写通俗一点吧，不用不动点定理。

考虑级数b1 = x1, b2 = x2-x1,...b_n = x_n - x_(n-1). 级数{b_n}和序列｛x_n}的收敛性是一样的。上面的不等式就是|b_(n+1)/b_n| <= sin(1) < 1,所以级数{b_n}收敛。