氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子,被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中,氫原子是豐度最高的同位素,稱為氫,氫-1 ,或氕[1]。氫原子不含任何中子,別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫-1 。
氫原子擁有一個質子和一個電子,是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只相依於二體之間的距離,是反平方連心力。我們不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化,簡單化。描述這系統的(非相對論性的)薛丁格方程式有解析解,也就是說,解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。我們可以這樣說,在量子力學裏,沒有比氫原子問題更簡單,更實用,而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論,又可以用簡單的實驗來核對。所以,氫原子問題是個很重要的問題。
薛丁格方程式也可以應用於更複雜的原子與分子。可是,大多時候,沒有解析解,必須要用電腦來計算與模擬,或者,必須做一些簡化的假設,才能夠求得解析解。
Contents:
1. 歷史
2. 薛丁格方程式解答
3. 氫原子電子軌域圖
4. 註解
5. 參閱
6. 參考文獻
7. 外部連結
氫-1 | |
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全表 |
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總體特性 | |
名稱, 符號 | 氕[1], 1H |
中子 | 0 |
質子 | 1 |
核素資料 | |
豐度 | 99.985% |
半衰期 | stable |
同位素質量 | 1.007825 amu |
自旋 | ½+ |
盈餘能 | 7288.969 ± 0.001 keV |
結合能 | 0.000 ± 0.0000 keV |
1. 歷史
1913 年,尼爾斯·波耳在做了一些簡化的假設後,計算出氫原子的光譜頻率。這些假想,波耳模型的基石,並不是完全的正確,但是可以得到正確的能量答案。
1925/26 年,埃爾文·薛丁格應用他發明的薛丁格方程式,以嚴謹的量子力學分析,清楚地解釋了波耳答案正確的原因。氫原子的薛丁格方程式的解答是一個解析解,也可以計算氫原子的能級與光譜譜線的頻率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更為精確,能夠得到許多電子量子態的波函數(軌域),也能夠解釋化學鍵的各向異性。
2. 薛丁格方程式解答
氫原子問題的薛丁格方程式為
- ;
其中, 是約化普朗克常數, 是電子與原子核的約化質量, 是量子態的波函數, 是能量, 是庫侖位勢:
- ;
其中, 是真空電容率, 是單位電荷量, 是電子離原子核的距離。
- 。
猜想這薛丁格方程式的波函數解 是徑向函數 與球諧函數 的乘積:
- 。
2. 1. 角部分解答
相依於天頂角和方位角的球諧函數,滿足角部分方程式
- ;
其中,非負整數 是軌角動量的角量子數。磁量子數 (滿足 )是軌角動量對於 z-軸的(量子化的)投影。不同的 與 給予不同的軌角動量函數解答 :
- ;
- ;
- 。
2. 2. 徑向部分解答
徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式:
- 。
方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢,其效應是將徑向距離拉遠一點。
除了量子數 與 以外,還有一個主量子數 。為了滿足 的邊界條件, 必須是正值整數,能量也離散為能級 。隨著量子數的不同,函數 與 都會有對應的改變。按照慣例,我們規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣,徑向函數可以表達為
- ;
其中, 。 近似於波耳半徑 。假若,原子核的質量是無限大的,則 ,並且,約化質量等於電子的質量, 。 是廣義拉格耳多項式,定義為
- ;
其中, 是拉格耳多項式,可用羅德里格公式表示為
- 。
為了要結束廣義拉格耳多項式的遞迴關係,必須要求量子數 。
知道徑向函數 與球諧函數 的形式,我們可以寫出整個量子態的波函數,也就是薛丁格方程式的整個解答:
- 。
2. 3. 量子數
量子數 、 、 ,都是整數,容許下述值:
- ,
- ,
- 。
為什麼 ?為什麼 ?若想進一步知道關於這些量子數的群理論,敬請參閱氫原子量子力學。
2. 4. 角動量
每一個原子軌域都有特定的角動量向量 。它對應的算符是一個向量算符 。角動量算符的平方 的本徵值是
- 。
角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向,則量子化公式為
- 。
因為 , 與 是對易的, 與 彼此是相容可觀察量,這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 與 的同樣的本徵值。
由於 , 與 互相不對易, 與 彼此是不相容可觀察量,這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言, 的本徵態與 的本徵態不同。
給予一個量子系統,量子態為 。對於可觀察量算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合: 。對於可觀察量算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了另外一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合: 。
假若,我們測量可觀察量 ,得到的測量值為其本徵值 ,則量子態機率地塌縮為本徵態 。假若,我們立刻再測量可觀察量 ,得到的答案必定是 ,在很短的時間內,量子態仍舊處於 。可是,假若我們改為立刻測量可觀察量 ,則量子態不會停留於本徵態 ,而會機率地塌縮為 本徵值是 的本徵態 。這是量子力學裏,關於測量的一個很重要的特性。
根據不確定性原理,
- 。
的不確定性與 的不確定性的乘積 ,必定大於或等於 。
類似地, 與 之間, 與 之間,也有同樣的特性。
2. 5. 自旋-軌道作用
電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏,因為電子環繞著原子核移動,會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用,這現象稱為自旋-軌道作用。當我們將這現象納入計算,自旋與角動量不再是保守的,我們可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性,我們必須取代量子數 、 與自旋的投影 ,而以量子數 , 來計算總角動量。
2. 6. 精細結構
在原子物理學裏,因為一階相對論性效應,與自旋-軌道耦合,而產生的原子譜線分裂,稱為精細結構。
非相對論性,無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。氫原子的粗略結構只相依於主量子數 。可是,更精確的模型,考慮到相對論效應與自旋-軌道效應,能夠分解能級的簡併,使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構,精細結構是一個 效應;其中, 是精細結構常數。
在相對論量子力學裏,狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法,能階相依於主量子數 與總量子數 [2][3],容許的能量為
- 。
3. 氫原子電子軌域圖
右圖顯示出能量最低的幾個氫原子軌域(能量本徵函數)。這些是機率密度的截面的繪圖。圖內各種顏色的亮度代表不同的機率密度(黑色:0 機率密度,白色:最高機率密度)。角量子數 () ,以通常的光譜學代碼規則,標記在每一個縱排的最上端。 意指 , 意指 , 意指 。主量子數 標記在每一個橫排的最右端。磁量子數 被設定為 0 。截面是 xz-平面( z-軸是縱軸)。將繪圖繞著 z-軸旋轉,則可得到三維空間的機率密度。
基態是最低能級的量子態,也是電子最常找到的量子態,標記為 態, 。
特別注意,在每一個軌域的圖片內,黑線出現的次數。這些二維空間黑線,在三維空間裏,是節面 (nodal plane) 。節面的數量等於 ,是徑向節數( )與角節數( )的總和。