试解

把左下角的三角形平移到右边， 则所求矩形面积等于形成的平行四边形面积。
亦即: 从B点作BE//AD， 用S1表示三角形ADB(以及其面积), S2表示三角形BEC, S表示整个大三角形

则所求面积 = S-S1-S2
由题设知 S1=19   S2=8+12=20
注意三个三角形S,S1,S2是相似的，因此有常数k使得

  AC = k*sqrt(S)
  AB = k*sqrt(S1)
  BC = k*sqrt(S2)
  
于是
  k*sqrt(S) = AC = AB + BC = k*sqrt(S1) + k*sqrt(S2)
 
因此 S = (sqrt(S1) + sqrt(S2))^2
      = (sqrt(19) + sqrt(20))^2
      
所求矩形面积 = S-S1-S2    
          =  (sqrt(19) + sqrt(20))^2 - 19 - 20
          = 2*sqrt(380)
          = 4*sqrt(95)