津，新年好！方法非常巧妙。为更好理解，我又添了几行。

令 x = (1+sq2)^500, y = (sq2-1)^500

 

我们有x*y=1，

结论1：y = 1/x。

 

将sq2看作单独一项，展开x 和 y，则

x = sq2^500 + C(500,1)* sq2^499 + C(500,2)* sq2^498 + … + C(500,499)* sq2^1 + 1

y = sq2^500 - C(500,1)* sq2^499 + C(500,2)* sq2^498 - … - C(500,499)* sq2^1 + 1

x + y = 2*(sq2^500 + C(500,2)* sq2^498 + … + C(500,498)* sq2^2 + 1)

令x + y = 2m，则m = sq2^500 + C(500,2)* sq2^498 + … + C(500,498)* sq2^2 + 1。

结论2：x = 2m – y。

 

因为 sq2^偶数 是整数，m 是 sq2^偶数 之和，所以，m 也是整数。

结论3：2m 是整数。

 

x = (1+sq2)^500 > 2^500。

根据结论1，y = 1/x 

结论4：0 < y = 1/x  < 2^(-500) = (2^5)^(-100) < 10^(-100)

 

最后，

x = 2m – y                                                     结论2

  =(2m-1).99999999999999999999999999999.....

根据结论3：2m 是整数，结论4：0 < y < 10^(-100)，

所以, 答案：小数点后第99位是9。