两年前的一个帖子里面恰好也讨论过天干、地支

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2015-03-05 13:10:49

由小学数学脑筋急转弯想到的数论定理 [编辑] [删除] [引用] [置顶]

看到国内网上一道小学脑筋急转弯的数学题： 假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2只空水壶，容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2只水壶从池塘里取得3升的水。 解答：先用5升壶装满后倒进6升壶里，在再将5升壶装满向6升壶里到，使6升壶装满为止，此时5升壶里还剩4升水。将6升壶里的水全部倒掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，此时6升壶里只有4升水。再将5升壶装满，向6升壶里到，使6升壶里装满为止，此时5升壶里就只剩下3升水了。 这里的本质是用5和6的线性组合来表示3。上面的操作过程可以看成是 5-2 = 5-(6-4) = 5-[6-(5-1)] = 5-{6-[5-(6-5)]} = 3X5 – 2X6 = 3 因为5与6互素，根据裴蜀定理知道，可以找到m, n，使得下列方程有解 5m + 6n = 1 既然等于1有解，那么等于任意正整数就都有解，只要把左边倍乘就可以了。当然，对于水桶操作来实现，有的时候也许需要借助于另一个不需要刻度的大桶。这里因为两者相差1，会带来很多便利。 由此又联想到中国剩余定理。只要n1, n2互素，下面的方程一定有解：  X ≡ m1 (mod n1)  X ≡ m2 (mod n2) 尽管书上都有严格的证明，我还是想自己想想这背后蕴含的道理。 上面这个图是用5和8做例子。5和8的最小公倍数是40，把1到40的所有整数依次放入上面的网格内，其位置就代表该数除以5和除以8所得到的余数。可以直观地看出，数的顺序是成45度角排列，碰到边界后，就折返到下一个对应的位置。所有40个数正好把网格填满。 网格中的任一个，都可以写出上述的方程组。而这些网格正好穷尽了所以可能。所以，任意给出一个方程，都一定有解。 上面的网格是二维的情形，如果推广到三维，网格就变成了三维立体小方块，如果再高维，就没法直观表示了。 如果我们把5改成6，情况就不一样了，见下图。6和8不满足互素的条件，它们有公约数2， 最小公倍数是24，而6乘以8等于48。从上面的图可以看出，黄色的格子没有合适的数可以放进去。所以，这时如果任意写一个方程组，假如两个数所确定的格子是黄色的，那么方程就无解。比如  X ≡ 3 (mod 8)  X ≡ 4 (mod 6)   今天又看到关于干支纪年法。以前我脑子里曾经闪过一个念头，就是天干、地支10乘12应该是120年一轮回，怎么说是60一甲子？今天花了点时间看了一下，原来这个天干地支跟我们这里的网格类似。10和12不互素，最小公倍数是60，所以一个轮回是60，而不是120。它的循环如下图所示。    1 甲子   13 丙子   25 戊子   37 庚子   49 壬子 2 乙丑   14 丁丑   26 己丑   38 辛丑   50 癸丑 3 丙寅   15 戊寅   27 庚寅   39 壬寅   51 甲寅 4 丁卯   16 己卯   28 辛卯   40 癸卯   52 乙卯 5 戊辰   17 庚辰   29 壬辰   41 甲辰   53 丙辰 6 己巳   18 辛巳   30 癸巳   42 乙巳   54 丁巳 7 庚午   19 壬午   31 甲午   43 丙午   55 戊午 8 辛未   20 癸未   32 乙未   44 丁未   56 己未 9 壬申   21 甲申   33 丙申   45 戊申   57 庚申 10 癸酉   22 乙酉   34 丁酉   46 己酉   58 辛酉 11 甲戌   23 丙戌   35 戊戌   47 庚戌   59 壬戌 12 乙亥   24 丁亥   36 己亥   48 辛亥   60 癸亥     公元4年是甲子年，所以，其他年份的干支就等于年份数减去3，除以60，余数查上表。也可以再进一步除以10和12，根据二维余数确定。今年是2015，算出来是乙未。