很好的思路。不用这个比较难理解的充要条件。替你重新表述如下。

三圆
设被覆盖的最大圆的半径 R > 1.
单位圆与其相交的弦的最大值是2. 要使三个单位圆能覆盖这个圆，其必要条件是这条相交弦的弧度 >= 120. 否则三个单位圆与其相交的部分不能覆盖整个圆周。
当弧度=120， R = 2/sqrt(3) 弧度 >= 120,即是 R <= 2/sqrt(3).

R = 2/sqrt(3)可以如下达到。
作边长为2的正三角形。以三边中点为圆心作单位圆。其图形将覆盖这个正三角形的外接圆。其半径为 R = 2/sqrt(3)

四圆的情形同样证明。

五圆以上， 可以同样的得到R的上界。但是，这个作正多边形的方法无法达到上界。这时所作的圆不能覆盖正多边形的中