henryharry2：量子力学中的对称性

 

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henryharry2 2010-03-07 14:48 在很多问题中，哈密顿量对转动是不变的，因此它与总角动量J的分量对易。于是我们可以在Casimir和Jz的共同本征函数当中寻找哈密顿量的本征函数。因此列出角动量为(JM)的矢量是很重要的。对中心场中的无自旋粒子这种简单情况，总角动量就是轨道角动量，而且总角动量的本征函数为球谐函数。 在普遍情况下，J是各个角动量之和，即它是系数粒子的轨道角动量和自旋之和。通常我们知道怎样来建造单个角动量的本征矢量。对两核子系统的情况，依核子1和核子2的自旋是朝上还是朝下而定。角动量相加问题是，将这些个别的本征函数作线性组合起来，以便得到总角动量的完备本征函数集。最简单的问题是两个角动量的相加，α代表完整地规定动力学态所必需的附加量子数；或者如果愿意的话，α也可以是可观测量A的本征值。 由相加定理可知，每一数偶(JM)对应总角动量的一个本征矢量。为了明确地规定这矢量，我们取它的模方为1，而且用适当的约定来固定它的相位。从一种基变到另一种基是通过幺正变换来实现的，这个变换的系数有一个重要性质：它们与α无关，只与其它量子数有关。因此，这些都具有纯几何的特性，只与所涉及的角动量及其取向有关，而与系统1和2的构成角动量的那些动力学变量的物理本性无关。我们和这变换系数为克莱布许-高登(C-G)系数或矢量相加系数。

 

henryharry2 2010-03-07 14:55 作为利用角动量相加处理的具有转动不变性的系统的例子，我们再次讨论二核子系统。我们将研究含有各种形式的自旋依赖势的薛定谔方程。假定势的形式中，哈密顿量与L和S对易，其本征函数是自旋函数|Sμ>与轨道角动量(lm)完全确定的、r的函数的乘积；当S=0或1时，势是不相同的。因此，这种薛定谔方程的求解等价于解无自旋粒子在中心势内的两个薛定谔方程；每一个方程与S的两个可能值之一对应。 如果S=0，本征函数的轨道部分是无自旋粒子在势中的轨道部分；如果S=1，则是粒子在势中的轨道部分。本征值问题约化为对每一数偶(LS)求解径向方程。于是，我们就有一个类似于无自旋粒子在中心势中运动的问题，唯一的差别在于：对于不同的三重态(LSJ)，“有效的中心势”是不同的。作为一个例子，我们写出J=1时的耦合径向方程组。 在研究氘核时就遇到这一情况。二核子系统提供了一个例子：系统的总角动量是三个角动量之和。我们没有求助于复杂的技巧就能研究这个特别简单的例子。我们将会说明一般情况下的三个角动量相加问题。

 

henryharry2 2010-03-08 08:11 玻色子气体服从玻色-爱因斯坦统计。所谓玻色子气体是指数目很大的N个玻色子组成的系统，其中玻色子之间的作用足够弱，因此在第一级近似下可以忽略。于是，系统的哈密顿量H可以写成N个单体哈密顿量之和。根据玻尔兹曼理论，当系统处于最可几的“宏观态”时，系统达到了热力学平衡。一个给定的“宏观态”实际上是一系列相互之间很接近，以致在宏观的水准上不可能区分它们的量子态(或“微观态”)。 根据各态历经假说，具有同一能量的微观状态都是等几率的，因此某个给定的宏观态的几率正比于组成它的不同微观态的数目。系统的热力学平衡的确定本质上取决于此数目。假定h包括在确定表象{Q}的力学量集合q中，N个粒子在各种可能的单体状态中的每一种分布，决定了系统的一个(而且只有一个)微观状态。这正是玻色-爱因斯坦统计的假设。 在这假设中，粒子被认为是不可区别的，因而若系统的某些状态的区别只在于占据不同单体态的粒子是不同的，就可以认为它们是同一微观状态。但是在Maxwell-玻尔兹曼统计中，则假定各个粒子在微观水准上是可分辨的，而且把对应同一种分布的个系统状态都看作是不同的微观状态。描述处于热力学平衡的系统的密度算符的一般表达式ρ=exp(-H/kT)/Trexp(-H/kT)在此仍然正确。对称化假设引起的深刻差异来源于如下事实：ρ现在是受限定的空间中的算符，因而量子统计的各种运算，特别是求迹的运算必须在此更受限定的空间中进行。

 

henryharry2 2010-03-08 08:27 我们考虑一个由n个全同粒子组成的系统。若粒子是电子，则系统的状态要用反对称波函数表示，然而这些电子不是宇宙中仅有的电子，要忽略其他电子而把这系统当成不同于剩下的电子的系统来处理。就假定了n个电子的力学性质不受其他电子存在的影响。这就引起一个问题：这样的假设有无充分的根据？或者，建立起这几个电子与其他电子之间的某种关联时，对称化假设是否使这个假说不再有效？实际上，系统的电子都处于某一空间区域D，我们所关心的力学性质都与在此区域中要进行的测量相对应，只要其余电子仍在D之外，而且它们与系统中的电子之间的相互作用可以忽略，那么它们就可以直接略去。这是一个普遍的结果，对费米子和玻色子都同样适用。我们这里就两个费米子的特殊情形来证明。 如果忽略所有其它粒子的存在，则两个费米子的力学状态用某个归一化的反对称化波函数φ(1,2)来表示，1和2分别代表粒子1和2的坐标与自旋分量，一般说来，系统的状态(例如χ)是用归一化的反对称波函数χ(1,2)来表示的。如果在给定时刻系统处于状态φ，则它在此时的力学性质由几率w的集合给定。事实上，这两个费米子是N个费米子系统的一部分，我们来看看这些力学性质是否与我们正确地考虑其余(N-2)个电子存在时所得的结果相同。 令Ψ(3,4,…,N)是描写其余(N-2)个费米子的力学状态的归一化反对称波函数。如果费米子1和2与费米子3,4,…,N不是全同的，那么整个系统的状态要用φ(1,2)Ψ(3,4,…,N)来表示，并且只要头两个费米子与其余的费米子之间的相互作用可以忽略。这种因式化性质就会保持。实际上，正确地表示整个系统状态的矢量|Φ>与反对称矢量A|φΨ>成正比，其中A是N个粒子的反对称算子。根据假说，波包φ和Ψ并不重迭，更确切地说，两个费米子一定是在特定的空间区域D内，而其余的电子全在D之外，我们只关心在D之内的两个费米子的力学性质。

 

henryharry2 2010-03-08 08:47 泡利原理对于复杂原子光谱有深刻的影响。在没有外场的情形下，原子的哈密顿量与它的Z个电子的自旋无关，精确地讲，应该加上自旋-轨道耦合项，但我们现在将其忽略。除了氢原子(Z=1)0这种特殊情形外，这样的哈密顿量的本征值问题是不可能精确地求解的。为了确定原子的定态，我们常用独立粒子近似或中心场近似。按照这种近似，每个电子与其他电子无关地在势场V(r)中运动。V(r)表示核的吸引作用和其他电子的平均排斥作用。 这后一作用显然和电子力学状态有关，因此，用单个势场V(r)(即使是近似地)不能说明原子的整个能谱。但是如果我们只限于讨论基态和第一激发态。V(r)就可以一举确定下来，而且V(r)选择得越合适，近似就越好。电子的全部影响体现在对核库仑场的屏蔽作用上。只要远离原子核，这种作用就更明显：V(r)在原点附近是-Zee/r的形式；随着r的增加，势场逐渐偏离这种纯库仑场；在渐近区，势场变成-ee/r，就现在的讨论来说，这些半定量的考虑已足够了。 下面我们讨论两种系统地确定V(r)的方法：托马斯-费米方法和哈特里-福克方法。在中心场近似中，哈密顿量H的本征矢量是Z×Z的斯莱特行列式。它们是由h的一组基矢构成的。H的对应给定的斯莱特行列式的本征值等于出现在行列式中的Z个单体态的能量之和。因此一旦得到单体哈密顿量h的本征值问题的解。H的本征值问题就容易解决了。

 

henryharry2 2010-03-08 09:07 单体哈密顿量h是一个自旋为1/2的粒子在一个与自旋无关的中心场中的哈密顿量，无自旋粒子的相应的本征问题已在前面给出；自旋的唯一的影响是使每个能级的简并度加倍。主量子数n与氢原子问题中的定义相同(径向波函数的节点数是n-l-1)。因为每个状态的能量只与n,l有关，故每个单体能级是2(2l+1)度简并的。在能谱中，能级的顺序并不严格地依赖于V(r)的形式。当l给定能级按n增加的顺序排列。如果V(r)就是核库仑场，则对应同一n的所有能级都重合。 其他电子的屏蔽效应使得这些能级随电子离核的平均距离的增加而增高。因此能级随n,l的增加而增高。如果只限于研究基态和第一激发态。则对所有的原子，单体态能级的相继顺序近乎相同，而且从一个原子到另一个原子时，其顺序可以改变。对于每一组Z个不同的单体态都相应有一个斯莱特行列式，因而对应有原子的一个定态。这个状态的能量是所有组成它的单体态能量之和。并且只与占据各个能级的电子数有关。在各个单体态能级上的占据数的一种分布确定了一个组态。按照这个定义，属于同一组态的状态有相同的能量。 几乎所有的组态都是简并的，仅有的例外是那些封闭壳层，它们是非简并的。基态的组态是把Z个电子放置在最低能级所组成的。因此它们分布在确定的h层内，前(h-1)个壳层是满的，最后一层一般是不满的，只有几个特殊的Z值(Z=2,4,10,12,18等)的情形才是例外。

 

henryharry2 2010-03-08 09:28 利用迄今已得到的关系式，我们能容易地计算角动量算符的矩阵表示。在角动量j=1/2的情况下，我们得到泡利矩阵。在角动量j=1(绝对值ħ√2)的情况下，我们得到具有m=-1,0,1的三维矩阵。形式上自旋矢量和三维空间中的单位矢量之间有着完全的类似；在球表示中三维空间的矢量在空间转动下的变换正像自旋函数一样。 矢量场在转动下的行为可以得出它们具有自旋1，例如作为电磁场(矢量场)的“粒子”的光子具有自旋1。对于自旋3/2我们得到2j+1维矩阵，在此将不进一步讨论它们。用以类似的方法我们可以得到关于更高阶角动量的矩阵。相应的本征函数是具有(2j+1)个分量的列矢量(旋量)。 我们建立了矩阵表示，以角动量算符对于不可进一步分解的不变子空间的态和矩阵元的形式。这样的表示被称为“不可约的”，在量子力学中它们起着重要的作用，因为通常所有的矩阵表示都能被分解成不可约表示的乘积。

 

henryharry2 2010-03-08 09:56 旋转群是由无穷多个算符组成(取ħ=1)，这些算符只是三个基本算符的函数，这允许我们简单地表述它们。每个算符Û(φ)由三个实数来表征。我们马上知道，基本算符Ĵ可以从连续的群元素Û(φ)用微分方法得到，显然Û(φ)要求在恒等算符附近对于参数φ可微。现在我们推广这个概念，由依赖于n个参数(坐标)的算符Û给出的元素所构成的连续群叫李群，以挪威数学家索费斯Lie的名字命名。它们的元素解析地依赖于n个参数以及宗量r。 后者符号性地表明可能存在的坐标依赖性。作为例子，Ĵ依赖于坐标和相应的微商。下面，我们将省略掉作为这种依赖性参照的宗量r，只是记住其相关性。选择参数，使Û(0)=1是有好处的。我们确实在恒等元的邻近得到无穷小变换Û(δα)=1+dÂ。如同以前的一样处理，让dÂ=Â/N，其中N为一整数。为了得到有限的变换Û(α)，作N次相继的无穷小变换。 这里我们实质性地应用了群的性质。从无穷小元素的乘积构造了有限的算符(有限的群元素)。由于群的性质，李群的算符必然地总可以由指数形式来表示。由假设的解析性，对小的δα=0, Û必须以唯一的方式恒等于恒等算符1。如果存在一组δα≠0而，那么将意味着至少存在两个算符Û(δα)=1。结构常数包含了有关一个群的所有信息，因为它规定了以不同次序进行的无穷小群算符的交换性质，而所有有限算符都可以由无穷小算符依次构成。

 

henryharry2 2010-03-08 10:11 球谐函数Y(θ,φ)用“量子数”l和m来表示，更清楚一些，我们说球谐函数是轨道角动量平方和z分量的共同本征函数。角动量平方与无自旋场的旋转群的生成元Ĵ有关。角动量平方(同样Ĵ平方)不是群的生成元而是所有生成元的双线性函数。角动量平方具有与所有生成元对易的特性。因此角动量平方称为群的不变算符或者卡西米尔(Casimir)算符。 Ĵ平方的重要性在于它的(2j+1)个简并的本征矢量代表旋转群的多重态。j=0是单态，j=1/2是双重态，j=1是三重态等等。这一性质并非旋转群所特有，而是在稍为推广的形式下的半单李群的一般特征。正是拉卡(Racah)证明了以下定理。 拉卡定理：对秩为l的任何半单李群存在一组l个独立的Casimir算符。它们是生成元的函数Ĉ，它们与群的每个算符对易，因而自身之间也对易。Ĉ的本征值组唯一地表示群的多重态。这个定理使我们能够清楚地形成多重态的表示。

 

henryharry2 2010-03-08 10:33 我们从总的Hilbert空间的不变子空间这个概念出发。总的Hilbert空间也即对称群的算符作用其上的所有状态。对不变子空间，我们理解为一组状态，当群的某些算符作用其上时它重新产生自己，也即给出同一组状态中的其他状态。群的算符让不变子空间的状态在自身之间变换。换句话说，群的算符(即生成元)在不变子空间和不变子空间以外的状态之间的矩阵元为0。一个多重态是群的不可约的不变子空间，也即不包括进一步的不变子空间的子空间。 包含一个单个的多重态中的状态显然是相互联系的。考虑下面的多重态的交错构造法，这一点就更清楚了。我们从一个归一化的状态ψ开始，它完全处在群的一个多重态内。然后所有矢量ψ(r)=Û(α)ψ，可以从ψ出发通过群算符Û(α)的作用到达。每次相继应用群算符Û(β)必然把矢量ψ(r)在自身之间变换，因为Û(β)Û(α)= Û(r)必然重新是群的一个算符。 矢量ψ的球变换到自己，ψ(r)单独并不形成一个矢量空间(因为每个元素都归一化到1)，但ψ(r)的所有组合张开一个矢量空间。后者显然在群作用下不变。它严格地形成一个多重态，其中包括ψ。名词“多重态”来源于原子光谱学，其中不变子空间由总角动量和轨道角动量来表征。

 

henryharry2 2010-03-08 10:45 设Û(α)是一个对称群的算符(例如旋转算符)。然而体系在群Û(α)下的不变性意味着，如果初态ψ满足i∂ψ/∂t=Ĥψ；那么由对称操作(旋转)产生的状态ψ’(r)=Û(α)ψ(r)。满足同一哈密顿量的同一薛定谔方程，因此i∂ψ’/∂t=Ĥψ’。群参数α是固定的数；特别是它们不依赖于时间。因此，体系在群Û下的不变性必然意味着Ĥ和所有群算符Û(α)对易，从而也和这个群的所有生成元对易。换句话说，这个哈密顿量在一个对称群的每个多重态上是简并的。 这也对l个Casimir算符Ĉ的本征值成立，因为对称群的生成元与Ĥ对易，Ĉ与Ĥ对易。所有l个Casimir算符互相对易，当然也和Ĥ对易。因为对易算符可以同时对角化，也即它们具有相同的本征函数，我们肯定Ĉ在多重态上也是简并的。换句话说，对一给定的多重态，算符Ĉ具有共同的本征值集合。结果拉卡定理保证了每一多重态唯一地和一组本征值相关。我们可以总结这一点为：每个半单李群的多重态能够被l个Casimir算符Ĉ的本征值唯一地标记。 旋转群(阶1)的多重态唯一地用Casimir算符Ĵ平方的本征值来表征，也即用j(j+1)来表征(通常我们简单地说用j来表征)。多重态的每个状态能够应用一个群算符Û(α)。多重态的每个状态是Ĥ和所有Casimir算符分别带有同样本征值的共同本征态。这一组本征值包含了该多重态相对于对称群Û(α)的所有对称性质。我们很快将理解，该多重态相对于群Û(α)不再具有任何进一步的对称性质。这导致我们承认对称群的不变算符(Casimir算符)的基本作用。

 

henryharry2 2010-03-08 11:01 没有办法在一般情况下来构造任意半单李群的Casimir算符。每个群必须分别研究，只是对SU(n)群，即对幺正、幺模的n×n矩阵群，皮顿哈能证明Casimir算符必须是生成元齐次多项式。注意，Casimir算符不是唯一的。例如假设Ĉ和Ĉ’是阶为l的群的不变算符，那么Ĉ+Ĉ’和Ĉ-Ĉ’也是同一群的不变算符。在分类多重态时，它们和原来的Casimir算符Ĉ和Ĉ’同样合适。 (1)旋转群是特殊的一个，因为它的秩为1而因此只有一个不变算符Ĵ平方。(2)群SU(3)是秩为2的群，结果有两个Casimir算符。其中之一相当于Ĵ平方。对群SU(3)的不同多重态它可以有相同的本征值。这种情况下，为了唯一地分类SU(3)的多重态，我们需要第二个不变算符。然后拉卡定理告诉我们，借助于两个不变算符，SU(3)的多重态可以完全地分类。 同样，Ĉ和Ĉ’的任意幂次或两者的乘积也仍是Casimir算符。如果群算符Û(α)是幺正的，因此生成元是厄密的，那么为了构造幺正的半单李群和厄密算符的Casimir算符我们总是可以利用这个自由性。这正是，如果Ĉ是一个不变算符，那么对任何群算符Û(α)我们有ĈÛ(α)=Û(α)Ĉ。Casimir算符是在拉卡定理的意义上对半单李群定义的；这并不意味着对其他李群，这种与每个群算符对易的不变算符不能被构造。

 

henryharry2 2010-03-09 08:43 虽然l个不变算符不是唯一确定的，它们形成一个完备集。更清楚点说，这意味着任何一个与一个李群所有算符对易(因此跟所有生成元对易)的算符Â必须是该群的Casimir算符Ĉ的函数Â=Â(Ĉ)。换句话说，Casimir算符是与该群对易，也与跟群算符Û(α)对易的独立算符的最大集合。Â满足一个不变算符的所有判据；因此Â必须是不变算符之一或者这些Casimir算符的一个组合(甚至是非线性的)。

 

henryharry2 2010-03-11 09:52 在这个例子中，一个旋转由它对三个基本箭头的作用来表示。或者说，这三个基本箭头提供了 SO(3)的一个表示。由于这个表示实际上是由SO(3)的定义提供的，因而被称为“定义表示”，有时也称为“基本表示”。 你可能会觉得，这些长长的讨论只不过是叙说了一个显而易见的事实：一个旋转是用它对三个基本箭头的作用定义的。其实，你只要稍微耐心一点的话，马上就能看到研究这个表示的引人注目之处：利用定义表示，我们可以构造出更大的表示。 要这样做，我们就得象孩童时代学乘法一样，扔掉篮子、苹果、橙子、小猫和箭头这样的具体事物，把定义表示看成是由三个抽象“实体”提供的。经过一次旋转，这三个实体的每一个都变成了它们三个的线性组合。为了跟踪这三个实体，我们必须给他们取上诸如张三、李四、王五、或红、黄、蓝一类的名字。纯粹是因为说起来方便，我们分别把这两种实体看成“圆的”和“方的”。

 

henryharry2 2010-03-13 13:20 二价原子中，在满壳层外有两个价电子，氦原子也是核外有两个电子。它们的能级结构属同一类型。我们先以氦原子为例来讨论，兼及其他二价原子的能级和光谱。原子中具有特定n,l值的电子的组合叫做电子组态，氦原子基态的电子组态是2个1s，一个电子被激发的组态是1snl。现在分析这种组态的能级结构。两个电子的组态，需要区分两种情况，一种是两个电子的n,l完全相同，这叫等效电子，对于等效电子的分析，需要应用泡利原理。 因为这两个电子的其他的两个量子数不能再相同，另一种是n,l值不全相同，这叫不等效电子。这里泡利原理已经得到满足，不必再加以考虑。核外有两个价电子的原子能级结构的类型，取决于电子间的两种相互作用，即价电子间非有心电相互作用和磁性相互作用。对氦原子而言，后一种作用很弱，可以先予以忽略。事实表明，非有心电相互作用，不但使电子总能量上升(因为排斥力的势能为正值)，还使原来简并的能级分裂。 理论分析指出，为表征新的能级，还需要两个新的量子数L和S。L和S分别是表征两个电子的总轨道角动量和总自旋角动量的量子数。能级符号的表示法与单电子的类似，即将L=0,1,2,…的能级记为S,P,D,…，并将2S+1之值记在左上角。2S+1=1和3的态分别为单重态和三重态，理论和实验指出，单重态的能量高于三重态。

 

henryharry2 2010-03-13 13:32 在上述能级结构的基础上，再考虑磁性相互作用，即自旋轨道相互作用。两个电子的自旋轨道作用，如果仔细分析起来，也是相当复杂的。这里有每个电子自身的自旋轨道相互作用(两项)，这个电子的自旋与那个电子的轨道相互作用(两项)，以及两个电子磁矩之间的相互作用。但在大多数情况下，人们发现，两个电子的磁性相互作用可以作简化处理。 它的哈密顿可以归结为ΔH=aL•S，ΔE=A[J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)]/2，A=aħħ，式中J是表征原子总角动量的量子数；J=L+S。这就导致了三重态能级的精细结构分裂。关于1snl组态能级结构的分析，当然也适用于其他的nsn’l组态。上述分析方法及能级结构称作“LS耦合”。 典型的LS耦合需要满足一个条件：精细结构分裂(由磁性相互作用引起)远小于多重能级之间的距离(由电子间非有心力作用引起)。精细结构分裂本身满足朗德间隔定则：精细分裂中两相邻间隔之比等于有关能级较大的两个J值之经。读者可证明此定则的普遍性。反过来讲，如果从光谱数据中得知某精细分裂符合朗德间隔定则，可以推定有关组态属LS耦合。

 

henryharry2 2010-03-15 07:03 作为对氦原子讨论的结束，我们对能级的光谱学分类作一简要描述。基本的特点在于，分类是以两电子的合角动量，而不是它们各自的角动量来进行的。关于轨道角动量合成的矢量模型，在这里完全用得上。倘若把各个电子的状态对应于轨道角动量的量子数，那么合成的轨道角动量就由量子数L来表征了。于是，两电子一起的总角动量J，但由轨道角动量L与总自旋角动量的矢量合成而得到。对于单自旋态(S=0)，当然就只有J=L，但对三重自旋态(S=1)，则一般说来每个L值(除L=0)外都有三个不同的J值。 举一个具体的例子来说，试考虑n1= n2=2、l1= l2=1的两个单电子态为基础的各种态。此时可有L=0,1,2。对S=0，则有J=0,1,2；引用光谱学记号，S、P、D分别代表着总轨道角动量子数L=0,1,2，而上角标(等于2S+1)则标示出该能级的单自旋态，下角标则给出了J的值。至于S=1，可能性就多得多了：L=0:J=1；L=1:J=0,1,2；L=2:J=1,2,3。同一L、S但不同J的诸态之间，能量差别很小。 欲使氦中这些双电子态的分类完整，就得引入有效主量子数n，从而在原子的最低态时n=1。这可由下述定义得出：n=n1+n2-1；这样，所有不同L和S的能级，就能以最粗糙的近似，划分成小组，而归于n=1,2,3等等。这种以n来分类的有效性，前已述及，其根据在于，能级中的诸状态，全都导源于只有一个电子受激发、另一电子则留在最低态以屏蔽核电荷的情形，而如此形成的一种类氢组态，在外层电子激发的能级愈高时，就愈益准确。

 

henryharry2 2010-03-16 13:47 现在来比较一下远点处的两种场强，它们是(a)由某种电荷分布范围内的谐振电偶极子产生的，(b)由两个彼此平行且相距为d的这种偶极子组成的电四极子产生的。假定这一对偶极子作反位相的振荡，所以它们的净偶极矩是零。由(a)和(b)在两偶极子间距轴线上的远点场可以定出四极辐射场的强度。 现若令d为原子的特征线度(≈1Å)，且令λ为可见光的波长(≈6000Å)，则有πd/λ≈0.0005。若仍用经典的说法，则由于辐射率正比于场振荡的平方，故四极系统的辐射弱于偶极子辐射的因子将会是≈0.000001的量级。假定这个特性也适用于原子系统的量子力学描述，那就可以说，如果电偶极辐射竟是可能的，我们便能略去电荷分布的四极以及更高序的电多极分量的贡献了。而对于电偶极为零的情况，那么作为某种很好的近似，就可认为发射辐射是不可能的，或是“被禁戒的”。

 

henryharry2 2010-03-17 13:38 考虑N个同类粒子中的一个，ξ是它的一组基本可观察量，F是它的态矢量空间。令q是F中的对易可观察量的完全集，q中有一组本征基矢。N个粒子之间的置换改变了它们在F中的分布，于是这种运算在这些正交基矢之间建立了一一对应关系，从而在态矢量空间中确定了某些线性幺正算符。N个粒子的每一种置换就以这种方式对应于一个具有幺正性质的置换算符P。 为了简化书写，我们在N=3的情形下继续研究置换。所阐明的基本原则当然适用于N的一切值。在些特殊情形下所证实的这个性质是普遍的属性，给定置换所对应的置换算符P与定义它时所选用的特殊的对称表象无关。正如P作用在某个矢量上得到的另一个矢量就是对原来这个矢量经过置换p而得到的那个矢量，张量空间中一个给定算符F经幺正算符P所作的变换也给出一个算符，它也是由置换p作用在F的宗量上来得到的。 为了证实这个规则，只要证明当F是系统的任一基态可观察量时它成立就足够了。考虑某个这种可观察量，总可以建立一个它在其中是对角的表象。当应用到可观察量上，置换的这个定义符合人们关于可观察量的置换的直观想法：可观察量B经置换p作用所得的可观察量PBP†具有和B相同的本征值谱，而PBP†的本征矢量则由置换算符P作用于B的具有同一本征值的本征矢量上而得到。特别是，如果对于N个粒子的N!个置换中的每一个，都有PBP†=B，即对于任意的P都有[P,B]=0，则B对N粒子的置换是不变的。如果是这样，我们就称B对于N个粒子是对称的。

 

henryharry2 2010-03-17 13:53 两个相继的置换和单个置换等价。从置换算符的定义可知，对于相应的算符P,P’,P”显然也有的关系P=P”P’。由此可知，置换算符和它们对应的置换都遵从相同的代数关系。特别是，任何P都能表示成若干个对换的乘积。对于同一个P，通常可以有许多种这样的乘积，但是所有这些乘积总包含偶数个或奇数个对换。置换的宇称是正还是负，取决于对换数目是偶数还是奇数。某些置换与它们自己的逆置换相等。 显然，对换就是这样，在这种情形下，相应的算符就是一个可观察量，其可能的本征值是±1。本征值为+1的本征矢量在对换(ij)下是不变的，按定义，它们对i和j是对称的。投影到一个所有矢量对i和j都是对称的矢量空间上的投影算符是对称化算子。本征值为-1的本征矢量在对换(ij)下改变符号，按定义，它们对i和j是反对称的。投影到一个所有矢量对i和j都是反对称的矢量空间上的投影算符是反对称化算子。 任何矢量都可分解为两个矢量之和，其中一个对i和j是反对称的，另一个对i和j是对称的。至此，力学状态的对称性和反对称性概念还只对置换P(ij)作了定义，我们要将它推广到更普遍的N!个置换P的情形。

 

henryharry2 2010-03-17 14:03 如果N个粒子系统的哈密顿量H以及所有的物理可观察量对这些粒子是对称的，则此N个粒子是全同的。因此，如果我们希望通过同时测量每个粒子的变量q来确定系统的状态，则这种确定最好也只能到交换简并许可的程序；令张量空间为这些矢量(由N!个置换作用到其中之一上而得出)所张成的空间。系统的状态一定可用此空间中的一个矢量来表示，但是上述的观测不能够确定是哪一个矢量，然而，理论的预言与它是哪一个矢量有关。所以这种含混是真正困难的根源。引入对称化假设就能消除这种困难。 以上定义的张量空间不会包含一个以上的对称矢量和一个以上的反对称矢量。因此对称化假设消除了交换简并。有待于证明的是：它和量子力学关于物理系统的运动与物理量的测量的基本假设不相矛盾。我们来考虑玻色子的情形(费米子可以同样处理)。前面已定义了到对称态的投影算符S，它是置换算符的一种特殊组合，所以和系统的演化算符U对易。 [S,U]=0，而且和物理可观察量对易：[S,B]=0。如果系统开始处于对称态，只要它未受到干扰，则它总是保持在对称态中，现假定对系统完成一次理想测量B，从公式可知S和B至少有一共同的基矢集。若系统的状态是对称的，则态矢量的按这组基矢展开的式子只包含B的对称本征矢量。因此可以肯定：测量B的操作仍使系统保持在对称态中。

 

henryharry2 2010-04-20 09:36 规范理论的很多部分是经典的，而非量子的。像改变电磁势这种规范变换就是很明显的例子。全局对称性与电荷守恒之间的关系在经典电磁学中也可以看出来。一个很强的、在经典物理中也适用的定理，揭示了这种联系。这一定理，在其他场合，主要揭示一些我们不太熟悉的“荷”与相应对称性之间的关系。这个定理被称作诺特定理(Noether’s Theorem)。 诺特定理是根据数学家Emmy Noether的名字命名的，诺特定理以假定自然界遵从最小作用量原理为前提。它还用到了高斯定理，高斯定理用以阐明一个区域中某种东西产生或消失与这种东西在环绕这个区域的边界上的总流量之间的关系。接下来可以通过引进一种对称群，得出著名的守恒标量-电荷，电荷随时间的变化率，与流出或流向电荷所在区域的电流强度相一致。 电荷对应着U(1)对称，与之相应的流就是电流。如果引入其他对称群，那么“荷”与“流”就应该是其他种类的荷与流，它们同电荷与电流没有任何关系。正是诺特定理清楚地说明了空间变化下的对称性是怎样等价于动量守恒的，以及时间变换下的对称性是怎样等价于能量守恒的。在其他一些我们不怎么熟悉的例子中，也有类似的情况。

 

henryharry2 2010-05-29 08:52 盖尔曼认为，讨论SU(3)对称性以及用三种假想粒子讨论其作用，对物理学思想的发展很有帮助。他将他提出的三种假想粒子分别叫做电子、μ子和中微子，为简单起见，他假定它们的质量都是0，它们可能与具有相同名字的粒子有一定联系，但也可能没有。这样，这三种东西就变成了SU(3)三重态的成员。随后，盖尔曼通过给它的假想费米子设定一定的质量，解释了重子和介子的质量差异。 存在三种具有SU(3)对称性费米子的假想概念非常重要，人们可以用它来理解同样具有SU(3)对称性的八重子态。因为八正法隐藏了一个谜团。具有重要意义的多重态看起来像是十个一组的十重态——为什么基本的三重态在自然界中看不到呢？这可以同作为原型的同位旋作对比，尽管同位旋双重态同更大的多重态有很多联系，但双重态实际上只是中子和质子。简言之，在SU(2)群中由中子和质子所担当的角度，在SU(3)群中由谁来扮演呢？ 在一个简单的数学结论中隐藏着一条线索。三套SU(3)三重态会产生十重态，并且还带来许多其他的东西。实际上，完整的过程应该是3×3×3=1+8+8+10。1964年，盖尔曼提出了三种基本实体，取代了陈旧的假想轻子，它们就是出现在乘法中的3。这样，因为有三套这样的三重态，因此也需要三种这样的实体来构建重子的十重态。

 

henryharry2 2010-07-15 12:43 直到现在我们知道强相互作用同位旋不变性的两个论证：首先由于某个电荷多重态导致的粒子间很小的质量差，其次是核力的电荷无关性。两件事实都可以从同位旋群是强相互作用对称群的假设，和相应的同位旋李代数的性质推出。下面我们将进一步讨论支持这一假设(同位旋群=强相互作用对称群)的实验事实。应用在同位自旋群和SO(3)间的同构性使得我们可以按照角动量代数的规则来推出两个(或更多)粒子的总同位自旋构造。 总同位旋T限于以下的值，T=T(1)+T(2)，T(1)+T(2)-1，…,|T(1)-T(2)|；T(1)和T(2)分别表示粒子1和粒子2的同位旋。克莱布许-高登系数由SO(3)的李代数得出，因为同位旋代数同构于角动量代数，我们可以把角动量的结果带到同位旋的场合；克莱布许-高登系数对两个代数是恒等的。现在让我们考虑一个带有同位旋T的粒子到两个分别带有同位旋T(1)和T(2)的别的粒子的衰变。我们从联系初末态的Ŝ算符的矩阵元开始。 哈密顿量的同位旋不变性意味着算符Ŝ的不变性，哈密顿量的同位旋空间部分由恒等算符和这个同位旋群的Casimir算符组成。换句话说哈密顿量在同位旋空间是一个标量，即一个同位旋标量。确实，我们较早就知道它必须由Casimir算符构成；随后在末态中的各种可能的电荷组合的强度比由克莱布许-高登系数的平方决定。换句话说在考虑两个可能的衰变模式的比例时，一般情况下不知道的约化矩阵元抽出去了。这个事实使我们能够作出定量的预言——在强相互作用的完全的动力学理论不存在时——这可以由测量来检验。

 

henryharry2 2010-07-27 13:06 这九个实体可以分成不同的氏族是很容易理解的。其实，从逻辑学的观点看倒该问为什么不能分开。因为并没有什么可指望的原因能保证由胶合得到的九个实体的每一个都可以变换成任一其它实体。感兴趣的读者可以在本章附录找到解释。 通常数学家们不说“一个五实体的表示”，而说“一个 5 维表示”。这里“维”的说法容易引起混淆。所以需要澄清一下，我们正讨论的是 3维空间的旋转群 SO(3)的表示。SO(3)群有一个 1 维表示，一个 3 维表示，一个 5 维表示，而且还可有一个 17 维表示。因而数学家的维既指空间，也指表示。3 维空间的旋转可以把五个或十七个实体联系起来是数学家想到的，你我大概都想不到。 有一些人实际得花很大精力来学习把表示胶合在一起的规则。对我们来说，重要的不是学习这些具体规则，而是要明白可以有什么样的表示完全是由群结构决定的这一事实。例如，SO(3)有 3 维和 5 维表示，但没有 4维表示。要异想天开地构造出 SO(3)的一个 4 维表示，并不是物理学家所能胜任的。

 

henryharry2 2010-08-13 12:58 当Z>>1时，可以应用托马斯-费米的半经典方法来确定原子基态的势能。设ρ(r)是当原子处于基态时在体积元(r, r+dr)中找到电子的几率密度，我们假定这个函数是球对称的，它满足归一化条件4π∫ρr平方dr=Z。Z个电子形成围绕着原子核的平均密度为-eρ(r)的电子云。这样，原子中的电荷产生一个平均电势Φ(r)，它来源于：(1)核的点电荷，位于原点，电荷为Ze； (2)密度为-eρ(r)的连续电荷分布，从数学上讲，Φ是泊松方程ΔΦ=4πeρ的解。在Z>>1的极限情形，一个电子的电场比起所有其余电子的电场要小得多，而且在独立粒子近似中，我们可以用-eΦ(r)代表作用到每个电子上的势能。原子的基态是这样的状态：Z个电子占据着一个质量为m的粒子在势场-eΦ(r)中的Z个最低量子态。因此密度ρ(r)是最低的Z个能级的密度|ψ|平方之和。这意味着ρ(r)和势能-eΦ之间存在着泛函关系。 为决定泛函关系，我们借助于“半经典”近似。在经典极限情形，能量间隔(ε+dε)内的定态数目正比于此间隔在该经典粒子的相空间中所占的体积。比例因子是2/h立方。由于电子有两个自旋态，因此在Z个最低的量子态被占据的原子中，电子的能量分布就和Z个经典粒子的统计混合分布相同。这些经典电子在相空间中的密度等于n(r,p)，ε0是被占据的最高能级的能量。由于能量的零点可以任意选择，我们取ε0=0。

 

henryharry2 2010-08-16 12:31 空间平移、空间转动以及空间反演变换都是幺正变换，而时间反演则是反幺正变换。1932年Wigner在量子力学中引进时间反演变换概念时指出，时间反演并不是时间倒流，而是运动方向的倒转。时间反演变换研究物理过程是否存在可逆的过程，它比空间反演要复杂得多。 对于保守的力学系统，由于作用力与时间无关，粒子的运动是可逆的，也即具有时间反演不变性。这表明时间反演是运动过程的倒转，时间反演不变是指运动的可逆性存在。对于量子系统引入时间反演算符T，若按照对经典情况的变换关系，得到坐标、动量和轨道角动量对应的算符的变换，按上述方式引入的时间反演变换使对易关系在物理过程倒转情况下不再成立，也表明了这种时间反演变换算符T不是线性算符，而是反线性算符。 这不符合要求，为此令时间反演算符为T=UK，其中U是幺正算符；K是取复数共轭运算的算符，它对其右边的态矢量与系数都要进行复共轭运算，U和K是可以对易的；可以保证对易关系在时间反演下不变。反线性算符要对系数做复共轭运算，显然上述的算符K就是一个特殊的反线性算符。反线性算符的矩阵元明确表明对左矢还是对右矢的作用，满足这个条件，则相应的变换算符是反幺正算符；因此时间反演算符T=UK是反幺正算符。

 

henryharry2 2010-08-16 22:17 当今这个时代，每个人都听说过激光，激光表演也是现代摇滚音乐会中常见的节目。激光有非常广泛的应用，从天文一直到氢的聚变。激光有什么特殊的性质，让它变得这么有用呢？要回答这个问题，我们先要了解波动和一个性质，叫“相干性”，对于光子来说，就是很多光子在一起，以一种特殊的量子力学协同方式，同时行动。在理解量子“超流体”这样的特殊现象时，这种量子协同是关键。因此，为了理解激光的特殊性质，必须了解什么是相干性。 波的波形每经过一个周期就会重复，而波的频率对应每秒钟发出的波长数。两列波长相同但开始时间略有差别的波。第一种情况，两列波的波峰和波谷都在同一位置。第二种情况，虚线表示的波在另一列波还没有到达峰值之前就开始下降。第三种情况是另一个极端，一列波的波峰正好是另一列波的波谷。我们说在这三种情况中，两列波有不同的相位差。 如果两列波之间有一个固定的相位差，我们就说这两列波相干，它们可以表现出通常的干涉效应。两个不同原子光源发出的光，不会表现出干涉效应，我们说它们不相干。与此相反，激光有一个显著的特点，就是从许多不同的原子辐射出来的光的相位是相同的。正是激光的这种相干性，才使激光束可以将光能高度集中，聚焦在一个很小的点上。一束功率比一盏普通电灯泡还要小的激光，就可以很容易地在一块金属板上烧出一个洞来。

 

henryharry2 2010-08-18 07:51 从表面上看，我们已经构造出了一个含有九个实体的表示。但得等一下！尽管我们这里确实有由旋转相互联系到一起的九个实体，然而，从逻辑上讲，这并不意味着任一给定的实体都可以变换成其它八个实体的每一个。 让我打一个有些异想天开的比方。在漫不经心地读了一个童话故事之后，一个外星人可能会得到这样一个印象，青蛙、王子、南瓜和四轮马车是可以相互转换的。其实，如果他读得再仔细一点的话就会发现，这四种东西可以分成两对，青蛙和王子可以互换，但不能变成南瓜和马车。事实上，通过适当的组合，我们就可以把这九个实体分成三个氏族：一个氏族含有五个实体，一个氏族含有三个实体，还有一个氏族只含有一个实体。这九个实体是按下面的意义划分的：经过任一旋转，属于第一个氏族的五个实体只在它们之间相互变换。换句话说，这五个实体变换成它们之间的线性组合。它们提供了一个五实体的表示。类似地，处于同一氏族中的三个实体提供了一个三实体的表示，那个单独的实体则提供了一个一实体的表示。 这使我想起了在苏格兰乡村集市上的情况。如果我们让所有有亲戚关系的人站在一起，人群就会按氏族分开。得承认，这个比方并不很妥当，因为变换的概念没有被考虑进来。

 

henryharry2 2010-08-19 10:14 W12只涉及强相互作用。电磁(和弱)相互作用不服从SU(2)对称；毕竟，质子是带电的，而中子不带电。结果，核中的强力既不依赖于自旋的方向，也不依赖于同位旋的方向，它们服从更强的对称，SU(4)。这个近似对称性对于核能谱的更详细的分级十分重要，它在1937年由Wigner发现，后又由Hund独立地发现。后边我们将遇到一个SU(4)的类似物。 关于卡森和康登的出发点还有最后一点要讲：它是泡利原理的延伸。正如我们看到的那样，两种粒子遵守的规则，对称一般情况也是成立的，因此一旦接受同位旋不变性，那么这个延伸就是自然而然的。就p和n的Dirac场的二次量子化而论，每一个都满足公式。人们可以选择质子或中子波函数进行计算。换个方法，不改变内容，人们可以把相因子引进到公式中，只要使八分量和它的共轭满足协变式就可以了。

 

henryharry2 2010-08-26 13:21 大多数物质的重要性质之一就是它的电极化率在不同方向上各不相同，如果你在任一方面上加一电场，那些原子电荷将会迁移一点点而产生出一个电偶极子，可是这偶极矩的大小在很大程度上却取决于场的方向。结晶物质的特性在不同方向上是不同的，我们说它们是各向异性的。感生偶极矩随着所加电场的方向改变而改变，只是一个我们作为张量范例的例子。 对于某一给定方向的电场，每单位体积的感生偶极矩与这外加电场的强度成正比。晶体的感生极化强度不在电场的方向上是普遍正确的。极化张量具有一个有趣性质，这是实际晶体的一种物理性质，而对于一切张量并不一定都如此。这也就意味着，极化张量可以通过只测量在不同方向上使晶体极化所需的能量而加以测定。能量表达式具有一种漂亮的几何解释，这一方程的解是在一个椭圆上的所有各点。它必须是一个椭圆，因为对于任何一个场来说能量总是正的而且又是有限大的。一个“能量椭圆”是使极化张量“形象化”的一种办法。 如果我们现在推广到包括所有三个分量，则所需在任一方向上给出单位能量密度的电场矢量就能提供在一个椭球表面上的一点，这个恒定能量椭球的形状唯一地标志着该极化张量。原来椭球具有这么一个有趣性质，即它总是可以通过给出三个“主轴”方向以及沿这些轴的椭圆直径而加以描述的。“主轴”就是该最长直径与该最短直径的方向以及与此两者都正交的另一方向。相对于这些轴，椭球就有一个标准化的特别简单的方程。极化椭球的形状和取向有时可与晶体的对称性联系起来，对晶体的一切可能对称性算出可能的张量是“群论”。

 

henryharry2 2010-08-29 10:21 两个价电子组成的能级，并不都属于LS耦合类型。还有另外一种典型情况-jj耦合。在jj耦合时，两个价电子间的两种相互作用导致的能级分裂情况，正好与LS耦合相反：电子自身自旋轨道相互作用导致的分裂远远大于非有心电相互作用所导致的分裂。在作定性分析时，先忽略非有心电相互作用，只考虑每个电子自身的自旋轨道相互作用。在这种近似下，两个电子各自独立地运动，每个电子的总角动量分别守恒；两个总角动量都是好量子数。 现仍以sp电子组态为例。当只有自旋轨道相互作用时，能级先按(1/2,3/2),(1/2,1/2)分裂为二。由于非有心电相互作用，每一能级又按J值不同再分为二。二价原子中，有两种情况下出现jj耦合；一是一个价电子激发到高激发态时，另一个是在重元素中。当碱金属原子的原子量加大时，精细结构分裂增大得很快。这表明磁性相互作用随原子量的增加而迅速加大。对于两个价电子，这就会导致jj耦合。碳族诸元素，最外层中有两个等效p电子。当一个电子被激发到最近的s态时，形成ps组态。它们的能级结构，与两个电子sp组态的能级结构完全相同。 jj耦合能级的跃迁选择定则是(对一个电子跃迁而言)：Δj1=0，Δj2=0,±1；ΔJ=0,±1。这里出现一个问题：几个元素(尤其是锗)的那些能级究竟用什么量子数表示？在发生跃迁时，遵守哪一个选择定则？要回答这个问题，有必要再对解决复杂原子结构的方法和原则作一个回顾。人们最先应用有心力场近似，赋予每个电子以量子数n和l。这里有一定的近似性，但近似程度很高，所以一般可以肯定电子基本上属于哪个组态。下一步是角动量的耦合。在完全忽略两个电子间磁性相互作用时，L和S是好量子数；在完全忽略两电子间非有心电相互作用时，j1和j2是好量子数。当两种作用都要考虑时，它们四个都不是真正好的量子数。但是J始终是一个好量子数，因为原子的总角动量J必定是守恒量。

 

henryharry2 2010-09-29 14:08 就如这章的引言所说，我下面就要研究一个给定群的变换如何把各种各样的物体搅和在一起。这些被搅和在一起的物体，被说成是为这个群提供了一个表示。 粗略地说，一个群的表示就是这个群的一个模型，非常类似于一个大楼的建筑模型。我们认为这个模型代表了实际建筑的结构安排，它所强调的是结构。例如，两个侧厅的相对尺寸在模型中和在实际建筑中应严格相等，但所用纸板的颜色可以和实际建筑所用的石头的颜色完全不同。 为了发展群表示的概念，同时也为了明确起见，让我们把目光对准三维空间的旋转群 SO(3)。用三个具有一定长度的箭头来指明空间的三个方向，一个指东，一个指北，一个指上(见图 9.2)。现在我们已经学会了如何标记一个方向，为继续讨论旋转作好了准备。这里并没有什么深刻的东西。相反，我只是在以一种精确的方式表达出旋转把空间的三个方向搅和在一起了这样一个概念。

 

henryharry2 2010-10-11 11:43 自旋是一种向量，其性质不仅与它的大小有关，还与它所指的方向有关。向量叠加的规则必须既考虑向量大小，又要考虑向量的方向信息；像电子自旋这样的“量子向量”，还必须满足向量可能取值的限制。对自旋为1/2的电子来讲，两个这样的粒子能够组成一个自旋值为1或0的结合体。如果两个粒子的自旋都向上，那么总自旋的z方向分量值将会是1。如果两个都朝下，那么总自旋的z方向分量值为-1。在这两种情况下，其结合体总自旋的z方向分量是1。两个粒子的自旋也可能相反，这样总自旋的z方向分量就是0。 还有第四种情况，从z方向来看，自旋方向相反的情形包括两种情况：第一个粒子向上、第二个向下，或者是第一个向下、第二个向上。最后一种可能看起来像失踪了，它为我们提供了一种处理自旋垒加问题的法则。将两个粒子A和B的自旋波函数以相加的方式叠加，会得到自旋z方向分量为0的结合体；以相减的方式叠加，也会得到相同的结果。这两种组合方式看起来很相似，但实际上有很大差别。要想看出这种差别，一种方法就是将粒子A和粒子B对调；换句话说，就是交换粒子的标签而保留自旋分配不变；因此，第一种组合方式就与变化前的样子完全一样；但是第二种组合方式与原来的状态完全相反。 看到两个粒子组成的结合体在两个粒子互相交换时的情形，我们会有一种似曾相识的感觉，回想一下两个电子组合所具有的交换反对称性。对于自旋来讲，第二种组合方式在交换标签A、B后，整体上会出现一个负号，因此满足反对称性；这种组合方式相对于其它三种方式显得有些与众不同；因此，它成为了唯一满足反对称性并且自旋值为零的“孤独的”组合方式，因为它的总自旋值为0，自旋在z方向的分量值同样也是0。

 

henryharry2 2010-10-21 10:02 到现在为止，我们已求得非相对论性氢原子的简并群是SO(4)，其能量谱生成群是SO(2,1)。氢原子的状态可以用通常的量子数标记为|nlm>，与球面坐标中的解相联系。氢原子状态与可与抛物线坐标中的解相联系。在后一种情况中，在构造动力学群时，我们必须找到一个群，它以SO(4)为子群，并且包含逐步改变n和l的那些算子。 让我们首先考虑算子Γ=(a†a+b†b+2)/2，它显然与SO(4)的所有生成元都可换，并且有简单的粒子数算符的形式。算子Γ和SO(4)的生成元一起生成了紧群SO(2)×SO(4)。显然，我们需要生成一个非紧群，它包含SO(2)×SO(4)为其子群。容易证明15个算子构成的李代数是非紧群SO(4,2)的李代数。群SO(4,2)使实形式不变。群SO(4,2)同构于群SU(2,2)，后者保持复形式不变。 因为SO(4,2)的算子使我们能从氢原子的任意状态|nlm>到达任意其它的状态|n’l’m’>。因此我们就有下列结论：在SO(4,2)的表示中，必有一个单独的既约表示，它包含氢原子的所有状态。因此，SO(4,2)构成氢原子的一个动力学群。系统地应用定义M和Γ的分量的交换关系，通过冗长的计算，我们可以求出这组群生成元的完全集合作用于氢原子状态的矩阵元。

 

henryharry2 2010-10-30 09:15 我们这里仅构造了SO(4,2)的一个单独既约表示。构造SO(4,2)及其覆盖群SU(2,2)的所有既约表示是一个极为困难的问题，至今还未得到完整的解答。      动力学群SO(4,2)的子群结构是极为丰富的。SO(4,2)的生成元L45所构成的子集在交换子积运算下是封闭的，它成为德西特群SO(4,1)的李代数，群SO(4,1)同构于非紧辛群Sp(2,2)。我们已经看到L45能把n相差±1的氢原子状态联系起来。因此，在SO(4,2)→SO(4,1)下，SO(4,2)的既约表示必定仍是既约的。二个Casimir算子以及它们在SO(4,1)的这个表示中的本征值是4，对SO(4,1)的表示理论已经有了很多研究工作，这里就不再深入讨论了。 群SO(4,1)有一个单独既约表示，它包含了氢原子的所有束缚状态以及能够产生量子数nlm完全集合的生成元，所以有时我们把群SO(4,1)称为氢原子的量子数群。把SO(4,1)扩大成动力学群SO(4,2)，并不引入另外的量子数，同时表示空间不变。然而，扩大成更大的群便会引入附加的算子。我们在下面将看到，可以把它们看成是相互作用算子，特别是更大的群会包含偶极子算子。

 

henryharry2 2010-11-01 14:05 人们一直就知道，对称在组织自然世界的过程中扮演了一个很重要的角色。我们都熟悉太阳的圆形，雪花和结晶体的规则性。然而，并非所有的对称都是几何性的。男女的对称、正负电荷的对称也是很有用的概念，但这种对称是抽象性质的。在重子和介子当中也发现了这种抽象的对称，这表明任何特定的一类粒子都被一个简单的数学图表紧密地联系起来。可以用我们所熟悉的几何对称来对此做点些许说明。我们都知道，从镜子里看，我们的左手是在右边。左手和右手构成了一个由两个组元组成的对称系统，而镜中的左右手映像又使我们看到了原来的手的样子。从某种意义上说，质子和中子也可以被看成类似左手和右手。在“映像”中，中子变成了质子，质子变成了中子。当然，这里所说的映像不是通常意义上的在实在的空间里的映像，而是在想象的空间里的一种抽象的映像。这想象的空间用行话说就是同位旋空间。尽管这对称是抽象的，然而，其数学表达却与几何对称是一样的，而且这表达具有足够的真实。在散射实验中的质子和中子的性质，以及质子和中子吸引其他粒子注意的方式，就显示出这种表达是真实的。 更为复杂的对称群，使人们得以对粒子的一些大家族而不仅仅是质子和中子进行统一的描述。某些粒子家族包含有8 个、10 个或更多的粒子。某些对称偶尔在乍看之下不明显，因为这些对称被复杂的作用掩盖起来了。但通过数学分析和仔细的实验就可以把它们揭示出来。 这些抽象的对称所显露的物质内部构造的优美，使大部分物理学家感到惊奇。对亚核粒子进行研究的全部基础就是一种坚定的信仰：质朴性存在于一切自然的复杂性之中。尤瓦尔•尼曼和莫里•盖尔—曼最先发现，在一个由8 个介子构成的集合中隐藏着对称性。他们于是仿照佛陀的话，把他们的新原理称作“八正道”：“这雅利安八正道就是正见，正志，正语，正业，正命，正精进，正念，正定”。

 

henryharry2 2010-11-04 09:58 我们首先指出相加定理的一个明显的推论：由任意数目的角动量相加而成的总角动量可取整数或半整数值，这依半整数角动量的个数是偶数或奇数而定。我们就要看到，下面的所有例子都有这种性质。第一例：考虑两个1/2自旋的相加。此时态空间是四维的，总自旋可以取两个值：0,1。S=0恰好对应矢量|00>，我们称这自旋态为单态。 S=1对应三个矢量|11>,|10>,|1-1>,它们是三重态的三个矢量。第二例：考虑一个自旋为1/2的粒子；它的轨道角动量l和自旋耦合成总角动量j；j可以取两个值：j=l+1/2,j=l-1/2，若l=0(s态)，则除外，此时j只能取一个值j=1/2。因此，j可以取从1/2到∞的所有半整数值，而且每一个值都和宇称相反的两项(以及两个系列的2j+1个矢量)相对应。 最后一例，我们考虑二核子系统。现在必须耦合三个角动量：一个轨道角动量和两个自旋。首先耦合自旋得到总自旋S，它有两个可能值：0和1。然后S与相对坐标的角动量L耦合，L取所有正整数值或0。每一数偶(LS)对应(2S+1)(2L+1)个矢量，由这些矢量的线性组合可以得到总角动量的本征矢量。从相加定理得出J的下列数值：单态：S=0，J=L。 我们使用光谱学符号来表述这样构成的光谱项。L的数值用大写字母来表示；字母的左上角标是2S+1(总自旋的多重性)，而右下角标是J。J的每一值对应4项[总共有4(2J+1)个矢量]。但J=0除外，它只有两项。同样的符号通常也用在考虑过的自旋为1/2的粒子上。

 

henryharry2 2010-11-16 11:53 在物理学规律的探索过程中，对称性的观念起了非常重要的作用．当人们熟悉了对称性的观念之后，便想要弄清对称性和自然规律的关系是什么，如何通过已经观察到的对称性来探索未知的事物． 德国女数学家内特尔(Amalie Emmy Noether)在这方面探索研究中证明了一个重要定理，即内特尔定理．这个定理的得出是理论物理学的重要进展，这个定理首先是在经典物理学中普遍证明的，后来经过推广，很快证明在量子力学范围内也能普遍成立．这个定理指出：如果运动规律在某一不明显依赖于时间的变换下具有不变性，必对应存在一个守恒定律． 按照内特尔定理，物理规律如果具有空间坐标平移不变性，则相应地存在一个守恒定律，即动量守恒定律；物理规律如果具有空间转动不变性，则相应地存在一个守恒定律，即角动量守恒定律；物理规律如果具有时间平移不变性，则相应地存在一个守恒定律，即能量守恒定律．这些守恒定律是在经典物理中早已熟知的，这些对称性涉及的变换都是时空性质上的变换，这些对称性可以分类为时空对称性．粒子物理学的发展揭示出微观粒子（和相应的场）的运动规律具有许多过去不认识的内部对称性．前面已讲到的同位旋和重子数，就是内部对称性所决定的守恒量．

 

henryharry2 2010-11-17 08:10 一个球具有绕球心的旋转对称性，这是把球在转动前和绕球心转某一角度后的情况进行比较而得出的结论．由此可见，无论什么样的对称现象，都是与把两种不同的情况加以比较分不开的．在数学上，将两种情况间通过确定的规则对应起来的关系，称为从一种情况到另一种情况的变换．物理学中对称性的观念可以概括为：如果某一现象或系统在某一变换下不改变，则说该现象或系统具有该变换所对应的对称性． 既然每一种对称性都和某种特定的变换相联系，那么对称性的千差万别也就集中反映在与之相联系的各种变换上．因此，可以根据变换所涉及的对象以及变换的性质来对对称性进行分类．对空间性质进行变换所对应的对称性统称为空间对称性，例如在三维空间中描述物体位置和运动的参考系的原点平移的变换对应的是空间平移对称性，参考系的坐标架绕过坐标原点的任意轴旋转的变换对应的是空间旋转对称性；对时间性质进行变换所对应的对称性统称为时间对称性，例如计时原点平移的变换所对应的是时间平移对称性．空间对称性和时间对称性是最基本、最常见的对称性，但并不是所有的对称性都能归入到这两类对称性之中． 各种物体的性质及其运动的不同，不仅体现在对空间和时间的描述上，还体现在一些与空间和时间的描述相独立的其他性质上．物理学中把通过与空间和时间相独立的其他性质的变换所体现的对称性，称为内部对称性．在宏观物理学的范围里，内部对称性常常具有很大的直观性，因此认识其存在并没有很大困难．在微观范围里，内部对称性的直观性减弱了，这并不表明内部对称性的重要性减少了．事实上，随着物理学对微观世界的探索日益深入，认识到的内部对称性也越来越多，如同位旋、奇异数、粲数、底数、轻子数、重子数、P 宇称、C 宇称、G 宇称、CP 宇称⋯⋯等．

 

henryharry2 2010-12-01 11:29 随着越来越多的对称被揭示出来，粒子物理学家们被其精微的规则性深深地吸引住了。这些规则性自天地开创以来就掩藏在原子的深处，不为外界所知。现在，人类才第一次借助先进技术的令人眼花缭乱的器具看到了这些规则性。 物理学家们不久便开始发问这些对称性背后的意义。一位杰出的理论物理学家说：“大自然似乎是想用这些对称来告诉我们什么秘密”。数学分析的力量在这个时候显露了出来。群论表明，一切对称都可以在一个单一的主要基本对称中找到其自然的起源。人们发现，较为复杂的对称都可以通过非常简单的组合得到。用粒子研究的术语来说，数学表明，强子根本就不是基本粒子，而是由更小的粒子组成的合成物。 这的确是轮中之轮！原子是由原子核和电子构成的，原子核是由质子和中子构成的，质子和中子是由什么构成的呢？这些新发现的物质的基本构件构成了质子和中子，它们与原子隔了三层，当时还没有名称。盖尔—曼于是便杜撰了一个名称——夸克。而这名称还真的就这么叫上了。强子是由夸克构成的。古希腊人认为，一切物质都是由为数不多的基本粒子（即他们所谓的“原子”）构成的。这一伟大的原理已被事实证明不那么好理解。基本粒子是否就是夸克？难道夸克也是复合体吗？我们一会儿再来讨论这个问题。

 

henryharry2 2010-12-08 10:31 我们论述的这种模棱两可的情形一旦被假设为一种对称，那么群论的全部力量就会在物理学上发挥出来。我们可以计算出SU(2)的各种表示，或者在一本数学书中把这些表示查找出来。第七章的一般考察意味着，对与强相互作用的任何粒子——从原子核到各种亚原子粒子——都必须属于SU(2)的一个表示。人们认为，属于同一表示的粒子是一种多重态的组成部分；更具体地说，是一种两重态、三重态、四重态等等的组成部分。一种多重态的各个组成部分都必须具有相同的能量或质量。这一点毋庸置疑。 根据艾米•诺特尔的说法，一个守恒量必定与同位旋对称相关；它被简称为同位旋。电磁相互作用的粒子带电荷。同样，强相互作用的粒子带同位旋，同位旋不守恒的强相互作用过程是禁止的。此外，各种给定过程的相对几率是由群论确定的。这种情形与我们在前一章讨论旋转对称时遇到的情形完全相似，而且必定相似，因为起决定作用的数学是不依赖于物理学而存在的。

 

henryharry2 2010-12-14 07:01 在量子物理中，对称性和群论的讨论对实验观察究竟意味着什么呢？我们已经知道，原子中电子的量子态属于旋转群的表示。旋转对称告诉我们，属于同一表示的所有电子态具有同样的能量。就如我已经指出的那样，这是因为属于同一表示的态可以被旋转互换。因此，在我们的例子中，可以选择一个旋转，使得｜1＞被旋转成｜2＞。换句话说，可以找到一个使得｜R1＞等于｜2＞的旋转。实验物理学家确实观察到不同的量子态具有完全一样的能量。 读者应该记得，所允许的表示维数是由群的结构决定的。例如，旋转群没有4 维表示。如果实验物理学家在原子中观察到4 个一组的具有同样能量的量子态，由群论他们就该知道，一定能找出具有同样能量的其它态。 从实验上讲，原子中电子态的能量是由电子跃迁到一个较低的能量状态时所放出辐射时的能量推出的。假定电子从一个属于5 维表示的态跃迁到一个属于7 维表示的态，一共就有5×7=35(普通乘法！)种不同的可能跃迁。如果没有群论，这35 种可能跃迁都必须逐一研究，原子物理学就将是一门冗长乏味的科学。幸运的是，我们可以不经冗长的计算就能由旋转对称和群论立即知道这35 种跃迁中每一个的相对几率是多少。(从实验上讲，某个跃迁所放出的辐射强度直接正比于这个跃迁发生的几率。)就象我在第二章中强调过的那样，基本的旋转对称简单地要求，头相对偏转了一定角度的两个观察者必须感受到同样的物理实在的结构。这个看起来无关痛痒的要求，足以确定这35 种可能跃迁的相对几率。

 

henryharry2 2010-12-16 13:51 随便提一下，群论可以强迫某些跃迁的几率为零。换句话说，旋转对称禁止电子作某些特别的跃迁。物理学家把这称作选择定则。一般地说，开始看起来有不少可能的跃迁，但在作了对称性的考虑后就会发现，实际能发生的没有几个，其它的都是被禁止的。 事实上，选择定则是对称与守恒的联系所明显要求的。依照艾米•诺特尔的理论，一个对称性的出现意味着一种守恒定律。正如那些能量不守恒的过程是被禁止的一样，某种量子跃迁被禁止，是因为它们违反了相应的守恒定律。 在历史上，研究原子的物理学家曾陷入过一个容易引起混淆的繁乱的实验数据的泥潭。有许多态具有同样的能量，在从一个能态到另一个能态的众多可能跃迁中，有一些比另一些发生得更频繁。杰出的美籍匈牙利物理学家尤金•维格纳最终意识到，借助于旋转对称和群论，可以从繁乱中找出秩序来。

 

henryharry2 2011-01-11 14:24 各种各样的整数的出现第一次提醒了物理学家，自然在进行他的设计时用到了群论和作了对称性的考虑。物理学的最后一个目标，就是要决定自然选择的是什么群。 外行人一般会推测，理论物理学家使用的是极复杂的数学。描写科学家的漫画常将他们置于写满复杂公式的黑板前。尽管这一图景可能准确地描写了在某一研究非常复杂的现象的领域工作的物理学家，但如果有人去偷听两个基础物理学家的工作谈话的话，他更容易听到他们正在交流10×10=1+45+54 之类的常识。 在上一世纪临近结束的时候，许多物理学家感到描述物理的数学越来越复杂。其实，物理学中所用到的数学不是越来越复杂，而是越来越抽象。上帝的思维似乎是抽象的，但并不复杂。而且他看来也喜欢群论。

 

henryharry2 2011-01-16 11:16 让我总结一下这两节的要点： 1.对称变换的乘法并不是物理学家随心所欲的创造，而是由对称操作自身的性质决定的。 2.一个群的乘法结构可以用若干实体的变换来表示。所涉及到的实体的个数被称作这个表示的“维”。 3.可能有的表示维数是由群的结构规定的。例如，SO(10)群有一个 45维表示，但没有 44 维或 46 维表示。 4.我们可以把两个表示胶合到一起得到其它表示。 他读的是何种数学书？ 随着物理学家对自然的探索日益深入，各种整数开始出现了。例如，我们在后面一章将看到，质子还有七个“堂兄弟”。质子和它的七个堂兄提供了一个对称群的 8 维表示。象微积分一类的更传统的数学，完全不能解释为什么会出现这种特定的整数。在我们的现有数学框架中，只有群论能解释为什么某些数目会出现，而另一些则不会出现。

 

henryharry2 2011-03-01 07:53 从表面上看来，这一程序显得很荒谬。当然，自由粒子理论并不描述我们的世界。但是，盖尔曼的态度是，一旦“对称”——野鸡肉——被提炼出来，自由粒子理论就要象小牛肉一样被扔了出去。在现实世界中，如作观察的话，那么我们就可能期望对这样提炼出来的对称作相当粗略的观察。而对粗糙的同位旋和八重路感到极为反感的旧思想的卫护士，还要再次受到震惊。 当然，味道如何，尝一尝才知道。小牛肉对野鸡是否有所帮助？结果证明，从盖尔曼提炼出来的对称中推理出实验性的结果需要杰出的才智，但是，这些结果同观察情况都相符合。 这一显然荒谬的程序的出人意料的成功——即从一个确实并不能描述大自然的理论来提炼出与大自然相关的对称的成功——为物理学家们提供了一个有关强相互作用的特点的重要线索：有关强相互作用的正确理论，必定只具有与自由粒子理论相同的对称性。

 

henryharry2 2011-03-04 07:30 就是在教务委员会考察诺特尔能否胜任无偿讲座工作的那段时间，她提出了她的著名定理。她一直在研究那些在对称变换下保持不变的作用量。这种类型的作用量显然应有一些特殊的性质，但会是些什么性质呢？ 这里区别一下象旋转那样的连续对称和象宇称那样的分离对称是很有益的。就如其名字所暗示的那样，与连续对称相应的变换是可以连续地改变的。对于旋转对称，我们可以连续地改变旋转角。然而，对于宇称对称，只有一个反射变换和一个不变变换。凭着灵感，诺特尔意识到，作用量的每一种连续对称性都将有一个守恒量与之对应。对称和守恒这两个物理学家所钟爱的概念事实上是联系在一起的！ 这种联系不仅是深刻的，而且，如我所强调过的，也是极为有用的。实验上每观察到一个守恒量就立即告诉了我们，自然的设计中含有一个与这个守恒量相对应的连续对称性。从18 世纪后期起就已经知道电荷守恒了。在诺特尔发现了她的理论后，物理学家们又重新去验证电磁理论，并寻找与电荷守恒相应的对称性。在寻找过程中，对这个有近一个世纪历史的理论的认识变得更深刻了。这个被及时发现的对称性被称为“规范对称性”。在后面几章中，我们将会看到，规范对称的观念确确实实为物理学家提供了开启宇宙之门的钥匙。

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