) = 2/3, 而P(B=羊 / 故意) = 1 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:48:41

• 依据是什么道理呢？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:51:58

• P(A= 车 / B=羊) = P(B = 羊 / A = 车) * P(A=车) / P(B=羊) -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:52:50

• P(B = 羊/A=车) =1, P(A= 车）=1/3 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:54:37

• 所以听错的话 P(A=车/B=羊）=1/2， 而故意的话 P(A=车/B=羊）=1/3 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:56:21

• 好。俺猜W兄与平等兄一定有不同看法：） -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:57:44

• 抱歉我鲁莽了明面上一下都写出来了，不该这样的 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:28:41

• P(B = 羊 / A = 车) 的定义是什么? -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (53 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:10:16

• 条件概率啊，A门是车的话B门是羊的概率 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:14:50

• 这可不能像写写历史那么随意，上面两个都结果是不一样的，交代清楚了一点都不难 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 19:01:36

• 扩展一下，如果是100个门，你选一个不打开，主持人打开98个羊的，剩下一个，然后问你换不换，你会怎么想？ -小二哥李白- ♂ 给 小二哥李白 发送悄悄话 小二哥李白 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:04:26

• 还可以扩展：如果在嘉宾选之前，主持人就打开B为羊门，跟主楼的情况还一样吗？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:09:08

• 从信息的角度看, 每扇门都是1/100, 你选的任何一扇门都是1/100, 但主持人是知道的, 他排出了98扇门, 剩下 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (43 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:42:12

• 那么，如果主持人排除了95扇呢？换不换，换后得车的概率增加了吗？增加了多少？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:48:45

• 主持人是知道的, 他掌握了99/100的概率, 他排出了95扇门, 剩下的仍是99/100 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:51:19

• 不换的概率总是1/100, 换的概率是99/100, 再均分的剩下的99-95=4扇门, 所以当然要换 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:59:32

• 100门，换；三门，换不换一样 -忒忒绿- ♂ 给 忒忒绿 发送悄悄话 忒忒绿 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 22:55:00

• 这坛上我介绍过两次，Bayesian公司是一个很伟大的公式，尽管简单却能纠正很多人的主观直觉，在决策科学有大用场 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:26:19

• 概率是一样的，选A或C都是1/2概率 -为人父- ♂ 给 为人父 发送悄悄话 为人父 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:28:17

• 瞧，人家误会了不是。如果主持人听错，你是对的，否则坚持A只有1/3的概率，见我上面推导。100扇门同理，反而不会误会 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:31:18

• 如果认为主持人是故意的, 或者说他是知道那扇门有车的话, 我有一个理解: -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (167 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:36:27

• 如果主持人不是故意的，选C得车的概率会有不同吗？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:41:03

• 原题的意思是主持人知道车在哪里, 这个题与美国1991年的原题又多了一层 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:48:53

• 建议大家移樽就驾, 看上面1991的原题, 它比此题简化了一层 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:56:02

• 这个比较有意思：知道而暴露B和不知道而暴露B，对嘉宾选择的影响是什么？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:09:00

• 从信息的角度看, 主持人知道哪里有车, 就可以排除有羊的门, 他掌握了2/3的概率, 可以使剩下的门提高到2/3 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:16:15

• 可是如果只看事实呢？主持人不知情的情况下排除了一个门，对嘉宾来说面对的情况不一样是2/3吗？ -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:24:52

• 问题是能不能重复, 即每次主持人都在不知道的情况下无知地排除一扇门? -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:28:10

• 这个问题不要求重复啊。就是这种情况下的概率差别 -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:46:15

• 如果主持人不知道, 他只有1/3的概率, 他排除了一扇门, 剩下的各占1/2 -walkman222- ♂ 给 walkman222 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 21:53:30

• 金笔网友已经贴了答案和原理。主持人知情的唯一作用就是他不会开错门，对嘉宾选择结果是没有影响的。 -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/18/2024 postreply 14:08:42

• 很对。这个题的文字很容易误导读者 - 支持人是听错误开 -老键- ♂ 给 老键 发送悄悄话 老键 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:47:13

• 如果在嘉宾选之前，主持人就打开B为羊门，跟主楼的情况还一样吗？ - -stonebench- ♂ 给 stonebench 发送悄悄话 stonebench 的博客首页 (0 bytes) () 02/17/2024 postreply 20:42:07

• 知情与否，不是在开门见驴后我们才讨论的。若不知情，则主持人可能打开车门。 -JSL2023- ♂ 给 JSL2023 发送悄悄话 (172 bytes) () 02/24/2024 postreply 18:00:09

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