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泊松方程和拉普拉斯方程 Poisson's equation and Laplace's equation 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种 热场的研究与计算。 简史 1777 年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中， 每一质点的质量 mk 除以它们到任意观察点 P 的距离 rk，并且把这些商加在一起， 其总和 即 P 点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P 点的质点所受总引力的相应分力。1782 年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势 函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯 方程。 1813 年， S.-D.泊松撰文指出， 如果观察点 P 在充满引力物质的区域内部， 则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引 力物质的密度。文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面 为等热面。 ==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程== 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的 关系 E=-墷 V 和高斯定理微分式 ，即可导出静电场的泊松方程： ， 式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数 εo=8.854×10-12 法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为 拉普拉斯方程。 在各分区的公共界面上，V 满足边值关系， ， 式中 i，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界 面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解， 还需给定求解区域 边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面 上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷 ，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解， 许多情形下它们是无穷级 数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯 方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普 拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或 流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程在 SI 制中，静磁场满足的方程为 式中 j 为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势 r)描述：。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度 j 0 的区域里，磁矢势 满足的方程为 选用库仑规范，墷?r)=0，则得磁矢势 r)满足泊松方程 ， 式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo=1.257×10-6 亨／米。在传 导电流密度 j=0 的区域里，上式简化为拉普拉斯方程 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程， 它的三个直角分量满足的方程与 静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。 参考书目 郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。 J.D.杰克逊著，朱培豫译： 《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京， 1980。(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.) 拉普拉斯方程与泊松方程实际上在很久以前读论文的时候就经常遇到拉普拉斯方程和泊松方程，每次都是不求甚解。 实际上在很久以前读论文的时候就经常遇到拉普拉斯方程和泊松方程，每次都是不求甚解。最 近在看利用梯度域的方法来处理二维图形问题，又遇到了拉普拉斯方程与泊松方程。 近在看利用梯度域的方法来处理二维图形问题，又遇到了拉普拉斯方程与泊松方程。实在不能 忍了，就去维基上搜了一下，彻底弄清了这两个方程的神秘面纱。 忍了，就去维基上搜了一下，彻底弄清了这两个方程的神秘面纱。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 拉普拉斯方程（Laplace's equation） ，又名调和方程 位势方程 调和方程、位势方程 拉普拉斯方程 调和方程 位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数 学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一 类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称 为“保守场”或“有势场”）的性质。 定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x、y、z 二阶可微 的实函数 φ ： 上面的方程常常简写作： 或 其中 div 表示矢量场的散度（结果是一个标量场） ，grad 表示标量场的梯度（结果是一个矢量场） ，或 者简写作： 其中 ? 称为拉普拉斯算子 拉普拉斯算子. 拉普拉斯算子 拉普拉斯方程的解称为调和函数 调和函数。 调和函数 如果等号右边是一个给定的函数 f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 ? 泊松方程。 泊松方程 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子 拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称 拉普拉斯算子 作 Laplacian。 拉普拉斯方程的狄里克雷问题可归结为求解在区域 D 内定义的函数 φ，使得在 D 的边界上等于某 给定的函数。 为方便叙述， 以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进 行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数） ，直到区域内部热传导使温度 分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄里克雷问题的解。 拉普拉斯方程的诺依曼型边界条件不直接给出区域 D 边界处的温度函数 φ 本身， 而是 φ 沿 D 的边界 法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果 （对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度） 。 拉普拉斯方程的解称为调和函数 调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它 调和函数 们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程） ，这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同 样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解 组合起来，构造适用面更广的通解。 三维拉普拉斯方程基本解拉普拉斯方程的基本解满足 其中的三维 δ 函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义，若对 u 作用拉普拉斯算子，再把结 果在包含点源的任意体积内积分，那么 由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式， 所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离 r 相关 的解中。如果我们选取包含点源、半径为 a 的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理 求得在以点源为中心，半径为 r 的球面上有 所以 经过类似的推导同样可求得二维形式的解 [编辑]格林函数格林函数一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域 V 的边界 S 上还满足一定的边界条件 格林函数 的基本解。譬如，可以满足 现设 u 为在 V 内满足泊松方程的任意解: 且 u 在边界 S 上取值为 g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论） ，得到 un 和 Gn 分别代表两个函数在边界 S 上的法向导数。考虑到 u 和 G 满足的条件，可将上式化简为 所以格林函数描述了量 f 和 g 对(x',y',z')点函数值的影响。 格林函数在半径为 a 的球面内的点上得 值可以通过镜像法 镜像法求得 （Sommerfeld, 1949） 距球心 ρ 的源点 P 的通过球面的“反射镜像”P' 距球 ： 镜像法 心 需要注意的是，如果 P 在球内，那么 P' 将在球外。于是可得格林函数为 式中 R 表示距源点 P 的距离，R' 表示距镜像点 P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊 泊 松积分公式。设 ρ、θ 和 φ 为源点 P 的三个球坐标分量。此处 θ 按照物理学界的通用标准定义为 松积分公式 坐标矢径与竖直轴（z 轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同） 。于是球面内拉普拉斯 方程的解为： 式中 这个公式的一个显见的结论是： u 是调和函数， 若 那么 u 在球心处的取值为其在球面上取值的平 均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会 在其定义域的内部点取得。
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