你们四人之间有人没有 telling the truth
所以信息转了一圈以后对不上。
你目前可以做的：
告诉你儿子说人 Fat 是很严重的 bullying . 无论是他真的说过，还是被人冤枉，都不是开玩笑。如果他确定他肯定没说过，那他应该和他的小朋友去沟通：被冤枉不是玩笑，他会因此见校长。再被冤枉朋友没得做。
给对方的妈妈回 Email, 告诉对方你能理解对方的感受，你明白被叫 fat 不是玩笑而是很 serious 的 bullying. 而且你已经把这个重要性传递给了你儿子。你也可以委婉地提出你儿子的说法，同时提醒她被冤枉 bullying 也是很 serious 的事。
My two cent
