我做错了，弄巧成拙

你的方法很好。这个第一题核心就是看2013重复几次对1001的余数是0。重复次数肯定不是很大。如果不嫌麻烦，直接试除比较简明。
也可以试试用modular arithmetic rules。Modular 很奇妙，怎么加减乘除，重复计算最后得出相同的结果。

为了省事我就不重复写 Mod（1001），
2013 = 11
20132013 = 110011   （我忘了中间的两个0）
         = 100001 + 10010
         = 100001
         = 100100 -99
         = -99 = 902

201320132013=1100110011
            =1000000001 + 100100000 + 10010
            =1000000001
            =1001000000 - 1001000 + 1000 + 1
            =0
写的比较详细，如果小孩的观察力强，应该不用写，能看出来。