格林函数的重要性在于可以利用场的叠加原理,Dirac-delta 函数的本征展开与积分表示

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中文格林函数
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电磁理论中的格林函数格林函数可以定义为具有单位强度的位于空间某点的源在一定的边界条件下麦克思 韦方程的解.格林函数的重要性在于可以利用场的叠加原理,在求得格林函数以后求出 任意分布源的场解.从理论上说,由格林函数可以求出一切边值问题的解.大多边值问题 都归结为求解给定边界下的格林函数. 本章我们先讨论一些基本概念;再论及泊松方程的格林函数解, 给出泊松方程格林函 数的经典求法的一些例子.最后引入并矢概念,并矢格林函数及其在各种条件下的解的 形式. §1.1 Drac-delta函数的基本概念 Drac Delta 函数在电磁理论中占有很重要的位置,它常常用来表示点源.这里我们给出 其一般概念. 1829年 George Green 发明了用单位强度点或线源的势来解各种偏微分方程的方法. 这种单位强度的源所形成的场被人们称为Green函数.在Green函数应用的早期未定义 表示单位点源的数学表达式. 1927年Dirac引入Dirac-delta函数δ(x-x'),其定义为 δ ( x x ' ) = lim un ( x x ' ) n →∞ (1.1) un = n π e n 2 ( x x ') 2 or sin( n ( x x ')) π( x x ' ) un ( x x ') 的特性是 n →∞ lim ∫ f ( x )un ( x x ' ) dx ' = f ( x ' ) (1.2) 即δ(x-x') 的特性. δ(x)还可以看成是下面序列的极限: 2 δ ( x ) = lim e n →∞ n x n/ x §1.1.1 Dirac-delta函数的特性 由δ(x-x')函数的定义可知Dirac-delta函数与一般函数不同它仅在积分下才有意义。故 称为广义函数。其奇异性如下 1 δ ( x x' ) = 其积分定义为 ∞ 0 x = x' x ≠ x' (1.3) ∫ f ( x ) δ ( x x ' ) dx = f ( x' ) 0 x = x' x ≠ x ' (1.4) 二维与三维Dirac-delta函数有相似的定义和特性。 Dirac-delta 函数的本征展开与积分表示 : 在区间(a,b)的一连续函数f(x)可以用正交归一函数Φ n ( x ) 展开为级数： ∞ f ( x ) = ∑ An Φ n ( x ) n=1 (1.5) 式中系数 An 为: An = ∫ Φ n ( x ) f ( x )W ( x )dx b a (1.6) 其中W(x)为加权函数.代入(1.5) f ( x) = ∫ [ w( x ) ∑ Φ b a n =1 ∞ n ( x )Φ n * ( x )] f ( x ' )dx ' (1.7) 比较Delta函数的定义可得: δ ( x x ' ) = W ( x ) ∑ Φ n ( x )Φ *n ( x ) n =1 ∞ (1.8) 这样Delta函数就可以展开为Sturm-Livioulle型常微分方程的本征值函数的级数。 对一维 Delta函数，W(x)=1 1 ∞ δ ( x x' ) = ∑ sin( nπ x / L) sin(nπ x ' / L) 2 L n =1 或者用余弦函数表示为 (1.8a) 1 ∞ δ ( x x ') = ∑ cos(nπ x / L) cos(nπ x ' / L) 2 L n =1 用Bessel函数展开有， (1.8b) 1 δ (x x ) = 2l ∑J i =1 ∞ m ( k m i x )J m ( k m i x ) / Qi 2 (1.9) 2 其中 Q 由下式给出： a2 Qi = {[ J 2 2 m (1 m 2 ) 2 ( k m i a )] + 2 2 }J m ( k m i a ) km i a 2 (1.10) 第一类Bessel函数的正交关系： ∫ a 0 Qi2 J m ( k i x ) J m ( k j x ) xdx = 0 i= j i≠ j (1.11) 这里ki = ρmi / a ρ mi 是 J m ( x ) 的第 i 个根。用球Bessel函数展开有， ∞ δ ( r r ') / r 2 = ∑ 2 jm ( ki r ) jm ( ki r ') / {a 3 [ j 'm ( ki a )]2 } n =1 (1.12) 为了求得δ ( θ θ' ) 函数展开,用连带Legendre函数展开有， δ (θ θ') = ∑ 2n + 1 ( n m)! m Pn (cos θ) Pnm (cos θ' ) 2 ( n + m)! n =1 ∞ (1.13) 在实际问题中，对一维Delta函数非常有用的积分展式是 1 δ ( x x' ) = 2π ∫ ∞ ∞ e j k x ( x x ') dk x (1.14) 对二维 Delta 函数可以表示成为两个一维 Delta 函数的乘积； δ ( ρ ρ ') = δ ( x x ') δ ( y y ') 而三维Delta函数又可以三个一维Delta函数的乘积来表示: (1.15) δ (r r ') = δ ( x x ') δ ( y y ') δ ( z z ') 二维和三维Delta函数可推导出类似的积分展式。附 Delta 函数的一般理论 1． 一维情况 (1.16) 3 x0 + a x0 a x0 +a ∫ f ( x ) δ ( k ) ( x 0 x )dx = f ( k ) ( x 0 ) a>0 (1) x0 a ∫ f ( x ) δ ( k ) ( x x0 )dx = (1)k f ( k ) ( x0 ) a>0 (2) 其中 f ( k ) ( x ) 和δ ( k ) ( x ) 为 k 阶导数, (k=0,1,2,3...), f ( k ) ( x ) 在 x = x k (k=0,1,2,3...)处是连续的 伸缩特性 δ (ax ) = 1 δ (x) a (3) 其中 a 是非零实数； 导数特性： δ '( x) = δ ( x) δ ( k ) = ( x) = (1) k k! δ ( x) xk 1 x （4） （5） b( x ) δ '( x ) = b(0) δ '( x ) b '(0) δ ( x ) 这里 b’(x) 在 x=0 处是连续的。 （6） δ ( k ) ( x ) = (1) k δ ( k ) ( x) b( x )δ ( k ) ( x ) = ( 1) k [b( k ) (0)δ ( x ) + C1k b( k 1) (0)δ '( x ) + +C2k b( k 2 ) (0)δ ''( x )+...+Ckk1b '(0)δ '( k 1) ( x ) + +b(0)δ ( k ) ( x )] 这里面 Ckk r = Crk 为二项式系数， b ( k ) ( x ) 在 x=0 处是连续的 2.多维情况： （7） （8） 4 ∫ f (M ) δ D r ( M , M 0 ) dM = f ( M 0 ), M 0 ∈ D, (10) D E Er表示欧几里德空间； f ( M ) 在M＝M0是连续的 δ ( M M0 ) = δ (x1 ξ1 )δ (x2 ξ2 )...δ (xr ξr ) M ( x1 , x 2 ,..., x r ) ∈ E r , 这里 ( x1 , x2 , x3 , ...xr ),(ξ1 , 极坐标： （11） M 0 ( x1 , x 2 ,..., x r ) ∈ E r ξ 2 , ξ3 , ...ξ r ) 是M和M0的笛卡尔坐标 δ (M M0 ) = δ (r ρ)δ (θ σ ) 柱坐标： 1 r （12） δ (M M0 ) = δ (r ρ)δ (θ σ )δ (z ζ ) 1 δ (r ρ)δ (θ σ )δ ( ν ) r2 sinθ 1 r 球坐标：δ (M M0 ) = 参考文献： 1．Anatoliy G. Butkovskiy, Green’s Functions and Transfer Functions Handbook (Ellis Horwood Series Mathematics and its Applications), John Wiley & Sons §1.2格林函数的定义和特性 如果Green 函数满足标量的 Hemholtz 方程 2G(r, r ' ) + k 2G(r, r ' ) = δ (r r ) (1.17) 式中k为常数；则满足上式的G(r,r')称为格林函数；若k=0则上式变化为Poisson泊松方 程.一般来说非齐次的二阶标量微分方程，都可以定义相应的格林函数。不同的微分方 程具有不同的格林函数；同一微分方程在不同的边界条件下的格林函数也具有不同的 形式。 泊松方程的格林函数 在静电学中,标量势满足泊松方程 2 φ = ρ / ε 这里ρ是电荷的分布密度ε是媒质的介电常数.在自由空间,上式的解可以表为下面的 积分 5 φ ( x, y, z) = ∫ v ρ ( x ', y ', z ') dv 0 4π ε r (1.18) 式中 r 是源点到场点(观察点)的距离, r = (x x')2 +( y y')2 +(z z' )2 由Delta函数的性质，我们有 ∫ δ (xx)δ (yy)δ (zz)dv= v 1 (x', y',z') 0 (x', y',z') not inside v inside v (1.19) 如P(xo, yo, zo)是个任意的矢量函数,并且在(x,y,z)是连续的 P(r ) P(r)δ (r r )dv = ∫v r 0 r not inside inside v v (1.20) 我们定义下列非齐次方程的解为泊松方程在二维自由空间的格林函数 2G( x, y x0 , y0 ) = δ ( x xo )δ ( y yo ) 用园柱坐标表示上式 (1.21) 1 G 1 2G r + 2 = δ ( r ro ) 2 rr r r θ 利用高斯定理可得： (1.22) G ( x , y x0 , y0 ) = 在直角坐标下 ln ( r ) 2π (1.23) ln(( x x0 )2 + ( y y0 )2 ) G( x, y x0 , y0 ) = 4π (1.24) 我们定义下列非齐次方程的解为泊松方程在三维自由空间的格林函数 2 G ( r , r0 ) = δ ( r ro ) 由1/(4πr)的特性可知它正是上式的解： 6 (1.25) G ( r , r0 ) = 1 /( 4π r r' ) (1.26) 格林函数的对称性.格林函数的对称性可从Delta函数的对称性得出。 格林函数的对称性 即是说格林函数是对于(x, y, z)和( x0 , y0 , z0 ) 是对称的： G ( r , r0 ) = G ( r0 , r ) 这是因为点源函数本身就是对称的： (1.27) δ ( r , r0 ) = δ ( r0 , r ) (1.28) 它说明位于( x0 , y0 , z0 ) 的源在(x,y,z)形成的场与位于(x,y,z)的源在点( x0 , y0 , z0 ) 形成的场是 相同的.让我们来证明这一定理.令G ( r , r1 ) 为r1 处的第一类格林函数令G ( r , r2 ) 为 r2 处的 第一类格林函数.应用格林函数第二恒等式： [G ( r , r1 ) 2 G ( r , r2 ) G ( r , r2 ) 2 G ( r , r1 )]dv = ∫ v ∫ [G (r , r1 ) s G (r , r2 ) G (r , r1 ) G ( r , r2 ) ]ds n n (1.29) 由于G在S上为零，并且 2 G ( r , r1 ) = δ ( r r1 ) 2 G ( r , r2 ) = δ ( r r2 ) 故由体积分可得： (1.30) (1.31) G ( r , r1 ) = G ( r , r2 ) 条件的,即有 G s =0 (1.32) 由于r 1 ,r 2 是任意点，这就证明了格林函数的对称性。上面的证明是基于第一类边界 对第二类边界条件， S面上 G / n 等于零,故面积分仍为零。 在 = 0。 格林互易定理：表明位函数的互易关系是格林互易定理。 设空间有n个点.在第i个点上有电荷qi ;除i点外所有其他点在i点的电位为ψi,若在第i个 点上有电荷q 'i ;除i点外所有其他点在i点的电位为Ψ 'i ,则它们的关系为 7 ∑ n q i Ψ 'i = i=1 ∑ n qi 'Ψi i=1 (1.33) 上式即为格林互易定理的表达式.利用点电荷的电势的叠加原理,可以容易地证明上式。 我们将此证明留给同学自已练习. 当源的分布为连续形式时,上面的离散求和表达式变为积分表达式. ∫ 处有一点电荷Q. M ρ Ψ ' i dM = ∫ M ρ ' Ψ i dM 当ρ,ρ'表示面源或体积源时相应的M,dM 就分别表示相应的积分和积分元. 例题: 设有两块充分大的接地平行导体板 a, b. 间距为d,远小于导体板尺寸.距a板x处 1) 求两板上的感应电荷; 2) 2)求当电荷以速度V向第二板运动时,接地连线上的电流. 设两板上的电荷分别为 Qa , Qb ;由高斯定理有 Qa + Qb = 0 ;两板的电势都为零;电荷处 的电位为 u0 . 第二种情况,设两板电位为 U a ,U b , x处无电荷,假定平板为无限大.则x 处的电位为 U a + x (U a U b ) / d ; 设两板的电荷为qa , qb .有qa = qb 由互易定理∑ UQ 由电流连续定律 ' = ∑ U 'Q 则 Qa = Q( x d ) / d , Qb = Qx / d I = Qv / d a b 图1.1例题一附图 §1.3非齐次微分方程的解 在研究实用中的格林函数之前,让我们先来研究一下普遍适用的非均匀微分方程的解 法.研究一般的微分方程 dΨ d 2Ψ +P + Qψ ( x ) = f ( x ) 2 dx dx (1.34) 8 式中P,Q是x的已知函数或常数.对应的齐次方程为: d 2Ψ dΨ + P + Qψ (x) = 0 2 dx dx (1.35) 我们可以证明式(1.34)所表示的二阶非齐次微分方程的解可以由对应的齐次微分方程 的解及非齐次项f(x)来表示.下面我们给出解的过程. 1.求对应齐次微分方程的两个线性无关的特解. 一般来说用齐次微分方程求解理论不难得到齐次方程的两个解.我们关注的是它们线 性无关的判定.其判定的方法是其郎斯基行列式不为零.设Ψ1 , Ψ2 是齐次方程的两个线 性无关的解,则其行列式W ( Ψ1 , Ψ2 ) 为 W ( Ψ1 , Ψ2 ) = Ψ1 , Ψ2 Ψ '1 , Ψ '2 = Ψ1Ψ '2 Ψ1 ' Ψ2 (1.36) 即如果W( Ψ1 , Ψ2 )≠0,则Ψ1 , Ψ2 是线性无关的.让我们用反证法来证明:假定存在a,b两常 数使得下式成立: a Ψ1 + b Ψ 2 = 0 a Ψ 1 '+ b Ψ 2 ' = 0 (1.37) 即意味着Ψ1 , Ψ2 线性相关.将上式视为一关于 a, b 的齐次二元一次线性方程组,根据线 性方程解的理论,则只有线性方程组的系数行列式为零, a, b才有非零解.上式的系数行 列式即为郎斯基行列式,即有 Ψ1 Ψ2 ' Ψ1 ' Ψ2 = 0 (1.38) 上式在Ψ1 , Ψ2 线性无关时不成立.即不存在a,b使Ψ1 , Ψ2 线性相关.因此我们证明了只要 Ψ1Ψ2 ' Ψ1 ' Ψ2 ≠ 0 则Ψ1 , Ψ2 是线性无关的. (1.39) 2.求W郎斯基式. 首先考虑: d Ψ2 Ψ Ψ 'Ψ 'Ψ W = 1 2 2 1 2 = 2 dx Ψ1 Ψ1 Ψ1 (1.40) Ψ1 是齐次微分方程的解,故满足方程,Ψ1 ' ' + PΨ1 ' + QΨ1 = 0 两边乘Ψ2 9 Ψ2 Ψ1 ' ' + Ψ2 PΨ1 ' + Ψ2 QΨ1 = 0 同理可得： (1.41) Ψ1Ψ2 ' ' + Ψ1 PΨ2 ' + Ψ1QΨ2 = 0 两式相减: 即 Ψ1Ψ2 '' Ψ2 Ψ1 '' + P( Ψ1Ψ2 ' Ψ2 Ψ1 ') = 0 (1.42a) (1.42b) Ψ1Ψ2 '' Ψ2 Ψ1 '' + PW = 0 对前两项加一项Ψ1 ' Ψ2 ' 减一项Ψ1 ' Ψ2 ' ，即 Ψ1Ψ2 '' Ψ2 Ψ1 '' = d ( Ψ1Ψ2 ' Ψ2 Ψ1 ') = W ' d x (1.43) 故原方程变为: 所以有: W ' + PW = 0 W = exp( ∫ x Pdx ) (1.44) 上式的积分中,取积分常数为零并不使W的解失去一般性. 3.求解非齐次方程的解设非齐次方程的特解可以用下式表示 Ψ = U Ψ1 (1.45) 其中Ψ1 为对应齐次方程的解,U为一待定的X函数.则根据非齐次微分方程解的理论,其 通解可以表示为特解与对应齐次方程的解的线性组合的和.将上式代入原非齐次方程 中整理后得到: U (Ψ1 "+ P Ψ1 '+ Q Ψ1 ) + U " Ψ1 + U '( PΨ1 + 2Ψ1 ') = f 上式中第一项为0,因为Ψ1是齐次方程的解. 由ψ的定义可得 (1.45a) Ψ ' = Ψ 1U ' + Ψ 1 ' U (1.46) (1.47) ψ " = U " Ψ 1 + U Ψ "1 + 2U ' Ψ 1 ' 10 (1.45a)式中的第一项，由于 Ψ1 是齐次方程的解，因而为零对(1.45)式两边乘以因子: Ψ1 exp ∫ x pdx 并积分可以得到: 2 ' U " Ψ 1 exp ∫ x Pdx +U ' Ψ 1 exp ∫ x Pdx ( P Ψ 1 + 2 Ψ 1 ) = = d 2 (U ' Ψ 1 exp ∫ x Pdx ) = Ψ 1 f exp ∫ x P dx dx x (1.48) 因为 exp(∫ Pdx) = W ，由W的积分表达式,则上式变为: Ψ 12 Ψ1 d (U ' ) = f dx W W 两边对X求积分，并取积分常数为零,可以得到: U '= W (1.49) ψ 2 1 ∫ x f ψ W 1 dx (1.50a) 由前面的W的式子可以得到: 经过变化后得到 U '= d ψ2 ( dx ψ 1 W ψ ψ 2 1 = ψ d ( ψ dx 2 1 ) ∫ x ψ1 f W dx) 2 f W (1.50b) 再积分一次: U= ψ2 ψ1 ∫ x ψ1 f W dx ∫ x ψ2 f W dx (1.51) 所以得到非齐次方程的特解为: ψ = ψ 1U = ψ 2 ∫ x ψ1 f W dx ψ 1 ∫ x ψ2 f W dx (1.52) 改用积分变数x',注意到W的展开式 11 ψ ( x)ψ 1 ( x ') ψ 1 ( x)ψ 2 ( x ') ] f ( x ')dx ' ψ ( x) = ∫ x [ 2 ψ 1 ( x ')ψ 2 n( x ') ψ 2 ( x ')ψ 1 '( x ') 上式中方括号内的函数可以认为是方程: (1.53) d 2Ψ dΨ + P + Q ψ (x) = 0 2 dx dx 的格林函数.式(1.53)可用来求格林函数。 §1.4 泊松方程的格林函数例子例一: 两相距为2a的无限大平板中有一无限长线电流，设X轴与平板平行,坐标原点离 上板为a( a > 0 );线电流位于( 0, y0 ); ( y0 0 ;对后一积分 x2 > 0 ; x x ' > x0 .为了使积分上限大于下限交换上下限并改变积分符号有 Vn ( x) = exp(nπ x / b)∫ xx 1 + sh(nπ x / b)∫ x2 x sh(nπ x / b) 2 sin(nπ y0 / b)δ ( x x0 )dx nπ / b b exp(nπ x / b) 2 sin(nπ y0 / b)δ ( x x0 )dx b nπ / b 积分后可以得到: 2 nπ sin(nπ y0 / b)sh(nπ x0 / b)exp(nπ x / b) Vn ( x) = 2 sin(nπ y / b)sh(nπ x / b)exp(nπ x / b) 0 0 nπ 这样我们得到原式的格林函数的解: ∞ x ≥ x0 x ≤ x0 G ( x, y x 0 , y 0 ) = ∑ n sin(nπ π n =1 2 1 y / b) sin(nπ y 0 / b) x ≥ x0 x ≤ x0 sh(nπ x 0 / b) exp(nπ x / b) sh(nπ x / b) exp(nπ x 0 / b) 思考题:利用镜象法求解上面的边界条件下的格林函数. 15 求满足在一定的边界条件下泊松方程的格林函数的方法可以总结为: 1. 本征函数展开法; 2. 镜象法; 3. 解偏微分方程法; 可以从数学上证明上述三种方法有时尽管在表达式上有差异,但它们是等效的.在格林 函数的积分表达式中,被积函数的极点决定问题中的本征值.用网络的转移函数作类比, 后者的极点决定电路的自然谐振频率. §1.5并矢格林函数 并矢格林函数,作为一种处理边值问题的技术,第一次引入是由Schwinger1940年在处理 波问题时首次引入的.Morse和 Feshbach在解 Helmholtz方程时也引入了并矢格林函数. 在用本征函数来展开各种并矢格林函数时需要三组矢量波函数.而在处理电磁问题时, 仅用两组矢量波函数就可以满足本征函数展开的需要.这一问题一直是人们争论的焦 点.人们从波函数的完整性及实际应用中的需要发表各自的观点.从目前的报道来看,两 组波方程就可以满足实际问题的并矢格林函数的本征展开.这一节我们首先给出并矢 分析的一般概念,然后研究并矢格林函数的互易性;最后从矢量波方程出发研究各种条 件下的并矢格林函数. 并矢分析 一个并矢可以看成是两个矢量的并: D = AB (1.62) 这里 A称为前矢量; B 称为后矢量.注意到他们的关系是有序的相互并列,而非矢量积.并 矢的展开式.并矢的展开式由9个分量组成: C = a x a x Cx x + a x a y Cx +a y a x Cy x + a y a y Cy y y + a x a z Cx z z + a y a z Cy y (1.63) z + a z a x Cz x + a z a y Cz 下面我们来分析并矢的各种计算关系式. + a z a z Cz 1.与矢量间的点乘. 并矢的点乘为一矢量.并矢的点乘分为前标量积和后标量积. 前标量积为: 16 C D = C AB = B ( AC ) 后标量积为: (1.64) D C = AB C = ( BC) A 2.与矢量的叉乘. (1.65) 并矢的叉乘其结果仍为并矢.与点积一样也分为前后积. 后叉乘, 后叉乘. D × C = A( B × C ) 前叉乘 (1.66) C × D = ( C × A) B 3.并矢之间的运算. a. 并矢之间的点乘 (1.67) C D ≠ D C b.并矢之间的和与差其结果仍为并矢.分别为并矢各分量的和与差 c.单位并矢 I = ax ax + a y a y + az az I D = D (1.68) 单位并矢与其他并矢的点乘具有可交换性,并保持原并矢不变. I D = D I (1.70) 并矢的另一表示可以写成: C = C1 a x + C 2 a y + C 3 a z C1 = C X X a x + C XY a y + C XZ a z C 2 = C YX a x + C YY a y + C YZ a z C 3 = C ZX a x + C ZY a y + C ZZ a z (1.71) （1.72） (1.73) (1.74) 17 这样并矢的散度为 C = ( C 1 )a x + ( C 2 )a 并矢的旋度为 y + ( C 3 )a z (1.75) × C = ( × C1 ) a x + ( × C 2 ) a y + ( × C 3 ) a z (1.76) ~ 转置并矢如 C = A B ；则并矢 D = B A 称为并矢 C 的转置并矢，记为 C . 18
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文档关键词
电子科学与技术 格林函数

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