让我来解解这个问题。

 

大烧杯中有适量水，水中漂浮着一个小木块，目测水位在烧杯中间位置，小木块离烧杯底部有足够大的距离，现在用手平托烧杯底往上方做竖直匀加速运动，问此过程中烧杯中的水位如何变化？

解：

 

一．设木块密度为d0，体积为v0，则质量m = v0*d0。-----------------------(1)

木块重量P = m*g = v0*d0*g。(将(1)代入)-----------------------------------------(2)

g是重力加速度。设水密度为d1  〉d0。

 

二．静止时，设水被木块排开的体积为v1。

根据阿基米德定律，物体在水中所受浮力等于物体排开水的重量。因此，静止时，木块所受向上浮力F1 = v1*d1*g， -------------------------------------------------------(3)

木块只受重力P和浮力F1。根据静力学原理，物体静止时，所受合力为0，所以，F1 = P，将(2)， (3)代入

v1*d1*g = v0*d0*g。----------------------------------------------------------------------(4)

v1 = v0*d0 /d1。----------------------------------------------------------------------------(5)

也就是说，静止时，小木块仅有d0 /d1（木水密度之比）的体积浸在水中。

 

三．当烧杯往上方做竖直匀加速运动，设加速度为a。木块要保持加速度为a往上运动，根据牛顿第二定律，木块受向上合力

F = m*a = v0*d0*a。(将(1)代入)-------------------------------------------------------(6)

在木块没有沉到烧杯底时，木块仍然只受重力P和浮力F2。设此时，水被木块排开体积为v2，再次根据阿基米德定律，

F2 = v2*d1*g。-------------------------------------------------------------------------------(7)

这样，合力F = F2 – P = v2*d1*g -  v0*d0*g。(将(7) ，(2)代入)- -------------(8)

将此式代入牛顿第二定律式(6)，得

v2*d1*g  -  v0*d0*g = v0*d0*a。---------------------------------------------------------(9)

合并同类项，v2*d1*g = v0*d0*（a + g）。----------------------------------------(10)

v2 = v0*d0*（a + g）/ d1*g --------------------------------------------------------------(11)

将(5)代入(11)

v2 = v1*（a + g）/ g。----------------------------------------------------------------------(12)

 

四．讨论：

1． 静止时，小木块靠浮力支撑。

2． 烧杯往上方做竖直匀加速运动时，浮力除了支撑小木块重量，还要产生小木块加速度a，以维持小木块往上方做竖直匀加速运动。

3． 从(12)，由于（a + g）/ g  〉1，v2 〉v1。这说明，往上方做竖直匀加速运动时，小木块浸入水中的体积增加，以增加所受浮力。即小木块下沉，水面上升。

4． 加速度a越大，（a + g）/ g  越大，v2越大，小木块下沉越多，水面上升越多。

5． 从(11)，当a大到（a + g）/ g  = d1  /  d0，即水木密度比，时，v2 = v0。此时，小木块完全浸入水中。

6． 当a再加大，（a + g）/ g   〉 d1  /  d0时，因为小木块已经完全浸入水中，排开水的体积不能再增加了，v2 = v0。浮力也不能再增加了，水面也不能再上升。推演上式，

d0*（a + g）〉d1*g

两边同乘v0，得

v0*d0*a + v0*d0*g 〉v0*d1*g

因为v0 = v2，将右边v0换成v2，得

v0*d0*a + v0*d0*g 〉v2*d1*g

将(1)，(7)式代入，得

m*a  + m*g 〉F2。

此式说明，当（a + g）/ g   〉 d1  /  d0时，小木块所受浮力F2不足以支撑小木块重量m*g，同时还要维持小木块往上方做竖直匀加速运动a。

小木块不得不沉底，从烧杯底提供支撑，以弥补这个差额。

7． 从5，6可看到（a + g）/ g  = d1  /  d0，是加速度a的一个临界点。

7.1．如果烧杯盛的是水银，密度比水大，即d1加大，则需要更大加速度a才能达到这个临界点。

7.2．如果烧杯盛的是酒精，密度比水小，即d1减小，则需要较小加速度a就能达到这个临界点。

7.3．如果在月球上，重力加速度变小，即g减小，则需要较小加速度a就能达到这个临界点。

7.4．当然，小木块的密度d0，对加速度a能达到这个临界点也有类似影响。

8． 如果烧杯往下方做竖直匀减速运动，结果应该一样，因为向下的减速度与向上的加速度起因都是受到向上的力。但没有作具体的验证。

9． 如果烧杯往上方做竖直匀减速运动，或往下方做竖直匀加速运动，结果又将如何？小木块会不从水中，乃至烧杯中弹出呢？手拿烧杯往上泼水的最后一刻就是一个往上方做减速运动的动作。

完毕。< > △ ∠