物理量的代数化、物理量的几何化, 几何量 zt

数据采集，又称数据获取，是利用一种装置，从系统外部采集数据并输入到系统内部的一个借口。数据采集技术广泛引用在各个领域。比如摄像头，麦克风，都是数据采集工具。

被采集数据是已被转换为电讯号的各种物理量，如温度、水位、风速、压力等，可以是模拟量，也可以是数字量。采集一般是采样方式，即隔一定时间（称采样周期）对同一点数据重复采集。采集的数据大多是瞬时值，也可是某段时间内的一个特征值。准确的数据量测是数据采集的基础。数据量测方法有接触式和非接触式，检测元件多种多样。不论哪种方法和元件，均以不影响被测对象状态和测量环境为前提，以保证数据的正确性。数据采集含义很广，包抱对面状连续物理量的采集。在计算机辅助制图、测图、设计中，对图形或图像数字化过程也可称为数据采集，此时被采集的是几何量（或包括物理量，如灰度）数据。


微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。


微分几何的产生


微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。

十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。

1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。

1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。

随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。


微分几何学的基本内容


微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。

在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。

在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。

在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。

近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。

微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。

其它数学分支学科

算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学

研究物理量的几何化过程——体验数理公式的对应性。
有不少物理参考书上常这样写道：速度就是 - 图线的斜率，所以有 ，位移就是 – 图线和 轴所围的面积，所以有 = 面。显然这是错误的。一个明显的理由就是物理量和几何量的关系怎么能“就是”或“相等”呢？充其量只可能在数值上相等。为了澄清这个问题，我们不妨来分析一下物理量的几何化过程。物理量的几何化其实是约定某一物理量大小和某一几何量成正比。在上面的例子中要画出 - 图线和 – 图线，首先就得建立直角坐标系，用横轴表示时间 、纵轴表示位移 或速度 （如图所示），实际上就是将 、 、 几何化，即用几何量线段的长度来表示 、 和 和大小。设 轴上线段的长度用 表示， 轴或 轴上线段的长度用 表示，那么根据物理量几何化的约定就有： ， 或 （式中 、 为常量，有量纲）。在 - 图像中对于匀速直线运动，因为 ，所以有 ，又因为斜率 ，所以又有 ，即 ，于是 几何化了， 的大小形象地通过 - 图线的斜率来反映，在这里 的几何意义就是斜率 ，而不是 就是 ，只有当 （这个“1”不是无量纲的数）时， 和 在数值上相等（但不能写成 = ）。在 – 图像中对于匀速直线运动，因为 ，所以有 ，又因为 面= ，所以又有 面，即 面，于是 几何化了， 的大小形象地通过 – 图线和 轴所围的面积来反映，在这里 的几何意义是面积 面，而不是 就是 面，也只有当 （这个“1”不是无量纲的数）时， 和 面在数值上相等，物理量几何化的意义不仅在于使抽象的物理量形象化，能更为快捷、方便地判断其大小情况，而且更在于由于物理量的几何化而使学生认识到这些物理量的公式形式和其相应的几何量的公式形式的一致性，真是这种“一致性”促成了数理公式在一定条件下的对应，从而能有效地拓展学生的物理知识结构，加强数、理之间的联结。我们不妨来列出这种对应，在上述的 - 图像中， 对应于 ；在 – 图像中 对应于 面= 。这种形式上的一致性使我们想到只要将几何公式中的几何量用相应的物理量替代就得到了对应的物理公式，这将被作为一个普遍方法而运用到所有运动的 – 图像和 - 图像上，甚至其它物理图象上，这个方法不妨也叫“对应原理”。高中物理教材正是基于这一“对应原理”推出了匀变速直线运动的公式 （和梯形面积公式形式一致），从而得以推出其它一系列公式，足见“对应原理”的效能。所以只要在课堂上一定程度地展示上述类似过程，学生是能够体验到数理公式的这种对应性。遗憾地是现行物理教材及参考资料等没有对这方面的问题进行足够的阐述，只是作为结论强加给学生，学生不知其所以然，这是长期以来只重知识不重知识形成过程的结果。
3．研究物理规律的建立过程——体验数理推理的有序性
在物理规律的教学中我们经常遇到这样的教学命题：已知当C不变时 ，当B不变时 ，则有 。这是不证自明的吗？我们不妨来证明一下：设有这样三组数据（A1、B1、C1），（A’、B2、C1）和（A2、B2、C2），由已知条件可得 、 ，两式左右相乘，得 ，即 。显然这不是不证自明的。初中物理教材中关于欧姆定律的内容常这样写道：分析实验数据可知，当R不变 ；当U不变时 ，所以有 ，高中物理教材中关于牛顿第二定律的内容也有类似的叙述：当m不变时 ；当F不变时 ，所以有 。当然教材都没有给出说明，那么这个隐性的数学推理可以由教师给予学生提示，不然学生只能记住这样的程式：“ 、 → ”，而习以为常，似乎不用考虑。但在以后学习的由气体实验定律推出理想气体状态方程过程中实际上包含了上述“程式”的推导，那么在先前的教学中我们为什么不可以使学生有这种数学上的认识准备呢？多年的教学中还真未遇见学生进行前后学习的对比而提出这个问题，可见多数学生对于学习所采取的策略是接受式的，而不是质疑式的。教师在教学中能提出、并引导学生解决这样的问题不但有利于学生掌握物理规律，陪养学生归纳、推理的能力，而且有利于改变学生的思维方式，有利于引导学生善于发现问题、提出问题，从而增强他们体验从物理内容到数学形式推理的连续性和逻辑性，即体验到数理推理的有序性。
4．研究物理问题的解决过程——体验数理问题的变通性
如右图所示重为G的物体静止于倾角为α的斜面上，求出该物体所受的弹力和摩擦力。不难得出 、 、 等， 这些式子已不是纯数学公式，而是数理整合的结果，貌似浅显，然而不是不值得推敲的。教学经验告诉我们，对于不少物理初学者而言解决类似静力平衡问题还是有一定困难的，问题并不难在数学运算，而是难在数学运算模型的建立上。那么隐藏在该问题背后的得以建立数学运算模型的深层次的数理关系是什么呢？学生在初中物理中就学会了将力进行几何化，即用带箭头的线段来表示力的三要素，其中力的大小用线段的长度来表示，以后推广到凡矢量都可以用带箭头的线段来表示，这种的结果使得矢量的平行四边形法则得以建立，从而将矢量运算转化为几何图形的运算成为可能，即使得数学运算模型运用于物理学的运算成为可能。不防来分析一下得出上面三个公式的过程。第一、根据三种力的知识和物体所处的状态进行受力分析，画出力的示意图，第二、根据力的平行四边形法则和物体的平衡条件画出诸力之间的关系图（矩形、直角三形），这种“关系图”就是数理过渡的定性衔接，第三、根据画力的图示的规则得到 、 、 （式中k为比例常数），这一步是数理过渡的定量衔接，第四、在RtΔAOB中有数学公式： 、 、 ，第五、等量代换，得 、 、 ，即数学运算模型，这一步实现了物理问题转化为数学问题。可见，解力的平衡问题可转化、变通为解RtΔ的数学问题，计算力的大小就像计算RtΔ中边的长度一样遵循同样的数学规则。这实际上实现了数学方法向物理领域的迁移，这是数学方法在具体情景中的应用，因而数学显得更有实在意义。问题是当今的学生尽管做了大量的类似习题，恐怕也没有这种体验。他们只是一唯地接受，模仿老师的算法，而无暇思考这种算法背后潜在的数、理联系。学生对这种“联系”认识的深度决定了他们体验数理问题可变通性的强度，因此即便数学成绩较好的学生运用数学方法来解物理问题也会感到力不从心。为了提高学生的数理综合能力、增强他们数理变通性的体验，在平时的物理教学中向学生充分展示物理问题解决的数理过程很有必要。