数学的“非逻辑”启示

数学的“非逻辑”启示

作者：石地

数学的“非逻辑”启示

——读M·克莱茵《数学：确定性的丧失》
　　　　
在人的思维过程中，逻辑当然是重要的。一篇逻辑上出错的论文，或者一通逻辑混乱的高谈阔论，必然会影响论述效果，甚至让人怀疑言说者的基本思维能力。但是，在很多时候，人的思维又确实是非逻辑的：某一瞬间你想干什么，多半不是逻辑推理的产物；什么东西好吃或不好吃，谁能进行逻辑的论证？你喜欢或厌恶某人某事，通常也不会来一通逻辑论证……不仅在日常生活中，就是在很多动用理性认真思考的场合，也是如此。若君不信，请看这本《数学：确定性的丧失》。
　　
这是著名的数学思想研究者M·克莱茵出版于八十年代的名著，它在疏理数学发展史的过程中发现，在各种创造性的数学研究中成果而且篇章目录中，在最基础的层面上起决定作用的往往不是逻辑，而是“现实的需要和天才的直觉”——威廉·卢云·哈密发现的“四元数”，居然“不符合乘法交换律，似乎破坏了数学知识中一个最基本的原则”；虚根“仅仅因为数学理论上的需要”，就无视“不可能有数被平方成负数”的现实，在数学的领地登堂入室；而“等量相加其和相等”，明显违背许多显见的理化事实（如不同液体的混合、长期接触的某些物质间的渗透现象等等），但它就是数学公理；在微积分学科中起着奠基作用的“无穷小”，一会是零，一会不是零，明显违背同一律，牛顿和莱布尼兹都给不出圆满的解释；哥德尔不完备性定律甚至证明了公理体系的基础的不可证明性；就连长期以来被数学家们视为当然的讨论前提的“闵氏空间”，实际上也是古希腊人还不知道地球曲率而产生的错觉……作者通过大量的引经据典，揭示了一个与“常识”相反的事实：从托勒密、笛卡尔到彭加勒、伽罗瓦、布尔巴基学派，数学家们自己对数学的逻辑基础的怀疑也是源远流长的。阿达马就在《数学领域中的创造心理》中说过：“在创造过程中，所有的数学家实际上都避免使用准确的语言，而用的是含糊的、可见或可能摸到的印象……所有这些新的公理化结构和严密化，所做的无非是证明了数学家所知道的那些东西确实如此。这意味着数学并非建立在逻辑之上而是建立在健全的直觉之上。严密化不过是对直觉承认的东西加以确认。逻辑只是数学家们想要保证思想健康和强壮的卫生手段而已。”无独有偶，爱因斯坦也说过这样的话：“写下来的词句或说出来的语言，在我的思维机制里不起任何作用。……那些似乎可用来作为思维元素的心理实体，是一些能够‘随意地’使之再现并且结合起来的符号和多少有点清晰的印象。对我来说，这些元素是视觉性的，也有一些是肌肉型的。只有在第二阶段，才有必要费神地去寻求惯用的词或其他记号。”
　　
就连本书的许多章节的标题，也明确无误地强调着“数学的非逻辑基础”——什么“一门逻辑学科的非逻辑发展”，什么“非逻辑性：通往天堂之门”，还有“直觉主义：数学家的美妙合唱”……可以说，这本书对迷信逻辑、尤其是盲目崇拜数学的精确推理的人来说，无疑是一帖清醒剂：在我们的创造性思维活动中，模糊的直觉起着绝不压于逻辑推理的作用，数学这座似乎由逻辑推理构建起来的庄严大厦，在它的基础中确实有着大量非逻辑的因素。
　　
数学之于我，完全是一场误会：当年高考时，父亲有感于“解放以后文人都没好下场”的现实，坚决要我报理工科。那时父亲长期受压，心情抑郁，肝硬化已达“四指”并有轻微腹水，我不敢惹父亲生气，就报了数学系。自作聪明地想：马克思都说“数学是思维的体操”，我先到数学系去操练操练，今后再往文史哲转。进了校门，才知道事情绝非那么简单。那些功课一门比一门抽象，对一个没有兴趣的学习者来说，上课无异受刑。于是常常在课堂上开小差，对神圣的数学颇有不敬：老师讲“函数曲线”，我在底下想：凭什么就能“以平滑的曲线连接散点”——心电图、布朗运动、电子嬗变等等，其活动轨迹不都是乱跳的吗？概率课老师讲“等概率假设”，我又大不以为然：“没有理由认定硬币的国徽麦穗哪一面出现的可能性大”，就敢假定两种可能性一样大，这不是拿无知当论据吗？后来在“集合论”课堂上听到罗素悖论、“康托尔对应”，便有些幸灾乐祸：数学这个假模假式的“逻辑论证的精确体系”，原来还惹出了这么多无法自圆其说的东西。及至后来选修非欧几何，发现随着“第五公理”的修改，三角形内角和竟然就可以等于（欧氏几何）、小于（罗氏几何）、大于（黎曼几何）180度，却都能在不同的领域实际运用……这些不务正业的“注意力溜号”，使我对“客观真理”、“揭示自然规律”等等“哲学说法”产生深深的怀疑，成为我日后接受波普尔、库恩等人的科学哲学的思想基础，并由此而“自然而然”地接受了在现代和后现代哲学中至关重要的多元思想。从这个角度来说，误打误撞进了数学系，倒吸收了非常重要的思想营养！
　　
当然，说“数学的非逻辑性”，并非否定逻辑在数学中的重要性，而是指在非常深刻的基础理论中，数学的逻辑结构是有问题的。这给我一个启示：那貌似严谨异常的数学，尚且要建基于直觉对经验的大胆归纳之上，尚且能容忍模糊和违反逻辑，要在其发展进程中把严谨和精确性的追求放在功用的有效性之下，那么。在其他领域内过分强调逻辑性，岂不是有点削足适履的味道吗？
　　
逻辑固然是重要的，但它仅仅是一种整理和展开思维的工具，更多地只是用于对创造的验证，而很难胜任创造性的工作。如果注意到“无定义概念的重要性”，以及“数学在很大程度上无视逻辑学的基本要求”等观点，再大胆地往前走一步，甚至可以说：创造精神的源头是非逻辑的。当歌德说出他那句脍炙人口的名言——“理论是灰色的，而生活之树常青”——时，他是不是也揣着这种直觉呢？　
　　

2007-11-20
　　　　（《数学：确定性的丧失》 M·克莱因著 湖南科技出版社1997年版）