徐一鸿《简明量子场论》笔记 （1）
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A. Zee的《简明量子场论》是一本很“讲物理”的场论书，用来入门非常合适。
首先，提供勘误链接，还有Clarifications。这份笔记中也会提到一些勘误。
这本书的书名叫“QFT in a nutshell”，直译过来应是《果壳中的量子场论》。现在有很多书名字都叫《果壳中的……》，据徐教授说，这类名字是他首创的。
场量子化有三种方法：比较常见的（比如说Peskin的书中一开始用到的）是正则量子化方法；本书则从路径积分方法讲起。（还有种方法我忘了。）I.2回顾了量子力学中的路径积分方法。
高斯积分
路径积分方法中经常要用到的数学运算：高斯积分，收录在Appendix 1中。其中出现的重要概念是Wick contraction，在P13的最后。求
的平均值，得到的结果是
，这个结果可以理解成6个
两两收缩，并对所有可能的收缩求和（后文中出现的
即表示这个求和）后得到的结果。每两个
收缩得到的结果是
，共有三对，即
。可能的收缩方式有
种，于是就得到。P15的Eq. (16)是Eq. (10)的推广，Eq. (18)是一个具体例子。在这里，Eq. (18)的意义是求矢量的4个分量的乘积的平均值，这样的说法比较难理解。实际上，这样的运算是用来求格林函数的。比如P47的Eq. (10)，如果令
，得到的自由传播的四点格林函数形式和P15的Eq. (18)一致，其物理意义是两个粒子传播的几率幅：等号右边第一项表示粒子1从坐标
传播到坐标
的几率幅（等于
），乘以粒子2从坐标
传播到坐标
的几率幅
。由于粒子的全同性，粒子1的末坐标也可能是，于是粒子2从坐标传播到坐标。另外还有第三种可能。把三种情况相加，就得到了两个粒子传播的总几率幅。
量子力学中的路径积分
量子力学中，粒子在两点间的运动没有确定的轨道。对于“没有确定的轨道”，一般人就直接理解成“没有轨道”了，而Feynman独辟蹊径，理解成“有许多条（事实上，是无限条）轨道”。路径积分的思想是：对于从一点运动到另一点的任意一条轨道（用
描述粒子运动的轨道），可以用
算出这条轨道的几率幅。其中
是作用量。粒子在两点间运动的总几率幅就是所有可能的轨道的几率幅之和。在经典极限下，
与
相比是巨大的，路径的微小改变会造成几率幅的剧烈振荡，使得临近路径的总几率幅会相互抵消掉。只有在取极值的路径附近几率幅不能抵消，这就是可以通过最小作用量原理求出的经典路径。
量子场论中的路径积分
量子力学中的研究对象是粒子，用坐标描述，量子场论中的研究对象则是场。所谓“场”，其实是一个数学概念。给定一个流形...或者不用“流形”这样的名词，我们生活的这个宇宙，每一点都可以用时间-空间四维坐标
来描述。在每一个时空点之上都给定一个数
，就得到了一个标量场。（也可以在每一点上给定一个矢量
，得到矢量场；还可以得到张量场等等。）当然，在场论中研究的场，都是一些有物理意义的动力学函数。
给定一个场，对不同的
，
不同，对时间的偏导数是场的动能；对空间的不同点，也不同，在场论中，对空间坐标的偏导数是场的动能。（其实应该是场的动量。但动能和动量实际上是同一四维矢量的分量。）总之，场的动能源于场在时空中的“变化”。除此之外，场自身也有相互作用，称为势能。比较重要的势能项，有
，其大小和场的平方成正比，系数
表征这项作用的强弱。这项势能是场因为自身存在即具有的能量。因为能量即质量，可见其实就是我们熟悉的[静止]质量。还有一个重要的势能项是和
成正比的。玻色气体中，每两个气体原子之间具有相互作用，假设相互作用能量是
。对于有
个原子的玻色气体，总相互作用能量就是
，很大时约等于
。考虑到
，玻色气体原子之间的相互作用其实就是相互作用。
知道了场的动能和势能，就能写出拉格朗日量以及作用量，即P17的Eq. (5)。同样，可以算出这个场的几率幅。量子场论中的路径积分方法是：认为所有的场函数都是可能出现的，计算出所有的几率幅，把它们相加，得到一个总几率幅。
和量子力学中类似，如果做微小变化，一般来说，会导致几率幅的剧烈振荡，使得“相邻”的贡献的几率幅会相互抵消——除非在作用量取极值处。因此，在场论中，同样可以用最小作用量原理，求出“实际出现的”场。对于标量场，这个“实际出现的”场满足Klein-Gordon方程。
源对场的作用
后文开始，保持和书上用的记号一致，用
代替
。
如P20所述。源
会和场
耦合，使得场和无源时不同。其原因在于源与场的耦合会改变场的能量，（比如说真空中放入一个电子，就会改变电磁场的能量，）从而改变场的几率幅。作用量取极值的场也会相应地变化。
这里有个观念上的变化。初次接触场，应该是中学里学到的电磁场。那时候，场被描述为源“产生”的东西，比如说电荷产生电场，电流产生磁场等。而按场论的观点，电荷和电场，一个是spin-1/2 Dirac场，一个是spin-1 电磁场，完全是两样东西。电荷并不会产生电场，而是因为和电场耦合，从而改变了电场——把电磁场从我们称之为“真空”的状态（这种状态我们以前认为是“没有场”的状态）变成另一种状态。
Wick转动
P12提到了Wick转动，是对时间轴做一个
的变换，其目的是把度规从闵氏的
变成欧氏的
，这样，在做积分时，可以“平等地”对待四个坐标，从而简化积分运算。有个需要注意的地方：变换不能是
，尽管这个变换也能达到同样的目的。其中的原因可以参考P23的Eq. (22)：积分项的奇点在复
平面的第二、四象限，Wick转动要避开奇点，因此只能是。
首先，提供勘误链接，还有Clarifications。这份笔记中也会提到一些勘误。
这本书的书名叫“QFT in a nutshell”，直译过来应是《果壳中的量子场论》。现在有很多书名字都叫《果壳中的……》，据徐教授说，这类名字是他首创的。
场量子化有三种方法：比较常见的（比如说Peskin的书中一开始用到的）是正则量子化方法；本书则从路径积分方法讲起。（还有种方法我忘了。）I.2回顾了量子力学中的路径积分方法。
高斯积分
路径积分方法中经常要用到的数学运算：高斯积分，收录在Appendix 1中。其中出现的重要概念是Wick contraction，在P13的最后。求
的平均值，得到的结果是，这个结果可以理解成6个两两收缩，并对所有可能的收缩求和（后文中出现的即表示这个求和）后得到的结果。每两个收缩得到的结果是，共有三对，即。可能的收缩方式有种，于是就得到。P15的Eq. (16)是Eq. (10)的推广，Eq. (18)是一个具体例子。在这里，Eq. (18)的意义是求矢量的4个分量的乘积的平均值，这样的说法比较难理解。实际上，这样的运算是用来求格林函数的。比如P47的Eq. (10)，如果令，得到的自由传播的四点格林函数形式和P15的Eq. (18)一致，其物理意义是两个粒子传播的几率幅：等号右边第一项表示粒子1从坐标传播到坐标的几率幅（等于），乘以粒子2从坐标传播到坐标的几率幅。由于粒子的全同性，粒子1的末坐标也可能是，于是粒子2从坐标传播到坐标。另外还有第三种可能。把三种情况相加，就得到了两个粒子传播的总几率幅。量子力学中的路径积分
量子力学中，粒子在两点间的运动没有确定的轨道。对于“没有确定的轨道”，一般人就直接理解成“没有轨道”了，而Feynman独辟蹊径，理解成“有许多条（事实上，是无限条）轨道”。路径积分的思想是：对于从一点运动到另一点的任意一条轨道（用
描述粒子运动的轨道），可以用算出这条轨道的几率幅。其中是作用量。粒子在两点间运动的总几率幅就是所有可能的轨道的几率幅之和。在经典极限下，与相比是巨大的，路径的微小改变会造成几率幅的剧烈振荡，使得临近路径的总几率幅会相互抵消掉。只有在取极值的路径附近几率幅不能抵消，这就是可以通过最小作用量原理求出的经典路径。量子场论中的路径积分
量子力学中的研究对象是粒子，用坐标
描述，量子场论中的研究对象则是场。所谓“场”，其实是一个数学概念。给定一个流形...或者不用“流形”这样的名词，我们生活的这个宇宙，每一点都可以用时间-空间四维坐标来描述。在每一个时空点之上都给定一个数，就得到了一个标量场。（也可以在每一点上给定一个矢量，得到矢量场；还可以得到张量场等等。）当然，在场论中研究的场，都是一些有物理意义的动力学函数。给定一个场
，对不同的，不同，对时间的偏导数是场的动能；对空间的不同点，也不同，在场论中，对空间坐标的偏导数是场的动能。（其实应该是场的动量。但动能和动量实际上是同一四维矢量的分量。）总之，场的动能源于场在时空中的“变化”。除此之外，场自身也有相互作用，称为势能。比较重要的势能项，有，其大小和场的平方成正比，系数表征这项作用的强弱。这项势能是场因为自身存在即具有的能量。因为能量即质量，可见其实就是我们熟悉的[静止]质量。还有一个重要的势能项是和成正比的。玻色气体中，每两个气体原子之间具有相互作用，假设相互作用能量是。对于有个原子的玻色气体，总相互作用能量就是，很大时约等于。考虑到，玻色气体原子之间的相互作用其实就是相互作用。知道了场的动能和势能，就能写出拉格朗日量以及作用量，即P17的Eq. (5)。同样，可以算出这个场的几率幅。量子场论中的路径积分方法是：认为所有的场函数
都是可能出现的，计算出所有的几率幅，把它们相加，得到一个总几率幅。和量子力学中类似，如果
做微小变化，一般来说，会导致几率幅的剧烈振荡，使得“相邻”的贡献的几率幅会相互抵消——除非在作用量取极值处。因此，在场论中，同样可以用最小作用量原理，求出“实际出现的”场。对于标量场，这个“实际出现的”场满足Klein-Gordon方程。源对场的作用
后文开始，保持和书上用的记号一致，用
代替。如P20所述。源
会和场耦合，使得场和无源时不同。其原因在于源与场的耦合会改变场的能量，（比如说真空中放入一个电子，就会改变电磁场的能量，）从而改变场的几率幅。作用量取极值的场也会相应地变化。这里有个观念上的变化。初次接触场，应该是中学里学到的电磁场。那时候，场被描述为源“产生”的东西，比如说电荷产生电场，电流产生磁场等。而按场论的观点，电荷和电场，一个是spin-1/2 Dirac场，一个是spin-1 电磁场，完全是两样东西。电荷并不会产生电场，而是因为和电场耦合，从而改变了电场——把电磁场从我们称之为“真空”的状态（这种状态我们以前认为是“没有场”的状态）变成另一种状态。
Wick转动
P12提到了Wick转动，是对时间轴做一个
的变换，其目的是把度规从闵氏的变成欧氏的，这样，在做积分时，可以“平等地”对待四个坐标，从而简化积分运算。有个需要注意的地方：变换不能是，尽管这个变换也能达到同样的目的。其中的原因可以参考P23的Eq. (22)：积分项的奇点在复平面的第二、四象限，Wick转动要避开奇点，因此只能是。
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