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有请昌海哥！ 我记得昌海哥在某个帖子中提到了关于可度量流形中的密切圆的问题。 不知道昌海哥有没有就这个问题继续思考下去？ 在黎曼曲面的意义下，流形是空间的”内在“性质。 在研究曲面（空间）的内在性质时，大范围的坐标等等都失去了意义，代之以拓扑中的不变量。 由于切向量可以定义为定义在流行上局部坐标系上的函数，而且空间是切向量张成的空间，于是且空间的概念仍然反映是空间本身的性质。 但是密切球的定义是否能够反映空间的内在性质呢？ ”球“的存在是依赖于”外在“空间的吧？ 也许只有将时空Imbedding到高维空间中（这个是一定可以做到的）才能使之实现？ 由于昌海哥原帖我已经记得很模糊了，而且好像还涉及到Lorentz变换和广义相对论什么的，我都不是特别熟悉，请昌海哥解释一下吧。 还有，问大家一个本质性的问题。 空间中到底存在不存在真正的直线？ 我说的空间指的是在黎曼几何的意义下，或是在广义相对论定义的宇宙空间中。 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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可见光 
发表文章数: 421 |
刚学过一点点，来献丑了：:-) “在黎曼曲面的意义下，流形是空间的”内在“性质。” 空间有很多种，流形只是其中的一种。所以应该说，满足一定条件的空间是流形，但空间可以不是流形。 l “在研究曲面（空间）的内在性质时，大范围的坐标等等都失去了意义，代之以拓扑中的不变量。” 如果是研究拓扑变换不变性，就是研究拓扑不变量；如果某种变换下度规不变，就是研究度量几何性质的；如果某种变换下联络不变，就是研究仿射变换不变量的，所以不一定非得是拓扑不变量，这要看我们关注什么。 “不变由于切向量可以定义为定义在流行上局部坐标系上的函数，而且空间是切向量张成的空间，于是且空间的概念仍然反映是空间本身的性质。 但是密切球的定义是否能够反映空间的内在性质呢？ ”球“的存在是依赖于”外在“空间的吧？ 也许只有将时空Imbedding到高维空间中（这个是一定可以做到的）才能使之实现？” 我觉得，用局部欧氏空间来研究是为了方便，如果愿意也可以在流形的局部用密切开球来替代切空间，只要它们微分同胚就行。密切球上的测地曲率属于它内在性质的，与外在空间无关。 “还有，问大家一个本质性的问题。 空间中到底存在不存在真正的直线？ 我说的空间指的是在黎曼几何的意义下，或是在广义相对论定义的宇宙空间中。” 不依赖外部空间，在空间自身观察到的直线就是测地线，所以测地线才是真正的直线 。 生活充满七彩阳光，是为可见光
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THANXmm 
发表文章数: 914 |
”刚学过一点点，来献丑了：:-)“ 呵呵呵，一点儿都不丑，华丽的很嘛，感觉你学的不比我少（很无耻的回答^_^) "空间有很多种，流形只是其中的一种。所以应该说，满足一定条件的空间是流形，但空间可以不是流形。 l" 是的是的，可可说得对，我想窄了。 ”如果是研究拓扑变换不变性，就是研究拓扑不变量；如果某种变换下度规不变，就是研究度量几何性质的；如果某种变换下联络不变，就是研究仿射变换不变量的，所以不一定非得是拓扑不变量，这要看我们关注什么。“ 嘻嘻嘻，这个我是知道地。 不过可可真厉害，是我表达的不好。 我想说的空间的”内在“性质，指的是空间本身的性质； 流行本身就是在拓扑上定义的，而拓扑的“原型”其实是集合而已； 所以我们可以说流行，甚至空间就是来自于集合的。 而研究集合本身的性质就是拓扑的课题，主要由拓扑不变量来体现。 度量，联络等等都是”人工化“更浓的产物。 "我觉得，用局部欧氏空间来研究是为了方便，如果愿意也可以在流形的局部用密切开球来替代切空间，只要它们微分同胚就行。密切球上的测地曲率属于它内在性质的，与外在空间无关。“ 有了切空间，度量什么的都比较容易定义。 比如Riemann流行，它就是又有微分结构，又有内积空间性质的流行（在切空间上体现）。 其实测地曲率的性质还是属于它的外加结构的性质。 不过我还是那句话，向量的定义是非常广泛的（可以定义为影射），所以是否切空间的形成已经暗含密切球的情形呢？？ 不过我还是觉得密切球这个东西，太依赖于“外”空间的性质，这只是我个人的想法。 "不依赖外部空间，在空间自身观察到的直线就是测地线，所以测地线才是真正的直线 。" 呵呵，其实我的意思呢，是问空间中是不是存在直观上的直线。 比如我们在一个圆盘上随意定义一个度量，那么”直线“就是直观上的曲线，但是直观上的直线还是存在的，但是没有什么意义。 那么在时空中，直观的直线也是存在的吧，有意义么？？（我在很多书上看到，什么非欧几何起源于Euclid第五公设。 但是一直以来，大家好像觉得非欧几何是数学家想象出来的东西。 不过爱因斯坦告诉人们，我们生活的世界就是这样的，甚至”根本就没有直线“）。这个”根本没有直线“是怎么理解的呢？ 直观上的直线就不存在了？ 不会吧？ 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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卢昌海 
发表文章数: 1617 |
从纯几何的角度上讲其实切空间也是“依赖于外在空间”的，一个曲面在某点的切面除了那一个点外，通常都不在该曲面上，而是跑到“外在空间”里去了。因此从这点上讲密切球和切空间并没有实质的区别，密切球多蕴含了曲率这一信息。 不过我上次提到的用密切 DS 或 ADS 时空取代 Lorentz 时空细想一下恐怕难以得到具有普适性的结果，因为所有的 Lorentz 时空都是一样的（只有一个普适的参数 - 光速），而 DS 或 ADS 时空却带有与曲率有关的参数，从而在不同点上是不同的。 如可可所说，在物理空间中直线指的是测地线。不过在一般的时空中，这种“直线”并不满足 Euclid 公理。换句话说它们并不是 Euclid 空间中（或者说直觉意义上）的直线。Euclid 空间及 Euclid 空间中的直线都是人们根据有限经验外推的结果，它们可以构成自洽的数学体系，但未必在最严格的意义上符合物理实在。这其实并不是非常令人吃惊的事情。如果有一天人们发现时空果真是量子化的，则任何纯几何的线（包括测地线）都失去了严格的物理对应，但有关它们的数学理论依然可以存在，其中的一部分还可以作为描述物理的有效近似手段。 以前我曾和星空兄讨论过类似的话题，参看 “小议数学与物理” 一文。 宠辱不惊，看庭前花开花落 去留无意，望天空云卷云舒
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THANXmm
发表文章数: 914 |
谢谢大家的回答。 我还需要更多的思考，到时候再回来讨论。 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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可见光
发表文章数: 421 |
两位哥哥的回答让我长见识。 我这个寒假学了一点（舅舅是春节后才打算开始学，后来遭遇“不幸”，又变了计划，所以我还是孤军奋战的），对纤维丛的主丛和伴丛之间的关系不甚明了（也可能是书上讲的太简略，就一个定义就打发了），对纤维丛的截面概念也模糊，不知你们能否按照自己理解的方式谈一谈? 我自己的理解是（不知对否请指教）： 1）我这样理解“群流形”：当群参数连续变化时，每个群元对应群参数空间的一点，全体群元所对应的点的集合构成群参数空间中的一个几何流形，是为“群流形”，它是群所对应的的几何描述对象。 2）当一个群的群参数作为某个底流形局部坐标的函数的时候（例如定域规范变换群），就可以把底流形上某一点处的一个群流形看作纤维，底流形上所有各点处的群流形构成纤维丛，是为“主丛”。 3）如果对于一个主丛，用群的表示空间（通常是Hilbert空间，例如规范变换群所作用的物质场所构成的空间，也就是量子力学中的态空间）代替群（流形）本身作为纤维，则新的纤维丛就是原来主丛的伴丛。 4）纤维丛的截面，是底流形上任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场...等等。例如电子波函数是底流形局域坐标的函数，可以作为底流形切空间中的旋量场，它就称为这个切丛的截面。 5）我开始不理解为什么N维底流形上某一点处的切空间是N维的，而底流形上各点处的切空间全体（即切丛）却是2N维的。后来我明白了：比如一条直线上某一点是零维的，但直线上所有点的集合却是一维的，其它就可以如此类推了。 生活充满七彩阳光，是为可见光
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THANXmm
发表文章数: 914 |
可可的语言物理味道浓了一些，我不是很懂，但是大概意思明白了。 群表示论我懂得也不多。我甚至连“群流行”这个名词都没听说过，呵呵呵。 不过要了解切空间和切丛之间的维数关系是很复杂的； 要在切丛上引入拓扑，我看要在A4的纸上写满两页吧。 我现在陷入了Christoffel记号，Gauss-Codazzi方程等等的复杂计算中了； 还好抽空能够做做思考； 可可有想法或理解不妨说出来，供大家体会，也可以让我学习一下。 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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卢昌海
发表文章数: 1617 |
好家伙！可可很厉害啊！我还以为你刚开始学，原来已经学得这么多了。我看你舅舅恐怕要赶不上你了。:) “纤维丛的截面，是底流形上任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场...等等” - 这一表述不很恰当。纤维丛的截面不是“任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场...等等”。而是从“每一点”处的纤维空间中取一个矢量、旋量...等等，光滑合并而成的。 另外，“任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场”这一提法本身不是很妥当，因为“场”是一种空间分布，在纤维丛情形下“空间”指的是底空间，因此只有在底空间的“每一点”上都有适当定义的东西才叫做场，而“任一点处的纤维空间”（它对应的只是底空间的“一个点”）中是没有“场”这个概念的。这就好比一个物理量，比方说温度，在某一个点上的数值是不构成场的。 不过我估计这个只是语言含糊所致，并非理解上有出入。:) 宠辱不惊，看庭前花开花落 去留无意，望天空云卷云舒
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可见光
发表文章数: 421 |
非常感谢二位哥哥！ “另外，“任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场”这一提法本身不是很妥当，因为“场”是一种空间分布，在纤维丛情形下“空间”指的是底空间，因此只有在底空间的“每一点”上都有适当定义的东西才叫做场，而“任一点处的纤维空间”（它对应的只是底空间的“一个点”）中是没有“场”这个概念的。这就好比一个物理量，比方说温度，在某一个点上的数值是不构成场的。” 哈哈，这样理解“截面”才能做到顾名思义了（我觉得科学家给定义时总是尽量做到顾名思义的）。我原想，比如二维球面上某一点处的一个二维切平面，对应球面该点处的一个切空间，即该点的一个纤维。在这个切空间中可以建立，比如二维平面直角坐标系，所有这个切空间中的矢量可以用这二维坐标基展开，我就认为切空间中的所有矢量成为这个切空间中的矢量场。现在照昌海哥这么一说我明白了：这充其量只能算同一点处不同方向的矢量集合，而矢量场还要对应空间不同点处分布的矢量集合。场概念来自于一种空间分布的味道。 如果一个局域坐标系描写了底流形上的一个坐标邻域，那么这个局域坐标系中的矢量集合可以算作矢量场吧，毕竟一个球面只需两个坐标邻域就能覆盖，此时局域坐标平面描写球面上一个开区域（最大可以描写到整个球面但减去一个，比如南极极点）。 我舅舅说，能看得懂几何量子化（geometric quantization)，就算打通了“任督二脉”，以后再学习就势如破竹了。我觉得几何量子化好像没有多大意思（目前还看不太懂），倒是非对易几何非常重要并且很有趣——比如经典相空间对应与坐标“点”（x,p)相关的辛几何，量子力学下，x与p之间的测不准关系不允许这种“点”的几何，量子相空间对应一种非对易几何。其实量子统计那里已经把相空间看作是一个个相格组成的，每个相格大小为Planck常数。 生活充满七彩阳光，是为可见光
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yinhow 
发表文章数: 727 |
我舅舅说，能看得懂几何量子化（geometric quantization)，就算打通了“任督二脉 : 还有代数方法.
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Milnor
发表文章数: 37 |
纤维丛与主丛很有关系,纤维丛的标架丛就是一个以纤维丛的结构群为纤维的主丛.主丛在对纤维丛分类时很有用,可以引入普适丛(Universal Bundle)等,主丛整体截面的存在性还与拓扑障碍理论密切相关.
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THANXmm
发表文章数: 914 |
“另外，“任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场”这一提法本身不是很妥当，因为“场”是一种空间分布，在纤维丛情形下“空间”指的是底空间，因此只有在底空间的“每一点”上都有适当定义的东西才叫做场，而“任一点处的纤维空间”（它对应的只是底空间的“一个点”）中是没有“场”这个概念的。" 其实对纤维丛中“纤维型空间”的确切定义是一个lie群，而不是一个线性空间。 场是一种点依赖的分布，也就是说，一个纤维丛的截面就是一个张量场； 而且这个场由局部性； ”如果一个局域坐标系描写了底流形上的一个坐标邻域，那么这个局域坐标系中的矢量集合可以算作矢量场吧，毕竟一个球面只需两个坐标邻域就能覆盖，此时局域坐标平面描写球面上一个开区域（最大可以描写到整个球面但减去一个，比如南极极点）。“ 场的却是有一种分布的意思，但是这种分布依赖于底空间本身（比如切向量场，是切丛的截面，而切丛是由底空间直接诱导的），或是依赖于纤维型空间； 可可的想法是不是只适用于标准度量的情况？ 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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可见光
发表文章数: 421 |
谢谢飞哥！我觉得学物理的跟学数学的到底有些不一样，飞哥讲的从数学上讲可能更严密更富有一般性，但我们采用的一些概念术语体系可能有些不同，看你讲解的，我反而容易弄糊涂。可能我们的意思其实一样，但表达上不一样引起歧义。 生活充满七彩阳光，是为可见光
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THANXmm
发表文章数: 914 |
呵呵呵呵，给可可造成的麻烦，我先道歉了。 就像Yinhow兄说过的，数学与物理，精雕细琢玉大刀阔斧； 呵呵呵，虽然我也喜欢物理，但毕竟是从数学的角度去看，而且我的物理水平还仅限于“科普”而已； 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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kanex 
发表文章数: 860 |
个人认为几何量子化在物理上的前途值得怀疑。 到目前为止，一切四维上对时空本身的离散尝试都遭到了彻底的失败。 江畔何人初见月`江月何年初照人`
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星空浩淼 
发表文章数: 1743 |
“个人认为几何量子化在物理上的前途值得怀疑。 到目前为止，一切四维上对时空本身的离散尝试都遭到了彻底的失败” 几何量子化跟对时空本身的离散没有关系，"几何量子化"是指用辛几何方法完成量子化手续，而不是对时空这个几何体进行量子化。 唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
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kanex
发表文章数: 860 |
噢，不好意思，我没认真看前面 江畔何人初见月`江月何年初照人`
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萍踪浪迹 
发表文章数: 1983 |
黎曼曲面和黎曼几何可不是一回事~ 虽然Werl在1913年把黎曼曲面用严格的定义规范化,并解释为一维复流形 但是与作为n维流形的黎曼流形还是不一样的 显然,黎曼流形实际上是一种特殊的度规流形,如果度规非正定,那就是伪黎曼流形 而一般流形上是没有度规结构的 在一般流形与黎曼流形(更广义地说:度规流形)上讨论纤维丛理论也是有很大不同的 底空间的限制越强,所能得到的结果越有趣. 纤维丛的核心在于示性类,尤其是Chern类,深刻刻画了纤维丛与平庸纤维丛的偏离程度 物理几何是一家 共同携手走天涯 -----------------Chern
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983 |
大汗~手一抖就把Weyl打成Werl.......................:( 物理几何是一家 共同携手走天涯 -----------------Chern
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THANXmm
发表文章数: 914 |
看到你的祝福，谢谢！ ^_^ ”黎曼曲面和黎曼几何可不是一回事~“ 呵呵呵，当然不是一回事儿喽！ 不过Riemannian Surface可以定义为n维，不一定非得是1维的复流形。 黎曼几何！ 任意一个满足C2公理或者是仿紧的流行上都能够给出黎曼结构，但是不一定可以给出非正定的广义黎曼度量。 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983 |
n维复流形比一维复流形困难得多了~ 实际上一维复流形上成立的许多优美的定理在n维都无法成立.例如著名的Poincare-Keobe单值化. 这是由于单复变函数论与多复变函数论的实质不同而引起的 物理几何是一家 共同携手走天涯 -----------------Chern
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atommann 
发表文章数: 238 |
;;其实量子统计那里已经把相空间看作是一个个相格组成的，每个相格大小为Planck常数。 郁闷！ 前几天我想问题和这个差不多：“空间格点”，当然，是纯概念性的。 唉，想过的问题，早就被别人想过了。 我惟一知道的，就是我一无所知。 —[古希腊]苏格拉底
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sage
发表文章数: 1125 |
;;其实量子统计那里已经把相空间看作是一个个相格组成的，每个相格大小为Planck常数。 郁闷！ 前几天我想问题和这个差不多：“空间格点”，当然，是纯概念性的。 唉，想过的问题，早就被别人想过了。 ========================================== it is probably very different from what you thought. phase space is usually different from real space-time. the lattice size in quantum statistics comes from the 'size' of a state, which is probable different from what you thought as well.
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atommann
发表文章数: 238 |
Sage, thanks for you reply! In fact, I am a newbie in Mathematics and Physics. So, some of my ideas are very naive, please don't mind. And I am studying mathematics all the time. The feeling is wonderful! Thanks again! 我惟一知道的，就是我一无所知。 —[古希腊]苏格拉底
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纤维丛的截面不是“任一点处的纤维空间中的矢量场、旋量场...等等”。而是从“每一点”处的纤维空间中取一个矢量、旋量...等等，光
回答: 首先有向量丛的想法，实际上就是“依赖于参数的向量空间”— 参数就是一个流形。例如：依角度变化的一维向量空间可以看起来像默比乌斯带
由 marketreflections
于 2011-09-18 16:59:51
Re: 有请昌海哥！
Re: 有请昌海哥！
Re: 有请昌海哥！
Re: 有请昌海哥！
Re: 有请昌海哥！
Re: 有请昌海哥！
Re: 有请昌海哥！所有跟帖：
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流型本身就是在拓扑上定义的，而拓扑的“原型”其实是集合而已； 所以我们可以说流行，甚至空间就是来自于集合的。 而研究集合本身的性
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09/18/2011 postreply
17:48:59
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对纤维丛中“纤维型空间”的确切定义是一个lie群，而不是一个线性空间。
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09/18/2011 postreply
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切空间中的所有矢量成为这个切空间中的矢量场。现在照昌海哥这么一说我明白了：这充其量只能算同一点处不同方向的矢量集合，而矢量场还要
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09/18/2011 postreply
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www.dimensions-math.org/Dim_CH7_ZH_si.htm
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09/19/2011 postreply
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fiber01 纤维丛的核心在于示性类,尤其是Chern类,深刻刻画了纤维丛与平庸纤维丛的偏离程度
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11/14/2011 postreply
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fiber01 一个纤维丛是一个局部看来像两个空间的直积的空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射
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11/14/2011 postreply
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在相对论中我们喜欢选定一个参考系，然后观察物体的运动状况，这就相当于固定好纤维，让基底流形作相应的变化
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11/14/2011 postreply
14:52:01
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