fiber01 纤维丛的核心在于示性类,尤其是Chern类,深刻刻画了纤维丛与平庸纤维丛的偏离程度

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纤维丛的核心在于示性类,尤其是Chern类,深刻刻画了纤维丛与平庸纤维丛的偏离程度

微分几何的出发点是微积分。微分对应于曲线的切线，而封闭曲线所包围的面积的理论就是积分论。微积分在几何上的应用演变成曲线论和曲面论。高斯关于内蕴几何的重要发现揭示出，如果要判断一个曲面是否弯曲无须从更高维的空间里去整体地观察而只须在局部通过适当地测量角度和线段长度即可得出结论。换句话说，高斯的曲率概念是一种局域的概念。比如，人们不需要环地球一圈或是从太空拍摄的照片就可以知道地球是圆的。这种环地球一圈或是从太空观测得到的是地球的整体面貌，是曲面(地球表面)的整体结构，是拓扑学所研究的范畴。球面在局部凹陷或隆起一些并不会改变它在整体上是球面的性质。从拓扑角度看，即使是在局部形变的情况下，它仍不同于平面或轮胎面。拓扑学与微分几何的联系是所谓的整体微分几何，主要是通过空间各处局部的测量得到关于空间整体的拓扑性质。这方面最著名的一个例子是Gauss-Bonnet定理，这个定理是说，将曲面在各处的高斯曲率积分得到的量是一个拓扑不变量，事实上，这个量是2π的整数倍。对于一个球面来说，无论如何凹陷或隆起，这个量都等于4π，对于轮胎面，它等于零；而对于图3.9的双孔洞的胎面，则为-4π。