thegreatcolour的 高中生数学作业的另一种解

原题

Note that (1/2)^1/2 = (1/4)^1/4
Prove that there are infinitely many pairs of distinct positive numbers a and b such that a^a=b^b

对于a^a=b^b

我们可用 y=x^x 表达

如果画一个曲线

y 是一个 U shape on the interval x (1/2, 1/4).

因为它是一连续的曲线，所以应该有连续的infinite个点。

对于U shape曲线 X在 （1/2, 1/4）中的任意一点总能找到另一个不同的 value (a pair )使 Y 相同

补充

函数 y = x^x 的图形 不需要说明 是 U 型， 但它一定不是直线，它一定通过 两个点 A：（ 1/2， (1/2)^(1/2) ）和  B：（ 1/4， (1/2)^(1/2) ） 或表达为（ 1/4， (1/4)^(1/4) ）。
连接这两点的直线函数是  y = (1/2)^(1/2)  或 y = (1/4)^(1/4)。 它是一条水平直线。

函数 y = x^x 是个非直线的曲线。 那么在以上水平直线上下存在infinite的水平线可与  y = x^x 的曲线同时至少相交两点。 这infinite交点就是答案

另一种说法

我们找到另一点 x = 1/3，y= （1/3)^(1/3) = 0.693361274. 他在  y = (1/2)^(1/2) 下面。

那么 我们可说 x 在 区间 （1/3，1/2）内有infinite个值， 以这无数个值画的水平线一定能在  区间 （1/3，1/2）和 区间 （1/4，1/3）找到 a pair 点 在  y = x^x 的图形上。