几何概型:将古典概型中的有限性推广到无限性(多维空间)，而保留等可能性，就得到几何概型。

课题：几何概型
江苏省昆山中学 戈 峰
教材分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。课本从两者的比较入手，通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。本节安排了三个例题，分别是从一维的长度，二维的面积，三维的体积作为测度进行分析的。
学情分析：昆山中学是国家级重点高中，学生相对情况较好，所任教的班级是个理科班，在接受能力方面较强。
教学目标：
1.了解几何概型的定义
2.会求简单的几何概型的概率问题
3.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力
教学重点
关于几何概型的概率计算
教学难点：
准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。
教学过程：
一、创设情景，引入新课
问题1．取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于10cm的概率有多大？








问题2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛
靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运
动员在70m外射。假设射箭都能中靶，且射中
靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的
概率有多大？







分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段落的长度等于绳子长的 ,于是事件A发生的概率P(A)=
分析2:在问题2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.
如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为 的大圆内,而当中靶点落在面积为 的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率为P(B)=
归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那怎样处理呢?
二、数学建构
几何概型定义：
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
古典概型的本质特征：
1、样本空间中样本个数有限，
2、每一个样本点都是等可能发生的。将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。

计算公式：
几何概型的计算一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:
指出:D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.
三、数学应用
例1、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止时，指针正好对准黄色区域，顾客就可以获得10元的购物券（转盘等分成12份）甲顾客购物120元，他获得10元购物券的概率是多少？
分析：学生在讨论的时候可能把测度当成面积或角度，但通过分析可得以长度作为测度比较合理。
解：记“甲获得10元购物券”为事件A
则
答：甲获得10元购物券的概率是
例2、在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少？
分析:病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的,取得10mL种子可视作区d,所有种子可视作区域D.解:取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件高为A,则

答:含有麦锈病种子的概率为0.01
四、练 习
练习1、取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.
分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的,于是豆子落入圆上的概率应等于圆面积与正方形面积的比.
解:记“豆子落入圆内”为事件A,则
答:豆子落入圆内的概率为
并通过EXCEL试验撒豆试验

练习2、甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
分析：由于甲、乙两个人到的时间是互相独立的，所以可以设两个人到的时间分别是 ，则 所在的平面区域为测度
解：设两个人到的时间分别是 ，则如图所示 所在的平面区域是正方形区域
满足条件的 应是 ，如阴影所示区域，则
P(二人能会面的概率)=

五、课堂小结
1.古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型的概率公式


3.几何概型问题的概率的求解.

六、作业布置
作业：P103 习题3.3 1,2,3,4

课件的运用：只须按照课件上的按钮从左到右依次按就可以了
注：
在问题2中，“瞄准按2次”需要按两次，间隔2-3秒，然后按“射箭”，第2次射箭的话，要先按“射箭”一次，然后重新按“瞄准按2次” 两次，再按“射箭”，……
在练习1中，按下“EXCEL”后，将跳出一个窗口，打开“撒豆”，若打不开，请将“宏”的安全级别调低，然后打开文件后，点击工具-宏-宏-撒豆模拟-执行，输入撒豆个数即可。

教学反思：整个教学过程比较顺利，但在有些小细节方面还值得多钻研，比如在板书的设计方面、语言可以更简练些、还可以让同学更多的发言，交流更广些！