Weinberg量子场论书摘及笔记 （1）
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开始读Weinberg的《量子场论》书，做点读书笔记。
第一章是介绍量子场论的发展历史，本文是1.1节的笔记和摘录。
量子场论，顾名思义是场的理论。场被看作是基本的东西，场的激发产生我们称之为“粒子”的东西。一般量子场论书都是从场讲起的：标量场（Klein-Gordon场）、spin-1/2旋量场（Dirac场）、spin-1矢量场（电磁场）……而Weinberg的书则从粒子讲起。（It has long seemed to me that a much better starting point is Wigner's definition of particles as representations of the inhomogeneous Lorentz group...）这样的讲法或许是出于粒子物理学家的偏爱，除此之外，Weinberg也讲了其它的考虑：目前看来，量子场论似乎并不是基本的理论，the underlying theory might not be a theory of fields or particles, but perhaps of something quite differeent, like strings. 量子场论仅仅是一个低能有效理论。量子场论之所以能很好地描述实验事实，是因为any relativistic quantum theory will look like a field theory when applied to particles at sufficiently low energy.
因为本书采用了这种独特的讲法，故而第一章先回顾一下1949年以前的量子场论发展历史。
1.1回顾了相对论性波动力学的发展史。
波粒二象性
波粒二象性是de Broglie在1923年提出的。为了得到de Broglie关系式，相位的Lorentz不变性是一条重要线索。如果粒子可以用波描述，
处的相位
是个Lorentz不变量，因此
和
的变换方式必定与
和
一致，从而与
和
一致。因此，
必须和
形式上一致。由Einstein提出的
可类比而得
。
波粒二象性可以解释Bohr and Sommerfeld条件，可以为Davisson电子散射实验所验证。然而，de Broglie关系式只适用于自由粒子，对于non-free particles，需要进一步发展波动力学。
矩阵力学
量子力学首先发展的是矩阵力学，而非波动力学。Heisenberg, Born, Jordan and Pauli等人于1925 - 1926期间提出的。他们的一个重要哲学是：物理学应当只讨论可观测量。
波动力学
薛定谔于1926年重拾波动力学。他首先提出了相对论性的波动方程（后来由Klein和Gordon再次提出，因此称为Klein-Gordon方程），因求出来的氢原子能级在
项上和实验不符而没有继续。几个月后，他意识到这个方程的非相对论极限是正确的，于是就提出了有名的薛定谔方程。
Dirac方程
两个原因使得薛定谔的相对论性波动方程不能给出正确的精细结构：1）没有考虑电子自旋磁矩；2）没有考虑Thomas进动。考虑这两项修正之后，可以得到正确的氢原子能谱。
但这里面的电子自旋是外加进去的一个物理量。而Dirac在1928年提出的理论则本身就包含了电子的自旋。
Dirac的motivation源于相对论性薛定谔方程，即Klein-Gordon方程的负几率问题。Dirac意识到，Klein-Gordon方程中，波函数对时间求二次导数，而几率的表达式，
，波函数对时间只求一次倒数。Dirac认为这是产生负几率的根源。为此，Dirac寻求一个对时间求一次导数的相对论性波动方程，于是就得到了Dirac方程。
很多书上的Dirac方程是
，其中的
矩阵是实的。而Eq. (1.1.19)则是
，
被吸收到了矩阵的定义式Eq. (1.1.20)中。
氢原子的精细结构 —— 几种理论的比较
Bohr-Sommerfeld理论：Eq. (1.1.7)，恰好可以给出正确结果；
薛定谔的相对论波动方程：Eq. (1.1.6)，结果和实验不符；
考虑了自旋修正后的结果：Eq. (1.1.9)，其中的
是整数，而Eq. (1.1.7)中的
也是整数，因此Eq. (1.1.7)能得到正确结果；Eq. (1.1.6)中的
则是半整数。
Dirac方程：Eq. (1.1.27)，Eq. (1.1.9)是其级数展开后的近似。
负能量
可解得
和
，即波函数的后两个分量的本征值是负的。
Dirac海
Dirac对电子负能级的解释：All the states of negative energy are occupied except perhaps a few of small velocity. 没有被占据的负能级，表现出正电荷和正能量（少掉一个负能量的负电荷，等于多出一个正能量的正电荷。）这就是正电子。（Dirac一开始认为这是质子，因为那时候人们认为基本粒子只有两种：带负电的电子和带正电的质子。）
Dirac海的困难
1）Dirac's analysis of the problem of negative probabilities in Schrodinger's relativistic wave equation would seem to rule out the existence of any particle of zero spin. 但事实上有spin-0的玻色子，因此，it is difficult to agree that there is anything fundamentally wrong with the relativistic equation for zero spin that forced the development of the Dirac equation.
2）电子填满负能级后，由于Pauli不相容原理，正能级上的电子不会掉到负能级上。但是对于玻色子呢？Weinberg在1972年问过Dirac这个问题，Dirac当时的回答是：他认为这些玻色子是“不重要”的。但后来他承认对于玻色子“we no longer have the picture of a vacuum with negative energy states filled up.” 随着量子场论的发展，把反粒子视作空穴被认为是不必要的。如Schwinger所说：“The picture of an infinite sea of negative energy electrons is now best regarded as a historical curiosity, and forgotten.”
3）There was no reason to expect any particular value for the magnetic moment of the electron in Dirac's theory.
这些问题都会在量子场论的发展中得到解决。
第一章是介绍量子场论的发展历史，本文是1.1节的笔记和摘录。
量子场论，顾名思义是场的理论。场被看作是基本的东西，场的激发产生我们称之为“粒子”的东西。一般量子场论书都是从场讲起的：标量场（Klein-Gordon场）、spin-1/2旋量场（Dirac场）、spin-1矢量场（电磁场）……而Weinberg的书则从粒子讲起。（It has long seemed to me that a much better starting point is Wigner's definition of particles as representations of the inhomogeneous Lorentz group...）这样的讲法或许是出于粒子物理学家的偏爱，除此之外，Weinberg也讲了其它的考虑：目前看来，量子场论似乎并不是基本的理论，the underlying theory might not be a theory of fields or particles, but perhaps of something quite differeent, like strings. 量子场论仅仅是一个低能有效理论。量子场论之所以能很好地描述实验事实，是因为any relativistic quantum theory will look like a field theory when applied to particles at sufficiently low energy.
因为本书采用了这种独特的讲法，故而第一章先回顾一下1949年以前的量子场论发展历史。
1.1回顾了相对论性波动力学的发展史。
波粒二象性
波粒二象性是de Broglie在1923年提出的。为了得到de Broglie关系式，相位的Lorentz不变性是一条重要线索。如果粒子可以用波描述，
处的相位是个Lorentz不变量，因此和的变换方式必定与和一致，从而与和一致。因此，必须和形式上一致。由Einstein提出的可类比而得。波粒二象性可以解释Bohr and Sommerfeld条件，可以为Davisson电子散射实验所验证。然而，de Broglie关系式只适用于自由粒子，对于non-free particles，需要进一步发展波动力学。
矩阵力学
量子力学首先发展的是矩阵力学，而非波动力学。Heisenberg, Born, Jordan and Pauli等人于1925 - 1926期间提出的。他们的一个重要哲学是：物理学应当只讨论可观测量。
波动力学
薛定谔于1926年重拾波动力学。他首先提出了相对论性的波动方程（后来由Klein和Gordon再次提出，因此称为Klein-Gordon方程），因求出来的氢原子能级在
项上和实验不符而没有继续。几个月后，他意识到这个方程的非相对论极限是正确的，于是就提出了有名的薛定谔方程。Dirac方程
两个原因使得薛定谔的相对论性波动方程不能给出正确的精细结构：1）没有考虑电子自旋磁矩；2）没有考虑Thomas进动。考虑这两项修正之后，可以得到正确的氢原子能谱。
但这里面的电子自旋是外加进去的一个物理量。而Dirac在1928年提出的理论则本身就包含了电子的自旋。
Dirac的motivation源于相对论性薛定谔方程，即Klein-Gordon方程的负几率问题。Dirac意识到，Klein-Gordon方程中，波函数对时间求二次导数，而几率的表达式，
，波函数对时间只求一次倒数。Dirac认为这是产生负几率的根源。为此，Dirac寻求一个对时间求一次导数的相对论性波动方程，于是就得到了Dirac方程。很多书上的Dirac方程是
，其中的矩阵是实的。而Eq. (1.1.19)则是，被吸收到了矩阵的定义式Eq. (1.1.20)中。氢原子的精细结构 —— 几种理论的比较
Bohr-Sommerfeld理论：Eq. (1.1.7)，恰好可以给出正确结果；
薛定谔的相对论波动方程：Eq. (1.1.6)，结果和实验不符；
考虑了自旋修正后的结果：Eq. (1.1.9)，其中的
是整数，而Eq. (1.1.7)中的也是整数，因此Eq. (1.1.7)能得到正确结果；Eq. (1.1.6)中的则是半整数。Dirac方程：Eq. (1.1.27)，Eq. (1.1.9)是其级数展开后的近似。
负能量
考虑静止的粒子，
；Dirac方程：
，写成矩阵形式：
；Dirac方程：，写成矩阵形式：和，即波函数的后两个分量的本征值是负的。Dirac海
Dirac对电子负能级的解释：All the states of negative energy are occupied except perhaps a few of small velocity. 没有被占据的负能级，表现出正电荷和正能量（少掉一个负能量的负电荷，等于多出一个正能量的正电荷。）这就是正电子。（Dirac一开始认为这是质子，因为那时候人们认为基本粒子只有两种：带负电的电子和带正电的质子。）
Dirac海的困难
1）Dirac's analysis of the problem of negative probabilities in Schrodinger's relativistic wave equation would seem to rule out the existence of any particle of zero spin. 但事实上有spin-0的玻色子，因此，it is difficult to agree that there is anything fundamentally wrong with the relativistic equation for zero spin that forced the development of the Dirac equation.
2）电子填满负能级后，由于Pauli不相容原理，正能级上的电子不会掉到负能级上。但是对于玻色子呢？Weinberg在1972年问过Dirac这个问题，Dirac当时的回答是：他认为这些玻色子是“不重要”的。但后来他承认对于玻色子“we no longer have the picture of a vacuum with negative energy states filled up.” 随着量子场论的发展，把反粒子视作空穴被认为是不必要的。如Schwinger所说：“The picture of an infinite sea of negative energy electrons is now best regarded as a historical curiosity, and forgotten.”
3）There was no reason to expect any particular value for the magnetic moment of the electron in Dirac's theory.
这些问题都会在量子场论的发展中得到解决。
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