中学的平均值不等式 ：sqrt{(X^2+Y^2)/2 } >=(X+Y)/2

先解示这个不等式： (X-Y)^2>=0

=> X^2+Y^2-2XY >= 0

=> X^2+Y^2 >= 2XY

=> 2X^2+2Y^2 >= X^2+Y^2+2XY =(X+Y)^2

=>  (X^2+Y^2)/2 >=(X+Y)^2/4

=> SQRT { (X^2+Y^2)/2} >= (X+Y)/2

=>  X^2+Y^2 >= (X+Y)^2/2

证明了这个不等式 ，好像叫“平方平均值大于等于算数平均值”，就可以套用到原题中了

sqrt(a^2+4)+sqrt(b^2+9) =sqrt(a^2+2^2)+sqrt(b^2+3^2) >=sqrt( (a+2)^2/2 )+sqrt( (b+3)^2/2 )

=(a+2)/sqrt2+(b+3)/sqrt2= (a+b+5)/sqrt2=(13+5)/sqrt2=18/sqrt2

最小值是 18/sqrt2

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• 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根） -网恋无罪- ♂ (2948 bytes) () 05/14/2022 postreply 20:38:00

• 细思这些不等式是在没有限制条件下的。现有a+b=13绑定条件，不等式就不成立了。结果是错的 ：） -网恋无罪- ♂ (0 bytes) () 05/14/2022 postreply 21:34:02