【金碧辉煌的圣殿 (2. Morley’s trisector theorem)】

金碧辉煌的圣殿 2. Morley’s trisector theorem

在我家的墙上,挂有两类图画,第一类是我拍摄的自然、风景照片,第二类并非什么李杜诗词之类,而是几幅相当优美(我以为)的几何图案。这几个几何定理不仅优美,而且是最近一百年左右“新近”被发现和证明的。比如下面镜框中的图案叫“Morley’s trisector theorem”,它被无数人忽视了2000多年,直到1899年才被数学家Frank Morley 揭示。我们后面细谈。

自从《几何原本》问世以来,古希腊数学家的聪明才智展现在世人的面前。随后,世界各民族、各文化的数学家又不断给这座大厦添砖加瓦。可以说,现在,欧式几何已经非常全面、完备了。一些困扰人们千年的难解问题也得到了明确的答案。我们可以用“尺规作图”作为例子来说明一下:

尺规作图(Compass-and-straightedge construction ruler-and-compass construction)是起源于古希腊、与欧式几何密切相关的作图法。该法使用圆规(无角度,但可无限宽)和直尺(无刻度,但可无限长),且只准许使用有限次,来解决几何作图问题。千百年来,人们使用尺规作图的原则,实现了各种简单或复杂的操作,比如下图中ABC分别是用尺规做线段的垂直平分线,角的平分线和正六边形,这些都非常简单。而图D是用尺规做正17边形,极其复杂,多达51步。但这个难得不可想象的做图,被德国著名数学家高斯在他大学二年级的时候攻克了。

然而,有些看似简单的问题,人们无论怎样努力,也无法用尺规作图来解决。比如用尺规作图法做正七边形,以及著名的尺规作图的“古希腊三大难题”——

** 化圆为方问题: 求一个正方形的边长,使其面积与一已知圆的相等;

** 三等分角问题: 求一角,使其角度是一已知角度的三分之一;

** 倍立方问题: 求一立方体的棱长,使其体积是一已知立方体的二倍。

这些问题,无论人们怎样努力,总是无法解决,又无法在欧氏几何的范围内证伪。两千多年过后,数学的其他分支发展到了新的高度。于是,数学家们便使用新的数学公具,证明了正七边形和“古希腊三大难题”,用尺规作图是不可能解决的。就好比说飞机无论飞得多快,也不可能飞到月球上去。上述这些工作,在十九世纪上半叶,也就是距今200年左右,就已经完成了。

那么,是不是可以说,从那以后,初等几何之中能够发现的规律,早已被发现和解决了呢?如果把欧氏几何比作一座金矿,经过2400年的开采,一般人似乎以为,金子早已经被开采完了。可是,欧氏几何的实际情况却不是这样的。即便是在100年前,独具慧眼的人还是能拾到金块,甚至是闪亮的“大金块”。Morley’s trisector theorem正是这样一个发现。

这个定理的表述极其简单(重要的话说三遍:复杂了就不美了):对任意一个三角形,作内角三等分线,靠近公共边三等分线的三个交点,总是连成一个等边三角形。这个简单而优美的规律被人们忽视了2000多年,直到1899年被英裔美国数学家Frank Morley (1860 - 1937) 发现并证明。下面的链接显示其动态过程,颇有意思 ——

https://www.youtube.com/watch?v=rLuVuxrOxa8

Morley’s trisector theorem尽管非常明晰,证明起来却不是特别容易。最简单的方法是运用三角函数。当然也有基于欧氏几何的方法和纯代数的方法,这些网上都可以找到,难度在IMO试题之下。

Frank Morley的生平也是颇有意思的。他原是英国人,家里是开瓷器店的。他本人1884年剑桥大学毕业。三年以后他来到美国,先在宾州的Haverford College任教,几年里成果颇丰,包括发现这个非常优美的平面几何定理。他后来成了约翰霍普金斯大学数学系的主任,并在1919-1920年任美国数学学会的主席。在一生中,有多达50PhD毕业于他门下。他1937年逝世后,美国数学学会这样评价他对美国数学的贡献

"...one of the more striking figures of the relatively small group of men who initiated that development which, within his own lifetime, brought Mathematics in America from a minor position to its present place in the sun."

Frank Morley还是一位很优秀的棋手。他曾赢过英国著名棋手Henry Bird,现在棋谱还保留着。他甚至有一次把国际象棋世界冠军、德国人Emanuel Lasker都赢了。后者也是一位数学家。我猜想两人随便玩玩,不是正是比赛。

Frank Morley的太太是小提琴音乐家。他们育有3个儿子,个个在其行当中都很优秀。长子Christopher是一位小说家和诗人,著作颇丰;次子Felix是华盛顿邮报的编辑、撰稿人,曾获普利策奖;三子Frank Jr. 获得牛津大学数学博士学位,后与父亲合作撰写数学专著。他同时也是一位作家和出版商。

 

 




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所有跟帖: 

你这一个,3色图,要是风筝在天上飞会很美。 -AP33912- 给 AP33912 发送悄悄话 AP33912 的博客首页 (0 bytes) () 11/01/2023 postreply 17:23:00

对啊。老夫聊发少年狂一把? -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/01/2023 postreply 17:46:02

长知识了,谢谢分享。几何原本据说是出版量仅次于圣经的书籍,这么早就奠定了数学的基础,真心了不起 -jinjiaodw- 给 jinjiaodw 发送悄悄话 (0 bytes) () 11/01/2023 postreply 18:03:13

谢谢。平面几何至今不仅是数学教育的基石,而且还可能有新发现。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/01/2023 postreply 19:14:45

谢谢分享。第一张像教堂的花窗图案 -ToClouds- 给 ToClouds 发送悄悄话 ToClouds 的博客首页 (0 bytes) () 11/01/2023 postreply 21:39:50

谢云起。的确像。我下回找个更像的主题。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/01/2023 postreply 22:28:33

几何题没看懂。几何学必须赞。 -幸福生- 给 幸福生 发送悄悄话 幸福生 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 07:45:12

谢谢幸福兄。不用懂,看看故事也行。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 12:30:51

几何图照片(画面)如毕加索的抽象派或印象派,是时髦的前列!给人以无限的遐想 -云霞姐姐- 给 云霞姐姐 发送悄悄话 云霞姐姐 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 11:11:22

基因强大,一家子聪明人,唐兄这是聪明人讲聪明的故事,跟着你长见识了 -云霞姐姐- 给 云霞姐姐 发送悄悄话 云霞姐姐 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 11:16:38

谢谢云儿,过奖了。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 12:29:28

几何中隐藏着美妙的神学!长姿势了,每当坐在唐韵的作品前,总想把自己拔高一点^_^ -心雨烟尘- 给 心雨烟尘 发送悄悄话 心雨烟尘 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 13:13:03

您太客气了。。。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 14:14:04

好文章,大赞!几何可是俺的挚爱,以前小的时候做平面几何题,一个难一点的题可以想上一下午,过瘾极了 :) -平等性- 给 平等性 发送悄悄话 平等性 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 17:26:33

好,后面两篇有3-4题,平等兄可以试试是否宝刀不老。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/02/2023 postreply 18:41:23

很有特色和创意的画也有些抽象,真的是像几何图型演变而来的。 -艾唱- 给 艾唱 发送悄悄话 艾唱 的博客首页 (0 bytes) () 11/03/2023 postreply 14:29:01

画家真懂平面几何的恐怕还不多呢。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/03/2023 postreply 16:46:04

大赞!!!!!韵老师是数学家~~~ -cicila- 给 cicila 发送悄悄话 cicila 的博客首页 (0 bytes) () 11/03/2023 postreply 17:29:00

谢谢。我是玩票的。 -唐宋韵- 给 唐宋韵 发送悄悄话 唐宋韵 的博客首页 (0 bytes) () 11/03/2023 postreply 18:49:47

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