连续性也就是保守场的均匀性，宋的“雾”什么都看不见了，最小质点是无形和抽象的，运动只和质点的分布，位置有关，位能，质量是质点的区域积分，等，引力场太大，局部感受不到引力场的周期变化，时间均匀绝对；梯度，散度，等高线，都是连续和抽象的，不好把握, yong, big float, two many players, 一个大圆
原子内，束缚态，量子化，波谱出来了，复函数，场量，周期可以在欧空间富丽叶变换出来了，可以算了, cagc, uta, ckgt, small float, small 圆!
PDF] 埃舍尔的艺术，史密斯圆图和双曲几何
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的，我们将要演示当用双曲几何的距离来度量时，它们 ..... 斯圆图中以分贝为单位的VSWR 比例尺，从本质上说是. 测量双曲度量中距离原点的径向距离的比例尺。此外， ...
www.mtt.org/dl/index.php?C13_Gupta.pdf
最后，两点之间的无限小距离可以按通常的欧几里德方
式来定义，因为在无限小的极限中，所有的空间本质上
都为欧几里德空间[20]。最终所得到的距离度量具有距
离所具备的直观特性，换句话说：
非负：对于所有的Z1 和Z2，d(Z1,Z2) ≥ 0
一致性：当且仅当Z1=Z2 时，d(Z1,Z2) = 0
双边对称性： 对于所有Z1 和Z2 ， d(Z1,Z2)=
d(Z2,Z1)
三角不等式： 对于所有Z1 ， Z2 ， Z3 ，
d(Z1,Z3)≤d(Z1,Z2)+ d(Z2,Z3)
d(Z1,Z2)的连续性，这是由它与实数一对一的关系
所保证的
我们可以很容易地发现欧几里德距离度量在位移和
旋转时保持不变；在进行复数共轭运算时同样保持不变
（W=Z*），这种运算可以解释为实数轴的反射。相
反，如上所示，莫比斯变换除了平移和旋转外，还有比
例和倒置，因此，一般来说，这种变换并不能使得两点
间的欧几里德距离保持不变。莫比斯变换中的一个不变
量是交比值，定义如下：
( )( )
( )( )
( )( )
( 1 4)( 2 3)
1 3 2 4
1 4 2 3
1 3 2 4
Z Z Z Z
Z Z Z Z
W W W W
W W W W
− −
− −
=
− −
− −
,（5）
其中W1，W2，W3 和W4 分别是Z1，Z2，Z3，Z4 变换后
的映像。因此，基于交比的距离度量或任意一个单调函
数，对于莫比斯变换来说是不变的。此外，由于距离度
量取决于短程距离，而短程距离又是由空间的几何规则
所决定的，有必要引入一个不同的空间，其中的几何规
则与欧几里德的规则有所不同。因此，需要一个非欧几
里德空间。
66 IEEE microwave magazine October 2006
埃舍尔的艺术，史密斯圆图
和双曲几何
这篇文章的目的是要指出著名的荷兰艺术家埃舍尔
（ M.C.Escher ） （ 1898-1972 ） 名为“ 圆形极限IV ”
（Circle Limit IV）（木版画，1960年创作）的艺术作品
和由美国工程师P.H. Smith（1905-1987）所制作的在微
波工程中最常用的被称为“史密斯圆图”的图形工具这
两者之间在概念上的联系。埃舍尔的艺术作品和史密斯
圆图的基础均可追溯到复数范畴内的莫比斯（Möbius）
变换下的四个复数交比的不变性。当使用双曲空间内的
庞加莱（Poincare）的开放圆模型的交比不变所产生的
双曲距离来测量时，就可以发现埃舍尔作品中视觉上不
同的几何图形具有方瓦一样固定的尺寸和周期。史密斯
圆图可以用来帮助构建其它具有周期性瓦片镶嵌图形的
具有埃舍尔风格的绘画，并且同时在单位圆中传递无限
递增的感觉。
媒体眼中的一位工程师的公众形象是，工程师们无
论从个人还是职业角度来说，是非常欣赏，
参与，影响，启发和激励艺术发展的。
这正是我们所希望的，因为工程与
艺术一样，需要创造性，受过
良好的训练，关注细节，有敏感的知觉。在技术和艺术
之间充满活力的界面是由许多美好的，有创造性的艺术
作品体现出来的，包括音乐，戏剧，摄影，雕塑，油画
[1]-[3]。本文指出另一种几乎无人知晓的存在于艺术和
工程工具之间的关系，具体说就是将埃舍尔的一些木版
画与在微波界被广泛使用的史密斯圆图相联系起来的对
应关系。读者可以用它来增加对艺术的鉴赏能力，激发
非专业人员对微波技术的兴趣，或者自己创作具有埃舍
尔风格的艺术作品。
埃舍尔及其艺术
令技术专家感兴趣的艺术家
有许多艺术家，如莱昂纳多·达芬奇(Lenardo De Vanci)
他们的作品中具有特殊的感染力，
并且能引起具有技导向的观
众更深层次的欣赏。 20
世纪这类艺术家中最
出名的便是埃舍尔，
Madhu S.Gupta
_______________________________________________________________
Madhu S.Gupta is with San Diego State University, San Diego, CA 92182 USA,
+1 619 594 7015, mgupta@mail.sdsu.edu.
This article is an enlarged transcript of the invited talk given by
The author at MIKON-2006, Krakow, Poland, in May 2006
More information about MIKON-2006 can be found in “Transnational News” on p.94.
66 IEEE microwave magazine October 2006
December 2006 IEEE Microwave magazine 67
他的作品强烈地吸引了科学家和工程师们近半个世纪的
关注。这些作品被转载用于科学杂志，期刊，以及图集
中，并且被用作教科书的封面，广告画，挂历，以及受
欢迎的大众媒体中。原因之一在于埃舍尔使用了诸如普
通多面体，周期性设计，镜像图形，以及莫比斯带这样
一些工程技术专家所熟悉的物体，他画中的这些物体传
递了一种协调和序列的感受。他的作品能够流行的第二
个原因是他在作品中所采用的诸如反射，伸长，变形，
投影和其它类似的变换对空间进行不同寻常的处理，这
种处理方式会使具有技术倾向的观众产生强烈的共鸣。
由于埃舍尔本人并不是职业数学家，甚至没有受过什么
数学训练，所以这一点就显得更加难能可贵了。他对空
间不同寻常的直观处理尽管来自于审美学基础，但还是
展示出了复杂的数学工具，例如结构映射和双曲图形，
因此可以设想这些抽象意义上的数学操作并不完全是任
意的，而是与人类的感知相关的。
埃舍尔的生平
埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）于1898年6月17日出生
在荷兰的Leeuwarden，与他的四个兄弟一起在Arnhem长
大。他的父亲是一名土木工程师，他的3个兄弟都是从
事科学和工程领域工作的，他并不偏爱数学，而是从事
自己所感兴趣的绘画艺术。他曾在Haarlem的建筑和装
饰学校学习，在那儿他师从Samuel De Mesquita，学会了
木版画，于1922年移居至意大利，将家安在了罗马，在
那儿一直生活到1934年。在这段时间里，他在意大利南
部创作了大量的有关田园风光和建筑物的作品。1935
年，他离开意大利前往瑞士，在那儿又生活了两年，随
后又在比利时居住了三年，最终于1941年定居在荷兰的
Baarn，在那儿生活了近30年，直到1972年去世。图1是
埃舍尔1935年创作的自画像。
埃舍尔的艺术创作
埃舍尔在近四十年的绘画生涯中创作了大约450件作
品，包括木版画，木雕，石印和绘画[4]。虽然埃舍尔一
生创作了各种类型的作品，但他的创作是有几个永恒的
主题的，以下6个是其中最主要的。图2是这几个主题的
代表性作品。
风景画
在意大利生活的最初几年中，埃舍尔创作了一些真实和
想像相混合的风景画，由于它智慧地选择了视点或巧妙
地使用了光，阴影和色彩，使其作品具有一种惊人的视
觉效果。
不同寻常的视点
埃舍尔创作了许多反映微小细节的作品，从宇宙物体或
日常生活场景到巨大的建筑物，但他的视点是与众不同
的，具有令人着迷的效果。
对称性和周期性
镶嵌式图形是采用周期性的马赛克模式进行装饰的一种
排列。埃舍尔的大量创作是从摩尔人的艺术作品中汲取
的灵感，摩尔人在711 年至1492 年间占领了西班牙，他
们用同样的多颜色瓷砖把整个墙面完全覆盖起来。然
而，由于宗教的原因，摩尔人不能绘制动物，埃舍尔便
将绘制动物作为自己作品的标志。他的作品中展示了多
种类型的对称，这使得晶体学家和群论学家们非常振奋
[5]，[6]。
渐变性
在埃舍尔的许多创作以及一些最为人称道的作品中与众
不同的特点是在其渐进性马赛克周期性绘画中从一个图
形或布局渐渐地转化为另一个图形。再加上不同的视
点，便会产生一种吸引人的效果。
二维到三维的幻觉
用二维（2-D）画面来表达三维（3-D）物体会在人类的
视觉中产生一些模糊之处，进而会产生光学上的幻觉。
埃舍尔是一个善用这类艺术让人类视觉产生令人愉悦的
错觉的专家。
图1 在球形镜面中的埃舍尔的自画像（1898-1971），
创作于1935 年，题为“手持反光球”
68 IEEE microwave magazine October 2006
图2 埃舍尔的代表作，反映了其作品的重要主题。（a）非同寻常的景色。Goriano Sicolik Abruzzi
（1929 年）（b）非比寻常的透视。在St.Peter 教堂里（1935 年）（c）镶嵌图形。平面常规分割III
（1957 年）（d）渐变，天空和水I（1938 年）（e）2-维-3-维幻觉。瀑布（1961 年）（f）无限的
表达。鱼的场景（1956 年）
December 2006 IEEE Microwave magazine 69
无限空间的表达方式
埃舍尔的大量作品是在有限区域内用图形传递无限图像
的感觉，这是通过镶嵌布局在空间的无限延续来实现
的。这种类型的作品将在这里进行深入分析。
用镶嵌布局来表达无限空间
无限性的概念长期以来一直有着某种神秘的预兆，引起
了数学家和非专业人士的兴趣[7]，[8]。埃舍尔的许多马
赛克类型的作品由于其周期性和无限的延伸性而呈现出
无限性的感觉[8]，但实际上它们必须在艺术品的边界上
突然截止。很明显，需要更多的元素来传递一个真正的
无限性的境界，埃舍尔被在有限空间内呈现无限性的这
种表达方式所吸引。在他艺术生涯的后期，从50 年代
开始，埃舍尔进行了许多在圆形或方形边界内表达无限
性的尝试，见图3。
埃舍尔试图通过向中心或边缘处逐渐减小瓦片的尺
寸来在有限的区域内捕捉无限延续的感觉。在他早期的
尝试中（图3（a）），通过向画面的中心逐渐减小瓦片
的尺寸来表达无限的感觉。在随后的作品中，又向相反
的方向进行[图3（b）和（c）），即尺寸的减小是在向
画面的周边方向进行的，从而实现无限性的表达。埃舍
尔自己发现这些早期的作品不大令人满意，便继续寻求
改进的方式。他的后期作品包括两个木版画，题目是圆
形极限III（Circle Limit III） [图3（d）]和圆形极限IV
（Circle Limit IV）[图3（e）]，是这类作品中最有名
的。文献[9]，[10]介绍了具有任意轮廓的固定图形的构
建过程，例如分析了圆形极限III 的几何结构，[11]，
[12]。在这篇文章中，我们要详细分析圆形极限IV 的结
构。
圆形极限IV 的结构
镶嵌布局的构建变换
圆形极限IV，又被称为天堂和地域，被认为是埃舍尔具
有大师风范的作品之一，完成于1960 年7 月（图4）。
原作是木版画，是黑色和褐色的，直径为416mm，天使
和魔鬼充满了整个镶嵌布局平面。这些图形的尺寸从中
心到边界逐渐减小，可分辨出超过24 个不同尺寸的图
形，直到它们融合进入木版画所能达到的视觉极限。虽
然在欧几里德几何的定义中，这些图形的尺寸是不同
的，我们将要演示当用双曲几何的距离来度量时，它们
的尺寸是相同的；从这一点来看，该作品仅仅是个在双
曲空间内具有恒定尺寸和周期的周期性马赛克。
定义马赛克的第一个要求和基本的特性是基本元素
在周期性的空间位移之后的重复的图像。埃舍尔的特殊
性在于连续重复时对单元进行渐进性变换。要使得变换
后的图形仍可以被辨认出是前一个图像的转换，图像的
基本特性要保持不变。在重复单元内进行的变换应当有
一些不变量，这些不变量应当有一个视觉上吸引人的几
何形状。这便是埃舍尔创作的众多显示渐变特性的镶嵌
布局的基本特性。
第二个所施加的要求是需要将无限隔栅安到一个有
限的油画布上，这便意味着马赛克中的基本单元的尺寸
和空间位移距离不能是常量。有必要在单元的每一个渐
进重复中对尺寸和位移进行第二次变换。这个变换的结
果是瓦片的尺寸应当趋近于零，因此，便产生了所需要
的无限性的感觉。
木版画圆形极限IV（图4）和其它这类作品都具有
以上两个特性 - 在瓦片的每一次重复中，重复的图形产
生连续的变换，周期会逐渐缩小。因此，这类作品必须
同时有两种变换。对于圆形极限IV 来说，重复单元仅
有的变换，如天使图案，是一种旋转。每个图形单元的
尺寸和位移的转换更多，这将是我们下面需要进行仔细
研究的主题。
埃舍尔滴极限IV 和史密斯圆图
史密斯圆图有可能提供埃舍尔图形艺术线索的原因在于
史密斯圆图能够提供径向比例度。在读取具有不同单位
的反射系数，回波损耗，驻波比时，有一个比例尺是将
电压驻波比（VSWR）用dB 来表示，从史密斯圆图的
中心为零一直延伸到圆周上为∞。这个范围正好对应了
埃舍尔试图用图形方式表达无限性的需求。
为了对这个想法进行初步的测试，我们对圆形极限
IV 进行了以下简单的测量。图上大多数天使从视觉上来
说是不对称的，而那些具有双边对称的天使的对称轴都
是通过圆心的。双边对称天使的高度（定义为从头部到
脚的径向距离）可以通过测量两端对原点的径向距离，
从而计算出两个径向作标之差的幅值而得到。如果我们
改变圆形极限IV 的比例使之正好能放入史密斯圆图
中，并且借助于用dB 表示VSWR 的比例尺来测量点的
径向距离，则可得到表1 的结果。我们发现所有的具有
双向对称性的天使的高度都是8dB。这个结果促使我们
猜想圆形极限IV 中的图形是全等的，并且希望类似于
密斯圆图这样的工程工具可以帮助我们理解美学艺术作
品。要证明那些没有双向对称性的天使同样是全等的，
则需要进行更详细的分析。
VSWR 只能让我们测量单位圆中通过圆心的径向距
离。要测量单位圆内任意两点Γ1 和Γ2 之间的距离，我
们必须要观察史密斯圆图中的VSWR 的几何中心。正如
随后将要指出的，这种测量距离的一般性方法在微波工
程中已经用得很多了。
史密斯圆图和莫比斯变换
用史密斯圆图作为图形工具
工程师们无论从个人还是职业角度上
说，是非常欣赏，参与，影响，
启发和激励艺术发展的。
70 IEEE microwave magazine October 2006
图3 埃舍尔试图用不同的方式表达无限。（a）越来越小（1956 年）（b）圆形极限I（1958 年）
（c）圆形极限II（1958 年）（d）圆形极限III （1959 年）（ e）圆形极限IV（1960 年）（f）方形
极限（1964 年）
December 2006 IEEE Microwave magazine 71
史密斯圆图（图5）已成为微波工程的一个肖像。例
如，它经常用于设计标识，并且是微波课程中在过了几
十年后最容易被记住的部分，而课堂上所学的其它东西
都被遗忘了。史密斯圆图最初是用来避免进行复数的繁
琐运算的[13]，[14]。虽然从1960 年出现了电子计算机
后，不再需要这样做了，但史密斯圆图仍然在对信息进
行直观的表达和理解上起着很大的作用。在过去的许多
图4 埃舍尔的木版画，题为“天堂和地域”，也被称为
“圆形极限IV”（1960 年7 月），随着史密斯圆图的
VSWR 标尺被放入单位圆中
年中，已经提出了许多对图形进行扩展和应用的建议
[15]， 对于那些要开发直观感觉的职业工作者来说，那
些有助于思考（而不仅仅是计算）的应用还在继续起着
作用。史密斯圆图在微波工程师的概念中是根深蒂固
的，所以在现代计算机辅助软件和计算机微波测量仪器
的控制中，虽然它们具有强大的和进行极其复杂运算的
能力，但仍要将结果显示在史密斯圆图上。
构建史密斯圆图是为了完成两个基本任务：
1） 用参考阻抗和对应的归一化阻抗Z/Z0 所定义的反射
系数：
1 0
0
Z Z
Z Z
+
−
Γ = 和
− Γ
+ Γ
=
1
0 0 Z Z Z （1）
2） 通过将定义的参考平面沿着特性阻抗为Z0，传输常
数γ=jβ 的均匀传输线进行移动，当移动距离为l12 时，
对Γ 和Z 进行变换：
1 12 0
1 0 12
2 0 tanh
tanh
Z l Z
Z Z Z Z l
+
+
=
γ
γ
和 2 12
2 1
Γ = Γ e− γl .（2）
在史密斯圆图上完成第1 个任务的过程是：1）在平面
上画出极坐标来标出Γ，被限制在单位圆内（即，无源
单端口的Γ 值）；2）在另一个变形的平面中，画出迪
卡尔坐标线来表示Z/Z0，限制在图的右半边（同样是对
应于无源单端口）；3）改变笛卡尔坐标系的形状，使
得当两个坐标系叠加时，一个坐标系中的点与另一坐标
系中的映射点完全吻合。第2 个任务通过将Γ 旋转一个
角度2Im[γ]l12 即可完成，只需要在极坐标系中以1/λ 为
单位来重新标识角度的值。因为在这两个任务中，每个
任务只不过是莫比斯的双曲复数变换的例子而已，我们
或许可以说史密斯圆图是进行莫比斯变换的图形工具。
莫比斯双线性变换
莫比斯变换在实际的微波工作中是无处不在的。我们所
要求或所需要的用来定义Z 或Γ 的参考平面通常与能方
便，准确地测量或计算所使用的平面是不同的；这其中
的原因包括无法进入要求的平面来进行测量，在平面内
没有可供使用的参考标准套件，由于结构的复杂性而造
成的多模场或与平面的耦合。因此，经常需要对两个参
考平面的阻抗或反射系数进行变换，或进行参量提取。
这两个参考平面之间的电磁场结构的干扰通常可通过线
性二端口网络来表征，在频域中用的是阻抗矩阵[Z]或散
射矩阵[S]。任意线性二端口网络的响应函数（如反射系
数或阻抗）的转换可表达为：
复平面的莫比斯变换在艺术和微波工
程中具有一些有用的特性
史密斯圆图最初是用来作为图形工具
以避免复数的繁琐运算的
72 IEEE microwave magazine October 2006
( )
1 22
11 22 12 21 11
Γ +
− Γ +
Γ =
L
L
in S
S S S S S
或
( )
22
11 11 22 12 21
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
L
L
in +
− −
= ， （3）
每一个变换都是莫比斯复数变换的例子。
复数Z 的莫比斯双线性（分数化线性）变换定义如
下：
CZ D
M Z W AZ B
+
+
( ) ≡ ≡ ， （4）
其中A，B，C，D 是复数形式的常数（与Z 无关的）。
可以通过在基本定义中增加一些另外的要求来以更加紧
凑的形式说明这种变换的特性：
1） M(∞) ≡ A/C ，和M(-D/C) ≡ ∞，这使得我们可以
通过将Z=∞包括进来将复平面进行扩展来说明变换
的域和范围，使得莫比斯变换异质同晶。
2） AD – BC ≠ 0，这使得我们可以通过将每个常数
A，B，C 和D 来除以AD – BC 进行归一化而不改
变变换的性质。
复平面的莫比斯变换有几个有用的特性[16]， 在艺
图5 带有径向标尺的史密斯圆图（ 经由Analog
Instrument Co.同意）
术和微波工程中都非常有用[17]，[18]。这些特性可以用
几种不同的语言来描述，例如，代数方法，矩阵形式，
几何学，拓扑学等等。鉴于需要将这些与埃舍尔的绘画
作品相联系，采用几何学的方法是最有用的。
莫比斯变换的几何特性
莫比斯变换是将一个复数Z 映射变换为另一个复数W，
这两个复数都需要一个二维平面的点来表达其几何位
置。Z-平面上的一条曲线Cz 便是一组点，其中的每一
个点通过莫比斯变换成为W-平面的一个点，在W-平面
的这一组经过变换的点便组成了另一条曲线Cw；这个
过程可以称为是曲线的变换。这种变换保留了曲线的特
定的性质，我们所感兴趣的正是Cz 和Cw 所共有的不变
量。
为了将复平面的这种变换形象化，考虑莫比斯变换
式（4）中所对应的一些特殊情况可能会有所帮助。
平移：W = Z + B （其中A = D = 1；C = 0）
按比例变化：W = |A| Z（其中B = C = 0；D = 1；
A 为正实数）
旋转：W = Z exp(j∟A)（其中B = C = 0；D = 1；
|A| = 1）
倒数：W = 1/Z（其中，A = 0；B = C = 1；D =
0）
前三种情况下的曲线的几何效应可以用一种很直接
的方式来进行形象化表示；最后一种情况的操作可以被
看作是单位圆的反射。这几种特殊情况的用途在于它们
是莫比斯变换的构建模块，莫比斯变换可以看成是这些
基本变换的组合；因此，（4）式中的W 可以通过以下
这些变换的顺序来实现：
Z -> CZ -> CZ + D -> 1/(CZ + D)
-> [(BC –AD)/C]/(CZ + D)
-> [(BC – AD)/C]/(CZ + D) + (A/C)
= (AZ + B)/(CZ + D) = W.
复平面中曲线的莫比斯变换有以下几个很有用的特性，
其中的3 个是与我们这里所讲述的例子相关的。
变换将Z-平面的圆（以及作为圆的特例的直线）
映射为W-平面的圆。（因此，史密斯圆图中的直
线代表的是Re[Z]和Im[Z]为常数的曲线通过(1)进
行的莫比斯变换）。
变换是保角变换，意味着Z-平面上两条曲线Cz1
和Cz2 的角度（定义为它们相交之处的角的正切）
在变换到W-平面后的角度保持不变，幅值和符号
均不变。
通过选择合适的距离度量，Z-平面中两点Z1 和
Z2 之间的最短线段的距离与它们在映像W1 和W2
之间距离是相同的，欧几里德距离度量不属于这种
类型。
史密斯圆图是进行莫比斯变换
的图形工具
December 2006 IEEE Microwave magazine 73
这些特性的证明，例子和应用可以在文献[16]和[19]的援
引中以及其它地方找到。
很明显，前两个特性有助于在进行变换后仍然保持
可以识别的形状，而第三个特性提供了一个欧几里德平
面的比例，在欧几里德几何中，距离不是不变量。这些
便是在“由变换而组成的镶嵌结构”中所提到的两种基
本要求来生成代表无限性的镶嵌图案的构建方法。我们
要集中在第三个特性和不变量所需要的距离度量来理解
埃舍尔作品中的距离和尺寸的比例。
双曲距离度量
距离度量的定义
两点Z1 和Z2 之间的距离d(Z1, Z1)定义为连接两点之间
的最短路程或曲线的长度。两点之间具有最短长度的曲
线被称为短程曲线，它是欧几里德几何中的直线概念的
推广。曲线的距离也可被定义为累计曲线上连续的单元
长度的积分，每个点与前一个点之间的距离是无限小。
最后，两点之间的无限小距离可以按通常的欧几里德方
式来定义，因为在无限小的极限中，所有的空间本质上
都为欧几里德空间[20]。最终所得到的距离度量具有距
离所具备的直观特性，换句话说：
非负：对于所有的Z1 和Z2，d(Z1,Z2) ≥ 0
一致性：当且仅当Z1=Z2 时，d(Z1,Z2) = 0
双边对称性： 对于所有Z1 和Z2 ， d(Z1,Z2)=
d(Z2,Z1)
三角不等式： 对于所有Z1 ， Z2 ， Z3 ，
d(Z1,Z3)≤d(Z1,Z2)+ d(Z2,Z3)
d(Z1,Z2)的连续性，这是由它与实数一对一的关系
所保证的
我们可以很容易地发现欧几里德距离度量在位移和
旋转时保持不变；在进行复数共轭运算时同样保持不变
（W=Z*），这种运算可以解释为实数轴的反射。相
反，如上所示，莫比斯变换除了平移和旋转外，还有比
例和倒置，因此，一般来说，这种变换并不能使得两点
间的欧几里德距离保持不变。莫比斯变换中的一个不变
量是交比值，定义如下：
( )( )
( )( )
( )( )
( 1 4)( 2 3)
1 3 2 4
1 4 2 3
1 3 2 4
Z Z Z Z
Z Z Z Z
W W W W
W W W W
− −
− −
=
− −
− −
,（5）
其中W1，W2，W3 和W4 分别是Z1，Z2，Z3，Z4 变换后
的映像。因此，基于交比的距离度量或任意一个单调函
数，对于莫比斯变换来说是不变的。此外，由于距离度
量取决于短程距离，而短程距离又是由空间的几何规则
所决定的，有必要引入一个不同的空间，其中的几何规
则与欧几里德的规则有所不同。因此，需要一个非欧几
里德空间。
非欧几里德几何
小学所学的几何学称为欧几里德几何，这是为了纪念亚
历山大·欧几里德（大约公元前300 年），由他执笔的
“几何元素”是一篇有关几何的论文，这是人类历史上
所有科学，数学和技术中阅读最为广泛的书。对于欧几
里德我们确实知之甚少，因为，最早流传下来的这本书
是由Plonus 用拉丁文写成的，此时欧几里德已逝去1200
年了（确实，在“元素”所包含的15 本书或15 章中，
最后两章似乎是后加上去的，而不是欧几里德所写）。
欧几里德将他那个时期的几何知识通过公理合并起来，
其中所有结论是由最小假设前提集合而推断出来的。这
种最小的假设集合由5 个欧几里德公理组成，这些公理
基本上是以直线，连续性，距离度量，角度相等和平行
线的存在为前提的。第5 个假设，关于平行线的假设，
可以通过许多不同的等效形式来表达（即，相互之间可
以推导出来），其中一个说明存在唯一的一条直线通过
已知点并且与给定的直线L 相平行。
在欧几里德之后，大约经过2000 年，数学家经过了
长时间的努力，从阿基米德（Archimedes）到勒让德
(Legendre)，又将欧几里德假设集合进一步减少，对欧
几里德的第5 个假设进行了最细致的分析，试图从其它
4 个中推导出第5 个假设。直到19 世纪，才得以明确
1）第5 个假设不是其它4 个假设的结果，2）同样，几
何内部的连续性也不是必需的，和3）用另外的假设来
替代第5 个假设，可以导致几何上完美的自适应几何。
这种几何学被称为非欧几里德几何学，根据所选择的第
5 个假设的不同而存在着两种类型。如果通过P 点，且
与L 平行的直线数为零，则这种几何学称为椭圆（或黎
曼（Riemannian）），这种几何学中的三角形的三个内
角之和大于1800。如果通过P 点的直线数为两个或更
多，则为双曲几何，其中的三角形的三个内角之和小于
1800。
也许最简单的展示和理解非欧几里德几何学以及其
中的公理的存在性和连续性的方法可能莫过于借助已经
很熟悉的欧几里德几何学来构建一个非欧几里德几何的
模型。接下来，我们仅介绍许多可能的模型中的一个，
非欧几里德双曲几何，这在我们今后的讨论中会使用到
的。
庞加莱(Poincare)双曲空间的开放式模型
为了构建新的几何学，我们需要能够体现点，线，面的
实体，从而在其上施加一套自适应的假设；对于欧几里
德公理来说所包括的最小集合的假设是存在着直线，连
续性，距离度量和角度全等，以及平行线等。最后一个
假设，即关于平行的假设，对于自适应性来说不是必需
的，所以可以违背而得到新的几何学。这些实体可以从
欧几里德的世界中选取，有多种选择。选择之一是单位
圆内的一点，从而生成了被称为庞加莱双曲空间的开放
式模型。
在欧几里德平面上，，每个点都对应着一个复数Γ,
考虑一个圆心在原点的单位圆。我们将单位圆的内部指
两点之间的双曲距离在莫比斯变换
中是不变的
74 IEEE microwave magazine October 2006
定为双曲平面，所有开放式单位圆内的|Γ|<1 的点的集合
成为双曲点（h-点）。下一步，考虑与单位圆相对称的
欧几里德圆（具有一个圆心C 和半径R），它与单位圆
垂直相交于点P 和Q（对称性- 如果在P 点处的圆彼此
是正交的，则它们在Q 点处也是正交的）。我们指定在
任意这种互相正交的圆内的h-点之间的线段为双曲线
（h-线），见图6；对于每一个选择的C 的位置和R 的
幅值，都会产生不同的h-线。给定两个点Γ1 和Γ2，便
有一个唯一的欧几里德圆通过这两个点，并且同时与单
位圆相垂直；所以对于给出的两个点Γ1 和Γ2，存在一
条唯一的直线。在保持与欧几里德对两条线之间夹角的
定义相同的条件下，欧几里德关于角度全等德假设也是
可以保证的。这些定义满足了欧几里德假设中的前4
条；包括线的存在性，连续性和无限可延伸性（对P 和
Q 点，他们不是线的一部分，因为它们不是h-点）。
最后，我们来考虑关于平行线的第5 个假设。两条
h-线当它们不相交，即没有共同的h-点时，它们是相互
平行的。因为，对于给定的h-点Γ3，有不止一条h 线通
过此点，每条线与给定的通过Γ1 和Γ2 的h-线都不相
交，很明显，在这个模型中，通过给定点并且与给定的
h-线相平行的平行线的数目大于1，这便是双曲几何的
独特之处。
要测试线段的全等性，首先需要一个距离度量。在
双曲空间中，满足前一节所列出条件的距离度量会引出
一个自然的距离度量，定义如下。
双曲距离度量
两个h-点Γ1 和Γ2（即，将他们相联接的h-线之间的长
度）之间的双曲距离dH(Γ1和Γ2)与两个欧几里德点Γ1 和
Γ2 之间的欧几里德距离是不同的。确实，dH 可以用Γ1和
Γ2 与前面所说的正交圆的交点P 和Q 的欧几里德距离来
定义（注意：P 是当h-线Γ1Γ2 向Γ1 靠近时的极限点，而
Q 是当向Γ2 相靠近时的极限点 ）。 这样按照前面所列
出的程序可以获得双曲距离，定义如下：
( )
( )
( )
( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
Γ
Γ
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
Γ
Γ
Γ Γ =
d P
d P
d Q
d d Q
E
E
E
E
H e ,
,
,
( , ) log ,
2
1
2
1
1 2 ，（6）
其中dE 是我们所熟悉的两个复数的欧几里德距离，定义
为dE (Γ1，Q)=| Γ1- Q|。这些欧几里德距离可以通过开放
式模型来进行计算，经过替代，两点Γ1 和Γ2 之间的双
曲距离可以仅仅通过两个点来表示如下：
*
1 2
1 1 2
1 2 1
( , ) 2tanh
− Γ Γ
Γ − Γ
Γ Γ = −
H d . （7）
这种关于两点之间的双曲距离的定义满足了前面所
讨论的所有关于距离度量的特性；另外，在莫比斯变换
中，距离是不变的，因为式（6）中的距离是式 (5) 所描
述的交比的单调函数。
在史密斯圆图中，同样的交比不变性和距离度量可
以通过多种方式来表达，例如在径向的VSWR 比例尺以
及在特定的集合构建中使用，并且用来定义两个不同的
阻抗之间的差异。在特殊情况下，当其中一个点在原
点，另一点与原点之间的距离可以表示为：
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
− Γ
+ Γ
Γ = − Γ =
1
1
0, 2tanh 1 log
H e d . （8）
在比例系数内，这与在终端接有反射系数为Γ 的阻
抗的均匀无损传输线的VSWR 的定义相同。因此，史密
斯圆图中以分贝为单位的VSWR 比例尺，从本质上说是
测量双曲度量中距离原点的径向距离的比例尺。此外，
（7）可以看作是VSWR 定义的一般形式，定量地给出
了两个反射系数之间的距离。在许多情况下，微波工程
中会使用这种距离度量，例如，测量开关二极管的两个
阻抗之间的距离[21]或在无损嵌入系统中，定义有源器
件的单向功率增益时会用到[18]。
用双曲距离度量来分析圆形极限IV
我们现在回到圆形极限IV，现在可以测量画中所有图形
的距离，包括那些不具备双边对称性的图形。当每个独
立的图形旋转时，距离原点较远的部分收缩得更大，这
是由于指向圆周的双曲空间更加拥挤的原因，这便是引
起图形不对称的原因。
为了便于演示， 我们将选择一个特征， 如天使翅膀
图6 单位圆中的一段双曲线段
通过给定点并且与给定的h-线相平
行的平行线的数目大于1，这便是
双曲几何的独特之处。
December 2006 IEEE Microwave magazine 75
间的距离来进行比较。 表2 给出了一些图形中天使的翅
膀间距离的极坐标，两个翅膀互相为参考点。翅膀张开
的距离是通过双曲度量（7）来计算的，同样也列在表
中。从结果中可以看出，在木版画所能达到的精度范围
内，尺寸是相同的，我们可以得出结论说这些图形确实
是全等的。当用双曲距离来度量时，圆形极限IV 仅仅
是一个常规地镶嵌图形，只不过将每个独立的图形进行
了旋转。
致谢
我在此表达对已逝去的剑桥的麻省理工学院 (MIT) 的教
授Robert L.Kyhl（1918-2003）深深的谢意。他在MIT
举办的“独立活动周”中所发表的一个简短的讲座将我
引入了这个课题。同样感谢具有版权的M.C.Escher 公司
（Baarn，荷兰）允许我转载本文所引用的埃舍尔的作
品。埃舍尔的Hand with Reflecting Globe, Gorianno Sicoli,
Abruzzi, Inside St. Peter’s, Regular Division of Plane III,
Sky and Water I, Waterfall, Fish Vignette, Smaller and
Smaller, Circle Limit I, Circle Limit II, Circle Limit III,
Circle Limit IV, Square Limit © 2006 The M.C.Escher
Company-Holland. 保留所有权利。www.mcescher.com.
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modulation,” Proc. IEEE, vol. 58, no. 1, pp. 180–181, Jan. 1970.
原子内，束缚态，量子化，波谱出来了，复函数，场量，周期可以在欧空间富丽叶变换出来了，可以算了, cagc, uta, ckgt, small float, small 圆!
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的，我们将要演示当用双曲几何的距离来度量时，它们 ..... 斯圆图中以分贝为单位的VSWR 比例尺，从本质上说是. 测量双曲度量中距离原点的径向距离的比例尺。此外， ...
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最后，两点之间的无限小距离可以按通常的欧几里德方
式来定义，因为在无限小的极限中，所有的空间本质上
都为欧几里德空间[20]。最终所得到的距离度量具有距
离所具备的直观特性，换句话说：
非负：对于所有的Z1 和Z2，d(Z1,Z2) ≥ 0
一致性：当且仅当Z1=Z2 时，d(Z1,Z2) = 0
双边对称性： 对于所有Z1 和Z2 ， d(Z1,Z2)=
d(Z2,Z1)
三角不等式： 对于所有Z1 ， Z2 ， Z3 ，
d(Z1,Z3)≤d(Z1,Z2)+ d(Z2,Z3)
d(Z1,Z2)的连续性，这是由它与实数一对一的关系
所保证的
我们可以很容易地发现欧几里德距离度量在位移和
旋转时保持不变；在进行复数共轭运算时同样保持不变
（W=Z*），这种运算可以解释为实数轴的反射。相
反，如上所示，莫比斯变换除了平移和旋转外，还有比
例和倒置，因此，一般来说，这种变换并不能使得两点
间的欧几里德距离保持不变。莫比斯变换中的一个不变
量是交比值，定义如下：
( )( )
( )( )
( )( )
( 1 4)( 2 3)
1 3 2 4
1 4 2 3
1 3 2 4
Z Z Z Z
Z Z Z Z
W W W W
W W W W
− −
− −
=
− −
− −
,（5）
其中W1，W2，W3 和W4 分别是Z1，Z2，Z3，Z4 变换后
的映像。因此，基于交比的距离度量或任意一个单调函
数，对于莫比斯变换来说是不变的。此外，由于距离度
量取决于短程距离，而短程距离又是由空间的几何规则
所决定的，有必要引入一个不同的空间，其中的几何规
则与欧几里德的规则有所不同。因此，需要一个非欧几
里德空间。
66 IEEE microwave magazine October 2006
埃舍尔的艺术，史密斯圆图
和双曲几何
这篇文章的目的是要指出著名的荷兰艺术家埃舍尔
（ M.C.Escher ） （ 1898-1972 ） 名为“ 圆形极限IV ”
（Circle Limit IV）（木版画，1960年创作）的艺术作品
和由美国工程师P.H. Smith（1905-1987）所制作的在微
波工程中最常用的被称为“史密斯圆图”的图形工具这
两者之间在概念上的联系。埃舍尔的艺术作品和史密斯
圆图的基础均可追溯到复数范畴内的莫比斯（Möbius）
变换下的四个复数交比的不变性。当使用双曲空间内的
庞加莱（Poincare）的开放圆模型的交比不变所产生的
双曲距离来测量时，就可以发现埃舍尔作品中视觉上不
同的几何图形具有方瓦一样固定的尺寸和周期。史密斯
圆图可以用来帮助构建其它具有周期性瓦片镶嵌图形的
具有埃舍尔风格的绘画，并且同时在单位圆中传递无限
递增的感觉。
媒体眼中的一位工程师的公众形象是，工程师们无
论从个人还是职业角度来说，是非常欣赏，
参与，影响，启发和激励艺术发展的。
这正是我们所希望的，因为工程与
艺术一样，需要创造性，受过
良好的训练，关注细节，有敏感的知觉。在技术和艺术
之间充满活力的界面是由许多美好的，有创造性的艺术
作品体现出来的，包括音乐，戏剧，摄影，雕塑，油画
[1]-[3]。本文指出另一种几乎无人知晓的存在于艺术和
工程工具之间的关系，具体说就是将埃舍尔的一些木版
画与在微波界被广泛使用的史密斯圆图相联系起来的对
应关系。读者可以用它来增加对艺术的鉴赏能力，激发
非专业人员对微波技术的兴趣，或者自己创作具有埃舍
尔风格的艺术作品。
埃舍尔及其艺术
令技术专家感兴趣的艺术家
有许多艺术家，如莱昂纳多·达芬奇(Lenardo De Vanci)
他们的作品中具有特殊的感染力，
并且能引起具有技导向的观
众更深层次的欣赏。 20
世纪这类艺术家中最
出名的便是埃舍尔，
Madhu S.Gupta
_______________________________________________________________
Madhu S.Gupta is with San Diego State University, San Diego, CA 92182 USA,
+1 619 594 7015, mgupta@mail.sdsu.edu.
This article is an enlarged transcript of the invited talk given by
The author at MIKON-2006, Krakow, Poland, in May 2006
More information about MIKON-2006 can be found in “Transnational News” on p.94.
66 IEEE microwave magazine October 2006
December 2006 IEEE Microwave magazine 67
他的作品强烈地吸引了科学家和工程师们近半个世纪的
关注。这些作品被转载用于科学杂志，期刊，以及图集
中，并且被用作教科书的封面，广告画，挂历，以及受
欢迎的大众媒体中。原因之一在于埃舍尔使用了诸如普
通多面体，周期性设计，镜像图形，以及莫比斯带这样
一些工程技术专家所熟悉的物体，他画中的这些物体传
递了一种协调和序列的感受。他的作品能够流行的第二
个原因是他在作品中所采用的诸如反射，伸长，变形，
投影和其它类似的变换对空间进行不同寻常的处理，这
种处理方式会使具有技术倾向的观众产生强烈的共鸣。
由于埃舍尔本人并不是职业数学家，甚至没有受过什么
数学训练，所以这一点就显得更加难能可贵了。他对空
间不同寻常的直观处理尽管来自于审美学基础，但还是
展示出了复杂的数学工具，例如结构映射和双曲图形，
因此可以设想这些抽象意义上的数学操作并不完全是任
意的，而是与人类的感知相关的。
埃舍尔的生平
埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）于1898年6月17日出生
在荷兰的Leeuwarden，与他的四个兄弟一起在Arnhem长
大。他的父亲是一名土木工程师，他的3个兄弟都是从
事科学和工程领域工作的，他并不偏爱数学，而是从事
自己所感兴趣的绘画艺术。他曾在Haarlem的建筑和装
饰学校学习，在那儿他师从Samuel De Mesquita，学会了
木版画，于1922年移居至意大利，将家安在了罗马，在
那儿一直生活到1934年。在这段时间里，他在意大利南
部创作了大量的有关田园风光和建筑物的作品。1935
年，他离开意大利前往瑞士，在那儿又生活了两年，随
后又在比利时居住了三年，最终于1941年定居在荷兰的
Baarn，在那儿生活了近30年，直到1972年去世。图1是
埃舍尔1935年创作的自画像。
埃舍尔的艺术创作
埃舍尔在近四十年的绘画生涯中创作了大约450件作
品，包括木版画，木雕，石印和绘画[4]。虽然埃舍尔一
生创作了各种类型的作品，但他的创作是有几个永恒的
主题的，以下6个是其中最主要的。图2是这几个主题的
代表性作品。
风景画
在意大利生活的最初几年中，埃舍尔创作了一些真实和
想像相混合的风景画，由于它智慧地选择了视点或巧妙
地使用了光，阴影和色彩，使其作品具有一种惊人的视
觉效果。
不同寻常的视点
埃舍尔创作了许多反映微小细节的作品，从宇宙物体或
日常生活场景到巨大的建筑物，但他的视点是与众不同
的，具有令人着迷的效果。
对称性和周期性
镶嵌式图形是采用周期性的马赛克模式进行装饰的一种
排列。埃舍尔的大量创作是从摩尔人的艺术作品中汲取
的灵感，摩尔人在711 年至1492 年间占领了西班牙，他
们用同样的多颜色瓷砖把整个墙面完全覆盖起来。然
而，由于宗教的原因，摩尔人不能绘制动物，埃舍尔便
将绘制动物作为自己作品的标志。他的作品中展示了多
种类型的对称，这使得晶体学家和群论学家们非常振奋
[5]，[6]。
渐变性
在埃舍尔的许多创作以及一些最为人称道的作品中与众
不同的特点是在其渐进性马赛克周期性绘画中从一个图
形或布局渐渐地转化为另一个图形。再加上不同的视
点，便会产生一种吸引人的效果。
二维到三维的幻觉
用二维（2-D）画面来表达三维（3-D）物体会在人类的
视觉中产生一些模糊之处，进而会产生光学上的幻觉。
埃舍尔是一个善用这类艺术让人类视觉产生令人愉悦的
错觉的专家。
图1 在球形镜面中的埃舍尔的自画像（1898-1971），
创作于1935 年，题为“手持反光球”
68 IEEE microwave magazine October 2006
图2 埃舍尔的代表作，反映了其作品的重要主题。（a）非同寻常的景色。Goriano Sicolik Abruzzi
（1929 年）（b）非比寻常的透视。在St.Peter 教堂里（1935 年）（c）镶嵌图形。平面常规分割III
（1957 年）（d）渐变，天空和水I（1938 年）（e）2-维-3-维幻觉。瀑布（1961 年）（f）无限的
表达。鱼的场景（1956 年）
December 2006 IEEE Microwave magazine 69
无限空间的表达方式
埃舍尔的大量作品是在有限区域内用图形传递无限图像
的感觉，这是通过镶嵌布局在空间的无限延续来实现
的。这种类型的作品将在这里进行深入分析。
用镶嵌布局来表达无限空间
无限性的概念长期以来一直有着某种神秘的预兆，引起
了数学家和非专业人士的兴趣[7]，[8]。埃舍尔的许多马
赛克类型的作品由于其周期性和无限的延伸性而呈现出
无限性的感觉[8]，但实际上它们必须在艺术品的边界上
突然截止。很明显，需要更多的元素来传递一个真正的
无限性的境界，埃舍尔被在有限空间内呈现无限性的这
种表达方式所吸引。在他艺术生涯的后期，从50 年代
开始，埃舍尔进行了许多在圆形或方形边界内表达无限
性的尝试，见图3。
埃舍尔试图通过向中心或边缘处逐渐减小瓦片的尺
寸来在有限的区域内捕捉无限延续的感觉。在他早期的
尝试中（图3（a）），通过向画面的中心逐渐减小瓦片
的尺寸来表达无限的感觉。在随后的作品中，又向相反
的方向进行[图3（b）和（c）），即尺寸的减小是在向
画面的周边方向进行的，从而实现无限性的表达。埃舍
尔自己发现这些早期的作品不大令人满意，便继续寻求
改进的方式。他的后期作品包括两个木版画，题目是圆
形极限III（Circle Limit III） [图3（d）]和圆形极限IV
（Circle Limit IV）[图3（e）]，是这类作品中最有名
的。文献[9]，[10]介绍了具有任意轮廓的固定图形的构
建过程，例如分析了圆形极限III 的几何结构，[11]，
[12]。在这篇文章中，我们要详细分析圆形极限IV 的结
构。
圆形极限IV 的结构
镶嵌布局的构建变换
圆形极限IV，又被称为天堂和地域，被认为是埃舍尔具
有大师风范的作品之一，完成于1960 年7 月（图4）。
原作是木版画，是黑色和褐色的，直径为416mm，天使
和魔鬼充满了整个镶嵌布局平面。这些图形的尺寸从中
心到边界逐渐减小，可分辨出超过24 个不同尺寸的图
形，直到它们融合进入木版画所能达到的视觉极限。虽
然在欧几里德几何的定义中，这些图形的尺寸是不同
的，我们将要演示当用双曲几何的距离来度量时，它们
的尺寸是相同的；从这一点来看，该作品仅仅是个在双
曲空间内具有恒定尺寸和周期的周期性马赛克。
定义马赛克的第一个要求和基本的特性是基本元素
在周期性的空间位移之后的重复的图像。埃舍尔的特殊
性在于连续重复时对单元进行渐进性变换。要使得变换
后的图形仍可以被辨认出是前一个图像的转换，图像的
基本特性要保持不变。在重复单元内进行的变换应当有
一些不变量，这些不变量应当有一个视觉上吸引人的几
何形状。这便是埃舍尔创作的众多显示渐变特性的镶嵌
布局的基本特性。
第二个所施加的要求是需要将无限隔栅安到一个有
限的油画布上，这便意味着马赛克中的基本单元的尺寸
和空间位移距离不能是常量。有必要在单元的每一个渐
进重复中对尺寸和位移进行第二次变换。这个变换的结
果是瓦片的尺寸应当趋近于零，因此，便产生了所需要
的无限性的感觉。
木版画圆形极限IV（图4）和其它这类作品都具有
以上两个特性 - 在瓦片的每一次重复中，重复的图形产
生连续的变换，周期会逐渐缩小。因此，这类作品必须
同时有两种变换。对于圆形极限IV 来说，重复单元仅
有的变换，如天使图案，是一种旋转。每个图形单元的
尺寸和位移的转换更多，这将是我们下面需要进行仔细
研究的主题。
埃舍尔滴极限IV 和史密斯圆图
史密斯圆图有可能提供埃舍尔图形艺术线索的原因在于
史密斯圆图能够提供径向比例度。在读取具有不同单位
的反射系数，回波损耗，驻波比时，有一个比例尺是将
电压驻波比（VSWR）用dB 来表示，从史密斯圆图的
中心为零一直延伸到圆周上为∞。这个范围正好对应了
埃舍尔试图用图形方式表达无限性的需求。
为了对这个想法进行初步的测试，我们对圆形极限
IV 进行了以下简单的测量。图上大多数天使从视觉上来
说是不对称的，而那些具有双边对称的天使的对称轴都
是通过圆心的。双边对称天使的高度（定义为从头部到
脚的径向距离）可以通过测量两端对原点的径向距离，
从而计算出两个径向作标之差的幅值而得到。如果我们
改变圆形极限IV 的比例使之正好能放入史密斯圆图
中，并且借助于用dB 表示VSWR 的比例尺来测量点的
径向距离，则可得到表1 的结果。我们发现所有的具有
双向对称性的天使的高度都是8dB。这个结果促使我们
猜想圆形极限IV 中的图形是全等的，并且希望类似于
密斯圆图这样的工程工具可以帮助我们理解美学艺术作
品。要证明那些没有双向对称性的天使同样是全等的，
则需要进行更详细的分析。
VSWR 只能让我们测量单位圆中通过圆心的径向距
离。要测量单位圆内任意两点Γ1 和Γ2 之间的距离，我
们必须要观察史密斯圆图中的VSWR 的几何中心。正如
随后将要指出的，这种测量距离的一般性方法在微波工
程中已经用得很多了。
史密斯圆图和莫比斯变换
用史密斯圆图作为图形工具
工程师们无论从个人还是职业角度上
说，是非常欣赏，参与，影响，
启发和激励艺术发展的。
70 IEEE microwave magazine October 2006
图3 埃舍尔试图用不同的方式表达无限。（a）越来越小（1956 年）（b）圆形极限I（1958 年）
（c）圆形极限II（1958 年）（d）圆形极限III （1959 年）（ e）圆形极限IV（1960 年）（f）方形
极限（1964 年）
December 2006 IEEE Microwave magazine 71
史密斯圆图（图5）已成为微波工程的一个肖像。例
如，它经常用于设计标识，并且是微波课程中在过了几
十年后最容易被记住的部分，而课堂上所学的其它东西
都被遗忘了。史密斯圆图最初是用来避免进行复数的繁
琐运算的[13]，[14]。虽然从1960 年出现了电子计算机
后，不再需要这样做了，但史密斯圆图仍然在对信息进
行直观的表达和理解上起着很大的作用。在过去的许多
图4 埃舍尔的木版画，题为“天堂和地域”，也被称为
“圆形极限IV”（1960 年7 月），随着史密斯圆图的
VSWR 标尺被放入单位圆中
年中，已经提出了许多对图形进行扩展和应用的建议
[15]， 对于那些要开发直观感觉的职业工作者来说，那
些有助于思考（而不仅仅是计算）的应用还在继续起着
作用。史密斯圆图在微波工程师的概念中是根深蒂固
的，所以在现代计算机辅助软件和计算机微波测量仪器
的控制中，虽然它们具有强大的和进行极其复杂运算的
能力，但仍要将结果显示在史密斯圆图上。
构建史密斯圆图是为了完成两个基本任务：
1） 用参考阻抗和对应的归一化阻抗Z/Z0 所定义的反射
系数：
1 0
0
Z Z
Z Z
+
−
Γ = 和
− Γ
+ Γ
=
1
0 0 Z Z Z （1）
2） 通过将定义的参考平面沿着特性阻抗为Z0，传输常
数γ=jβ 的均匀传输线进行移动，当移动距离为l12 时，
对Γ 和Z 进行变换：
1 12 0
1 0 12
2 0 tanh
tanh
Z l Z
Z Z Z Z l
+
+
=
γ
γ
和 2 12
2 1
Γ = Γ e− γl .（2）
在史密斯圆图上完成第1 个任务的过程是：1）在平面
上画出极坐标来标出Γ，被限制在单位圆内（即，无源
单端口的Γ 值）；2）在另一个变形的平面中，画出迪
卡尔坐标线来表示Z/Z0，限制在图的右半边（同样是对
应于无源单端口）；3）改变笛卡尔坐标系的形状，使
得当两个坐标系叠加时，一个坐标系中的点与另一坐标
系中的映射点完全吻合。第2 个任务通过将Γ 旋转一个
角度2Im[γ]l12 即可完成，只需要在极坐标系中以1/λ 为
单位来重新标识角度的值。因为在这两个任务中，每个
任务只不过是莫比斯的双曲复数变换的例子而已，我们
或许可以说史密斯圆图是进行莫比斯变换的图形工具。
莫比斯双线性变换
莫比斯变换在实际的微波工作中是无处不在的。我们所
要求或所需要的用来定义Z 或Γ 的参考平面通常与能方
便，准确地测量或计算所使用的平面是不同的；这其中
的原因包括无法进入要求的平面来进行测量，在平面内
没有可供使用的参考标准套件，由于结构的复杂性而造
成的多模场或与平面的耦合。因此，经常需要对两个参
考平面的阻抗或反射系数进行变换，或进行参量提取。
这两个参考平面之间的电磁场结构的干扰通常可通过线
性二端口网络来表征，在频域中用的是阻抗矩阵[Z]或散
射矩阵[S]。任意线性二端口网络的响应函数（如反射系
数或阻抗）的转换可表达为：
复平面的莫比斯变换在艺术和微波工
程中具有一些有用的特性
史密斯圆图最初是用来作为图形工具
以避免复数的繁琐运算的
72 IEEE microwave magazine October 2006
( )
1 22
11 22 12 21 11
Γ +
− Γ +
Γ =
L
L
in S
S S S S S
或
( )
22
11 11 22 12 21
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
L
L
in +
− −
= ， （3）
每一个变换都是莫比斯复数变换的例子。
复数Z 的莫比斯双线性（分数化线性）变换定义如
下：
CZ D
M Z W AZ B
+
+
( ) ≡ ≡ ， （4）
其中A，B，C，D 是复数形式的常数（与Z 无关的）。
可以通过在基本定义中增加一些另外的要求来以更加紧
凑的形式说明这种变换的特性：
1） M(∞) ≡ A/C ，和M(-D/C) ≡ ∞，这使得我们可以
通过将Z=∞包括进来将复平面进行扩展来说明变换
的域和范围，使得莫比斯变换异质同晶。
2） AD – BC ≠ 0，这使得我们可以通过将每个常数
A，B，C 和D 来除以AD – BC 进行归一化而不改
变变换的性质。
复平面的莫比斯变换有几个有用的特性[16]， 在艺
图5 带有径向标尺的史密斯圆图（ 经由Analog
Instrument Co.同意）
术和微波工程中都非常有用[17]，[18]。这些特性可以用
几种不同的语言来描述，例如，代数方法，矩阵形式，
几何学，拓扑学等等。鉴于需要将这些与埃舍尔的绘画
作品相联系，采用几何学的方法是最有用的。
莫比斯变换的几何特性
莫比斯变换是将一个复数Z 映射变换为另一个复数W，
这两个复数都需要一个二维平面的点来表达其几何位
置。Z-平面上的一条曲线Cz 便是一组点，其中的每一
个点通过莫比斯变换成为W-平面的一个点，在W-平面
的这一组经过变换的点便组成了另一条曲线Cw；这个
过程可以称为是曲线的变换。这种变换保留了曲线的特
定的性质，我们所感兴趣的正是Cz 和Cw 所共有的不变
量。
为了将复平面的这种变换形象化，考虑莫比斯变换
式（4）中所对应的一些特殊情况可能会有所帮助。
平移：W = Z + B （其中A = D = 1；C = 0）
按比例变化：W = |A| Z（其中B = C = 0；D = 1；
A 为正实数）
旋转：W = Z exp(j∟A)（其中B = C = 0；D = 1；
|A| = 1）
倒数：W = 1/Z（其中，A = 0；B = C = 1；D =
0）
前三种情况下的曲线的几何效应可以用一种很直接
的方式来进行形象化表示；最后一种情况的操作可以被
看作是单位圆的反射。这几种特殊情况的用途在于它们
是莫比斯变换的构建模块，莫比斯变换可以看成是这些
基本变换的组合；因此，（4）式中的W 可以通过以下
这些变换的顺序来实现：
Z -> CZ -> CZ + D -> 1/(CZ + D)
-> [(BC –AD)/C]/(CZ + D)
-> [(BC – AD)/C]/(CZ + D) + (A/C)
= (AZ + B)/(CZ + D) = W.
复平面中曲线的莫比斯变换有以下几个很有用的特性，
其中的3 个是与我们这里所讲述的例子相关的。
变换将Z-平面的圆（以及作为圆的特例的直线）
映射为W-平面的圆。（因此，史密斯圆图中的直
线代表的是Re[Z]和Im[Z]为常数的曲线通过(1)进
行的莫比斯变换）。
变换是保角变换，意味着Z-平面上两条曲线Cz1
和Cz2 的角度（定义为它们相交之处的角的正切）
在变换到W-平面后的角度保持不变，幅值和符号
均不变。
通过选择合适的距离度量，Z-平面中两点Z1 和
Z2 之间的最短线段的距离与它们在映像W1 和W2
之间距离是相同的，欧几里德距离度量不属于这种
类型。
史密斯圆图是进行莫比斯变换
的图形工具
December 2006 IEEE Microwave magazine 73
这些特性的证明，例子和应用可以在文献[16]和[19]的援
引中以及其它地方找到。
很明显，前两个特性有助于在进行变换后仍然保持
可以识别的形状，而第三个特性提供了一个欧几里德平
面的比例，在欧几里德几何中，距离不是不变量。这些
便是在“由变换而组成的镶嵌结构”中所提到的两种基
本要求来生成代表无限性的镶嵌图案的构建方法。我们
要集中在第三个特性和不变量所需要的距离度量来理解
埃舍尔作品中的距离和尺寸的比例。
双曲距离度量
距离度量的定义
两点Z1 和Z2 之间的距离d(Z1, Z1)定义为连接两点之间
的最短路程或曲线的长度。两点之间具有最短长度的曲
线被称为短程曲线，它是欧几里德几何中的直线概念的
推广。曲线的距离也可被定义为累计曲线上连续的单元
长度的积分，每个点与前一个点之间的距离是无限小。
最后，两点之间的无限小距离可以按通常的欧几里德方
式来定义，因为在无限小的极限中，所有的空间本质上
都为欧几里德空间[20]。最终所得到的距离度量具有距
离所具备的直观特性，换句话说：
非负：对于所有的Z1 和Z2，d(Z1,Z2) ≥ 0
一致性：当且仅当Z1=Z2 时，d(Z1,Z2) = 0
双边对称性： 对于所有Z1 和Z2 ， d(Z1,Z2)=
d(Z2,Z1)
三角不等式： 对于所有Z1 ， Z2 ， Z3 ，
d(Z1,Z3)≤d(Z1,Z2)+ d(Z2,Z3)
d(Z1,Z2)的连续性，这是由它与实数一对一的关系
所保证的
我们可以很容易地发现欧几里德距离度量在位移和
旋转时保持不变；在进行复数共轭运算时同样保持不变
（W=Z*），这种运算可以解释为实数轴的反射。相
反，如上所示，莫比斯变换除了平移和旋转外，还有比
例和倒置，因此，一般来说，这种变换并不能使得两点
间的欧几里德距离保持不变。莫比斯变换中的一个不变
量是交比值，定义如下：
( )( )
( )( )
( )( )
( 1 4)( 2 3)
1 3 2 4
1 4 2 3
1 3 2 4
Z Z Z Z
Z Z Z Z
W W W W
W W W W
− −
− −
=
− −
− −
,（5）
其中W1，W2，W3 和W4 分别是Z1，Z2，Z3，Z4 变换后
的映像。因此，基于交比的距离度量或任意一个单调函
数，对于莫比斯变换来说是不变的。此外，由于距离度
量取决于短程距离，而短程距离又是由空间的几何规则
所决定的，有必要引入一个不同的空间，其中的几何规
则与欧几里德的规则有所不同。因此，需要一个非欧几
里德空间。
非欧几里德几何
小学所学的几何学称为欧几里德几何，这是为了纪念亚
历山大·欧几里德（大约公元前300 年），由他执笔的
“几何元素”是一篇有关几何的论文，这是人类历史上
所有科学，数学和技术中阅读最为广泛的书。对于欧几
里德我们确实知之甚少，因为，最早流传下来的这本书
是由Plonus 用拉丁文写成的，此时欧几里德已逝去1200
年了（确实，在“元素”所包含的15 本书或15 章中，
最后两章似乎是后加上去的，而不是欧几里德所写）。
欧几里德将他那个时期的几何知识通过公理合并起来，
其中所有结论是由最小假设前提集合而推断出来的。这
种最小的假设集合由5 个欧几里德公理组成，这些公理
基本上是以直线，连续性，距离度量，角度相等和平行
线的存在为前提的。第5 个假设，关于平行线的假设，
可以通过许多不同的等效形式来表达（即，相互之间可
以推导出来），其中一个说明存在唯一的一条直线通过
已知点并且与给定的直线L 相平行。
在欧几里德之后，大约经过2000 年，数学家经过了
长时间的努力，从阿基米德（Archimedes）到勒让德
(Legendre)，又将欧几里德假设集合进一步减少，对欧
几里德的第5 个假设进行了最细致的分析，试图从其它
4 个中推导出第5 个假设。直到19 世纪，才得以明确
1）第5 个假设不是其它4 个假设的结果，2）同样，几
何内部的连续性也不是必需的，和3）用另外的假设来
替代第5 个假设，可以导致几何上完美的自适应几何。
这种几何学被称为非欧几里德几何学，根据所选择的第
5 个假设的不同而存在着两种类型。如果通过P 点，且
与L 平行的直线数为零，则这种几何学称为椭圆（或黎
曼（Riemannian）），这种几何学中的三角形的三个内
角之和大于1800。如果通过P 点的直线数为两个或更
多，则为双曲几何，其中的三角形的三个内角之和小于
1800。
也许最简单的展示和理解非欧几里德几何学以及其
中的公理的存在性和连续性的方法可能莫过于借助已经
很熟悉的欧几里德几何学来构建一个非欧几里德几何的
模型。接下来，我们仅介绍许多可能的模型中的一个，
非欧几里德双曲几何，这在我们今后的讨论中会使用到
的。
庞加莱(Poincare)双曲空间的开放式模型
为了构建新的几何学，我们需要能够体现点，线，面的
实体，从而在其上施加一套自适应的假设；对于欧几里
德公理来说所包括的最小集合的假设是存在着直线，连
续性，距离度量和角度全等，以及平行线等。最后一个
假设，即关于平行的假设，对于自适应性来说不是必需
的，所以可以违背而得到新的几何学。这些实体可以从
欧几里德的世界中选取，有多种选择。选择之一是单位
圆内的一点，从而生成了被称为庞加莱双曲空间的开放
式模型。
在欧几里德平面上，，每个点都对应着一个复数Γ,
考虑一个圆心在原点的单位圆。我们将单位圆的内部指
两点之间的双曲距离在莫比斯变换
中是不变的
74 IEEE microwave magazine October 2006
定为双曲平面，所有开放式单位圆内的|Γ|<1 的点的集合
成为双曲点（h-点）。下一步，考虑与单位圆相对称的
欧几里德圆（具有一个圆心C 和半径R），它与单位圆
垂直相交于点P 和Q（对称性- 如果在P 点处的圆彼此
是正交的，则它们在Q 点处也是正交的）。我们指定在
任意这种互相正交的圆内的h-点之间的线段为双曲线
（h-线），见图6；对于每一个选择的C 的位置和R 的
幅值，都会产生不同的h-线。给定两个点Γ1 和Γ2，便
有一个唯一的欧几里德圆通过这两个点，并且同时与单
位圆相垂直；所以对于给出的两个点Γ1 和Γ2，存在一
条唯一的直线。在保持与欧几里德对两条线之间夹角的
定义相同的条件下，欧几里德关于角度全等德假设也是
可以保证的。这些定义满足了欧几里德假设中的前4
条；包括线的存在性，连续性和无限可延伸性（对P 和
Q 点，他们不是线的一部分，因为它们不是h-点）。
最后，我们来考虑关于平行线的第5 个假设。两条
h-线当它们不相交，即没有共同的h-点时，它们是相互
平行的。因为，对于给定的h-点Γ3，有不止一条h 线通
过此点，每条线与给定的通过Γ1 和Γ2 的h-线都不相
交，很明显，在这个模型中，通过给定点并且与给定的
h-线相平行的平行线的数目大于1，这便是双曲几何的
独特之处。
要测试线段的全等性，首先需要一个距离度量。在
双曲空间中，满足前一节所列出条件的距离度量会引出
一个自然的距离度量，定义如下。
双曲距离度量
两个h-点Γ1 和Γ2（即，将他们相联接的h-线之间的长
度）之间的双曲距离dH(Γ1和Γ2)与两个欧几里德点Γ1 和
Γ2 之间的欧几里德距离是不同的。确实，dH 可以用Γ1和
Γ2 与前面所说的正交圆的交点P 和Q 的欧几里德距离来
定义（注意：P 是当h-线Γ1Γ2 向Γ1 靠近时的极限点，而
Q 是当向Γ2 相靠近时的极限点 ）。 这样按照前面所列
出的程序可以获得双曲距离，定义如下：
( )
( )
( )
( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
Γ
Γ
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
Γ
Γ
Γ Γ =
d P
d P
d Q
d d Q
E
E
E
E
H e ,
,
,
( , ) log ,
2
1
2
1
1 2 ，（6）
其中dE 是我们所熟悉的两个复数的欧几里德距离，定义
为dE (Γ1，Q)=| Γ1- Q|。这些欧几里德距离可以通过开放
式模型来进行计算，经过替代，两点Γ1 和Γ2 之间的双
曲距离可以仅仅通过两个点来表示如下：
*
1 2
1 1 2
1 2 1
( , ) 2tanh
− Γ Γ
Γ − Γ
Γ Γ = −
H d . （7）
这种关于两点之间的双曲距离的定义满足了前面所
讨论的所有关于距离度量的特性；另外，在莫比斯变换
中，距离是不变的，因为式（6）中的距离是式 (5) 所描
述的交比的单调函数。
在史密斯圆图中，同样的交比不变性和距离度量可
以通过多种方式来表达，例如在径向的VSWR 比例尺以
及在特定的集合构建中使用，并且用来定义两个不同的
阻抗之间的差异。在特殊情况下，当其中一个点在原
点，另一点与原点之间的距离可以表示为：
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
− Γ
+ Γ
Γ = − Γ =
1
1
0, 2tanh 1 log
H e d . （8）
在比例系数内，这与在终端接有反射系数为Γ 的阻
抗的均匀无损传输线的VSWR 的定义相同。因此，史密
斯圆图中以分贝为单位的VSWR 比例尺，从本质上说是
测量双曲度量中距离原点的径向距离的比例尺。此外，
（7）可以看作是VSWR 定义的一般形式，定量地给出
了两个反射系数之间的距离。在许多情况下，微波工程
中会使用这种距离度量，例如，测量开关二极管的两个
阻抗之间的距离[21]或在无损嵌入系统中，定义有源器
件的单向功率增益时会用到[18]。
用双曲距离度量来分析圆形极限IV
我们现在回到圆形极限IV，现在可以测量画中所有图形
的距离，包括那些不具备双边对称性的图形。当每个独
立的图形旋转时，距离原点较远的部分收缩得更大，这
是由于指向圆周的双曲空间更加拥挤的原因，这便是引
起图形不对称的原因。
为了便于演示， 我们将选择一个特征， 如天使翅膀
图6 单位圆中的一段双曲线段
通过给定点并且与给定的h-线相平
行的平行线的数目大于1，这便是
双曲几何的独特之处。
December 2006 IEEE Microwave magazine 75
间的距离来进行比较。 表2 给出了一些图形中天使的翅
膀间距离的极坐标，两个翅膀互相为参考点。翅膀张开
的距离是通过双曲度量（7）来计算的，同样也列在表
中。从结果中可以看出，在木版画所能达到的精度范围
内，尺寸是相同的，我们可以得出结论说这些图形确实
是全等的。当用双曲距离来度量时，圆形极限IV 仅仅
是一个常规地镶嵌图形，只不过将每个独立的图形进行
了旋转。
致谢
我在此表达对已逝去的剑桥的麻省理工学院 (MIT) 的教
授Robert L.Kyhl（1918-2003）深深的谢意。他在MIT
举办的“独立活动周”中所发表的一个简短的讲座将我
引入了这个课题。同样感谢具有版权的M.C.Escher 公司
（Baarn，荷兰）允许我转载本文所引用的埃舍尔的作
品。埃舍尔的Hand with Reflecting Globe, Gorianno Sicoli,
Abruzzi, Inside St. Peter’s, Regular Division of Plane III,
Sky and Water I, Waterfall, Fish Vignette, Smaller and
Smaller, Circle Limit I, Circle Limit II, Circle Limit III,
Circle Limit IV, Square Limit © 2006 The M.C.Escher
Company-Holland. 保留所有权利。www.mcescher.com.
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