急,急~~量子力学的数学理论是什么~~:
1932年约翰·冯·诺伊曼将量子力学的最重要的基础严谨地公式化。按照诺伊曼的一个物理系统有三个主要部分:其量子态、其可观察量和其动力学(即其发展趋势),此外物理对称性也是一个非常重要的特性。
假设
非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下假设:
1.一个物理系统于时间点t的状态可以由希尔伯特空间
中的一个归一化矢量 来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可积的线性矢量空间。
2.每个可观测量A可以通过状态空间中的一个厄米算符 来表示,可观测量A在状态 的期望值(即测量结果的平均值)为 。经一步的,对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态矢量都可以由该算符的本征态展开。如果系统处于算符的本征态上,对应的可观测量具有唯一确定的测量值,即该本征态对应的本征值。对于任意的态,观测量的测量值是各本征值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的,测量后系统处于该测量值的一个特征矢量上。
3.位置算符和动量算符之间满足正则对易关系。由此对易关系可以确定动量算符的表达式,而所有的其他算符都可以由位置算符和动量算符表出。由算符的对易式可导出不确定性原理:两个可观察量和之间的不确定性为
4.状态矢量
的动力学演化由薛定谔方程表示: ,在这里哈密顿算符 通常对应于系统的总能量。
为了描写无法获得最多信息的量子状态物理学家创造了密度矩阵。密度矩阵包含了它所描写的系统通过测量可以获得的最多信息。
近年来数学家和物理学家才找到了一个非常广义的可观察量的数学描述,即广义量子测量(POVM)。这个理论在传统的教科书中基本上还未提到。完备正映射(completelypositivemaps)可以非常广泛、而且在数学上非常优美地描写量子系统的运算。这个新的描写方法扩展了上面所叙述的传统的诺伊曼方法,而且还可以描写上述方法无法描写的现象,比如持续性的不确定性的测量等等。
状态
在经典力学中,一个拥有f自由度的物理系统及其随时间的发展,可以通过f对正则坐标
完全决定。在量子力学中,两个相互共轭的可观察量,从原则上,就无法无限精确地被测量。因此,如何相应有意义地,定义一个量子物理学的系统,是一个非常基本的问题。在量子力学中,一个物理系统仅通过同时可以被测量的可观察量来定义,是它与经典力学最主要的区别。只有通过彻底地使用这样的状态定义,才能够理论性地描写许多量子物理现象。
在量子力学中,一个物理状态
由最多 个同时可以被测量的可观察量定义。这些同时可以被测量的可观察量,称为相容可观察量。在测量时,一个可观察量,可以拥有一定的值。可能获得的测量值n,被称为可观察量的本征值。根据系统的不同,它可以是离散的,也可以是连续的。属于这些本征值的状态,被称为该可观察量的本征态。由于上面的定义中的可观察量,是相容的,因此它们互相之间不影响。通过使用适当的过滤,一个已知的量子物理系统,可以被预备到一个一定的状态。以上相容可观察量的本征态为
这样的状态常被称为“纯量子状态”。
值得注意的是不像经典系统那样,这样的量子状态中,并非所有可测量的特性均被确定。对于与上述相容可观察量不相容的物理量的本征值,只能给出获得一定测量值的概率,但是每个测量值肯定是其可观察量的本征值。这个原则性的不确定性,是从前面所提到的不确定性原理来的。它是量子力学最重要的结论,同时也是许多人反对量子力学的原因。
对于一个现有的量子物理学系统来说,一个可观察量的本征值,所构成的本征状态,组成一个线性的状态空间H。从数学的角度来看这个空间是一个希尔伯特空间。这个状态空间,表示了所有这个系统所可能拥有的状态。因此,即使是非常简单的量子力学系统,比如一个由谐振子组成的系统,它的状态空间就已经有无限多个维了。非常重要的是多个状态的线性组合,也是该状态空间的一部分,即使这个线性组合,不是可观察量的本征态。
这个现象被称为多个状态的叠加。比较直觉地,这就好像一个平面内的两个矢量的和,依然是该平面内的一个矢量。
最简单的一个这样叠加的二态系统的例子是一个量子位元。
动力学演化
量子态的动力学有不同的模型(也被称为“绘景”)来表示。通过重新定义算符和状态这些不同的模型可以互相转换,它们实际上是等价的。
薛定谔绘景对一个系统的动力学是这样描述的:一个状态由一个可导的、以时间t为参量的、希尔伯特状态空间上的函数定义。假如
是对一个时间点t的状态描述的话,那么以下的薛定谔公式成立:
这里,H是哈密顿算符,相当于整个系统的总能量的可观察量,是一个紧凑地定义的、自伴算符,i是虚数单位,是普朗克常数。
在海森堡绘景,状态本身不随时间变化,但是可观察量的算符随时间变化。随时间变化的海森堡运算符由以下微分方程定义:
通过数学演化,可以证明,假如可观察量A在薛定谔绘景中,不随时间变化的话,通过薛定谔绘景和海森堡绘景获得的A的期望值是相同的。
在相互作用绘景中,状态和算符均可随时间变化。但是,状态和算符的哈密顿算符不同。尤其在状态随时间的变化,有精确的解的情况下,这个绘景非常有用。在这个情况下,所有的数学计算,全部规限于算符的时间变化上了。因此,对于状态的哈密顿算符被称为“自由哈密顿算符”,对可观察量的哈密顿算符被称为“相互作用哈密顿算符”。动力学的发展可以由以下两个公式来描写:
海森堡绘景最类似于经典力学的模型,从教育学的观点来看薛定谔绘景最容易理解。互相作用绘景常被用在摄动理论中(尤其是在量子场论中)。
有些波函数形成不随时间变化的概率分布。许多在经典力学中随时间动态变化的过程,在量子力学中形成这样的“定态波函数”。比如说,原子中的一颗电子,在其最低状态下,在经典力学中,由一个围绕原子核的圆形轨道来描写,而在量子力学中则由一个静态的、围绕原子核的球状波函数来描写。
薛定谔方程与海森堡方程和相互作用绘景中的方程一样均是偏微分方程,只有在少数情况下,这些方程才能被精确地解。氦原子的电子结构就已经无法被精确地解了。但是,实际上,有许多不同的技术来求得近似解。一个例子是摄动理论,它使用已知的简单的模型系统的解来计算更复杂的模型。尤其在复杂模型中的相互作用,可以被看作是对简单模型的“小”干扰时,这个技术特别有效。另一个技术是所谓的半经典近似,它尤其适用于量子效应比较小的系统中。
另一个计算量子力学系统的方法是理查德·费曼的费曼图积分的方法。在这个技术中,一个量子力学系统的状态值,等于这个系统从一个状态过渡到另一个状态的所有可能的路径的可能性的和。
一个具体例子
在这里以一个自由粒子为例。一个自由粒子的量子态,可以被一个任意在空间分布的波函数来表示。位置和动量是该粒子的可观察量。位置的本征态之一,是一个在一个特定的位置x,拥有一个巨大的值,在所有其它位置的值为0的波函数。在这个情况下,进行一次位置测量的话,可以确定100%的可能性,该粒子位于x。与此同时,其动量的本征态是一个平面波。事实上,该平面波的波长为h/p,在这里h是普朗克常数,而p是该本征态的动量。
一般来说,一个系统不会处于其任何一个可观察量的本征态上,但是假如我们测量一个可观察量的话,其波函数就会立刻处于该可观察量的本征态上。这个过程被称为波函数塌缩。假如,我们知道测量前的波函数是怎样的话,我们可以计算出它塌缩到不同本征态的机率。比如一般来说,上述自由粒子的波函数是一个波包,这个波函数分布于一个平均位置x0周围。它既不是位置,也不是动量的本征态。但假如我们测量这个粒子的位置的话,我们无法精确地预言测量结果,我们只能给出测量结果的可能性。可能我们测量到的位置在x0附近,因为这里的可能性最高。测量后该粒子的波函数倒塌到了一个位于测量结果x的位置本征态。
使用薛定谔方程,来计算上述自由粒子,获得的结果,可以看出该波包的中心,以恒定的速度在空间运动,就像在经典力学中,一个不受力的粒子一样。但是随着时间的发展,这个波包会越来越弥散,这说明其位置测量会越来越不精确。这也说明,随着时间的发展,本来非常明确的位置本征态会不断弥散,而这个弥散的波包就已经不再是位置的本征态了。
1932年约翰·冯·诺伊曼将量子力学的最重要的基础严谨地公式化。按照诺伊曼的一个物理系统有三个主要部分:其量子态、其可观察量和其动力学(即其发展趋势),此外物理对称性也是一个非常重要的特性。
假设
非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下假设:
1.一个物理系统于时间点t的状态可以由希尔伯特空间
中的一个归一化矢量 来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可积的线性矢量空间。
2.每个可观测量A可以通过状态空间中的一个厄米算符 来表示,可观测量A在状态 的期望值(即测量结果的平均值)为 。经一步的,对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态矢量都可以由该算符的本征态展开。如果系统处于算符的本征态上,对应的可观测量具有唯一确定的测量值,即该本征态对应的本征值。对于任意的态,观测量的测量值是各本征值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的,测量后系统处于该测量值的一个特征矢量上。
3.位置算符和动量算符之间满足正则对易关系。由此对易关系可以确定动量算符的表达式,而所有的其他算符都可以由位置算符和动量算符表出。由算符的对易式可导出不确定性原理:两个可观察量和之间的不确定性为
4.状态矢量
的动力学演化由薛定谔方程表示: ,在这里哈密顿算符 通常对应于系统的总能量。
为了描写无法获得最多信息的量子状态物理学家创造了密度矩阵。密度矩阵包含了它所描写的系统通过测量可以获得的最多信息。
近年来数学家和物理学家才找到了一个非常广义的可观察量的数学描述,即广义量子测量(POVM)。这个理论在传统的教科书中基本上还未提到。完备正映射(completelypositivemaps)可以非常广泛、而且在数学上非常优美地描写量子系统的运算。这个新的描写方法扩展了上面所叙述的传统的诺伊曼方法,而且还可以描写上述方法无法描写的现象,比如持续性的不确定性的测量等等。
状态
在经典力学中,一个拥有f自由度的物理系统及其随时间的发展,可以通过f对正则坐标
完全决定。在量子力学中,两个相互共轭的可观察量,从原则上,就无法无限精确地被测量。因此,如何相应有意义地,定义一个量子物理学的系统,是一个非常基本的问题。在量子力学中,一个物理系统仅通过同时可以被测量的可观察量来定义,是它与经典力学最主要的区别。只有通过彻底地使用这样的状态定义,才能够理论性地描写许多量子物理现象。
在量子力学中,一个物理状态
由最多 个同时可以被测量的可观察量定义。这些同时可以被测量的可观察量,称为相容可观察量。在测量时,一个可观察量,可以拥有一定的值。可能获得的测量值n,被称为可观察量的本征值。根据系统的不同,它可以是离散的,也可以是连续的。属于这些本征值的状态,被称为该可观察量的本征态。由于上面的定义中的可观察量,是相容的,因此它们互相之间不影响。通过使用适当的过滤,一个已知的量子物理系统,可以被预备到一个一定的状态。以上相容可观察量的本征态为
这样的状态常被称为“纯量子状态”。
值得注意的是不像经典系统那样,这样的量子状态中,并非所有可测量的特性均被确定。对于与上述相容可观察量不相容的物理量的本征值,只能给出获得一定测量值的概率,但是每个测量值肯定是其可观察量的本征值。这个原则性的不确定性,是从前面所提到的不确定性原理来的。它是量子力学最重要的结论,同时也是许多人反对量子力学的原因。
对于一个现有的量子物理学系统来说,一个可观察量的本征值,所构成的本征状态,组成一个线性的状态空间H。从数学的角度来看这个空间是一个希尔伯特空间。这个状态空间,表示了所有这个系统所可能拥有的状态。因此,即使是非常简单的量子力学系统,比如一个由谐振子组成的系统,它的状态空间就已经有无限多个维了。非常重要的是多个状态的线性组合,也是该状态空间的一部分,即使这个线性组合,不是可观察量的本征态。
这个现象被称为多个状态的叠加。比较直觉地,这就好像一个平面内的两个矢量的和,依然是该平面内的一个矢量。
最简单的一个这样叠加的二态系统的例子是一个量子位元。
动力学演化
量子态的动力学有不同的模型(也被称为“绘景”)来表示。通过重新定义算符和状态这些不同的模型可以互相转换,它们实际上是等价的。
薛定谔绘景对一个系统的动力学是这样描述的:一个状态由一个可导的、以时间t为参量的、希尔伯特状态空间上的函数定义。假如
是对一个时间点t的状态描述的话,那么以下的薛定谔公式成立:
这里,H是哈密顿算符,相当于整个系统的总能量的可观察量,是一个紧凑地定义的、自伴算符,i是虚数单位,是普朗克常数。
在海森堡绘景,状态本身不随时间变化,但是可观察量的算符随时间变化。随时间变化的海森堡运算符由以下微分方程定义:
通过数学演化,可以证明,假如可观察量A在薛定谔绘景中,不随时间变化的话,通过薛定谔绘景和海森堡绘景获得的A的期望值是相同的。
在相互作用绘景中,状态和算符均可随时间变化。但是,状态和算符的哈密顿算符不同。尤其在状态随时间的变化,有精确的解的情况下,这个绘景非常有用。在这个情况下,所有的数学计算,全部规限于算符的时间变化上了。因此,对于状态的哈密顿算符被称为“自由哈密顿算符”,对可观察量的哈密顿算符被称为“相互作用哈密顿算符”。动力学的发展可以由以下两个公式来描写:
海森堡绘景最类似于经典力学的模型,从教育学的观点来看薛定谔绘景最容易理解。互相作用绘景常被用在摄动理论中(尤其是在量子场论中)。
有些波函数形成不随时间变化的概率分布。许多在经典力学中随时间动态变化的过程,在量子力学中形成这样的“定态波函数”。比如说,原子中的一颗电子,在其最低状态下,在经典力学中,由一个围绕原子核的圆形轨道来描写,而在量子力学中则由一个静态的、围绕原子核的球状波函数来描写。
薛定谔方程与海森堡方程和相互作用绘景中的方程一样均是偏微分方程,只有在少数情况下,这些方程才能被精确地解。氦原子的电子结构就已经无法被精确地解了。但是,实际上,有许多不同的技术来求得近似解。一个例子是摄动理论,它使用已知的简单的模型系统的解来计算更复杂的模型。尤其在复杂模型中的相互作用,可以被看作是对简单模型的“小”干扰时,这个技术特别有效。另一个技术是所谓的半经典近似,它尤其适用于量子效应比较小的系统中。
另一个计算量子力学系统的方法是理查德·费曼的费曼图积分的方法。在这个技术中,一个量子力学系统的状态值,等于这个系统从一个状态过渡到另一个状态的所有可能的路径的可能性的和。
一个具体例子
在这里以一个自由粒子为例。一个自由粒子的量子态,可以被一个任意在空间分布的波函数来表示。位置和动量是该粒子的可观察量。位置的本征态之一,是一个在一个特定的位置x,拥有一个巨大的值,在所有其它位置的值为0的波函数。在这个情况下,进行一次位置测量的话,可以确定100%的可能性,该粒子位于x。与此同时,其动量的本征态是一个平面波。事实上,该平面波的波长为h/p,在这里h是普朗克常数,而p是该本征态的动量。
一般来说,一个系统不会处于其任何一个可观察量的本征态上,但是假如我们测量一个可观察量的话,其波函数就会立刻处于该可观察量的本征态上。这个过程被称为波函数塌缩。假如,我们知道测量前的波函数是怎样的话,我们可以计算出它塌缩到不同本征态的机率。比如一般来说,上述自由粒子的波函数是一个波包,这个波函数分布于一个平均位置x0周围。它既不是位置,也不是动量的本征态。但假如我们测量这个粒子的位置的话,我们无法精确地预言测量结果,我们只能给出测量结果的可能性。可能我们测量到的位置在x0附近,因为这里的可能性最高。测量后该粒子的波函数倒塌到了一个位于测量结果x的位置本征态。
使用薛定谔方程,来计算上述自由粒子,获得的结果,可以看出该波包的中心,以恒定的速度在空间运动,就像在经典力学中,一个不受力的粒子一样。但是随着时间的发展,这个波包会越来越弥散,这说明其位置测量会越来越不精确。这也说明,随着时间的发展,本来非常明确的位置本征态会不断弥散,而这个弥散的波包就已经不再是位置的本征态了。