趣味数学（三）温柔的陷阱

来源: 朝霞满天于 2013-02-08 12:54:26 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (4689 bytes)

本文内容已被 [ 朝霞满天 ] 在 2013-02-11 05:02:46 编辑过。如有问题，请报告版主或论坛管理删除.

数学里也有很多陷阱，不小心就会让你身陷泥沼。下面的陷阱是我中学时碰到的。

令 A=9，则有 AA-81=0，从而(A-9)(A+9)=0。两边同除以 A-9，得 A+9=0，即 18=0。这个陷阱让我们知道，零不可以做除数不是一句空话。

当然，数学中有些陷阱不是那么明显，两个信封问题就是一例。

问题的叙说很简单，不带任何悬念。

有两封一模一样的信封，里面都装有钱，其中一封里是另一封的两倍。你可以随便选取一封并拿走里面的钱。在你还未打开信以前，我问：你要不要换成另一封信？

决定换还是不换，准则只能是另一封信里的钱是否更多。如何知道另一封信里的钱是否更多？没法知道。在没有打开信封之前，不可能知道里面有多少钱，那是一个未知数，或者准确一点说，是一个随机变量。对待随机变量，我们无法事先知道它的精确值，但有时能算出它的数学期望值。数学期望值，实际上就是我们常用的平均值。如果知道随机变量的概率分布，就可以算出它的数学期望值。比方说，如果随机变量X可以取值a和b,其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq，其中p和q分别是X=a和X=b的概率。因为X只取a和b两个值，必定有 p+q=1。粗略地说，如果你不知道随机变量的精确值，往往可以用期望值代用。

换，还是不换？还真是个问题。下面是一段推理，称之为推理一。

1：用A表示所选信封里的钱数。
2：A是小钱的概率是1/2，A是大钱的概率也是1/2。
3：用X表示另一封信里的钱数，则有p=P(X=2A)=1/2, q=P(X=A/2)=1/2。
4：所以X是一个随机变量，其数学期望值为E(X)=(1/2)(2A)+(1/2)(A/2)=(5/4)A。
5：因为E(X)>A，换是更合理的选择。

这段推理，看起来无懈可击。

但是，如真无懈可击，那同样的推理也可用于另一个信封。这样就只好不停地交换，直至永远。

咱们换一个思路，看下面的推理二。

两个信封，一个有B元，另一个有2B元。用Y表示所选信封里的钱数，则Y是一个随机变量。我们有 P(Y=B)=1/2和P(Y=2B)=1/2。用X表示另一封信里的钱数，则有 P(X=2B)=1/2和P(X=B)=1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同样有E(Y)=(3/2)B。按这种推理，交换不带来任何好处。

比较两种推理，不难发现，推理一缺陷在于，A是常量，却既被当做大钱，又被当成小钱。（实际上它是一个变量，不应被当作常量。）同一个东东，不能既是鹿，又是马呀！

这个陷阱，很温柔吗？

两个信封问题有一个变种也一样有趣，这就是领带问题。

情人节过后，两个男人在酒吧见了面，每人都打了新领带。甲说：“很高兴见到你，瞧我太太给我买的领带，又便宜又好。” 乙说：“可不是吗，我太太给我的领带更便宜更好。”于是两人顶上了，都宣称自己的太太更贤惠能干。最后他们打起赌来。赌注就是新领带：谁的贵就把领带送给便宜的那位。

甲心里想：“如果我输了，只是输我的领带，如果盈了，就是盈更贵的领带，输和赢的概率都是1/2，因此期望值总是正数。这个赌只赢不亏。” 于是甲非常高兴。

乙也是同样的想法，自然也眉飞色舞。

两人都兴高采烈打电话向太太问价钱。

为啥两人都觉得对自己有利？温柔的陷阱又在何处？