扔棍子，棍压线的几率

地上有无数相距为一的线。
随机在地上扔一棍，求棍压线的几率。
解：
一．先考虑一根线的情况。
棍压此线与否，取决于三因素:
1. 棍的长度。棍愈长，愈容易压线。令棍长为L。
2. 棍的位置。棍的位置由其中心的位置来代表，令其中心到线的距离为rr，rr >= 0。rr愈小，愈容易压线。
3. 棍与线的夹角（取锐，直角）。令棍与线的夹角为A。A愈大，愈容易压线。0 据此可画一图，从而发现：
1. 棍的某一端正好压在此线上当且仅当rr = 0.5L*sinA;
2. 棍的中部压在此线上当且仅当rr 3. 棍没压在此线上当且仅当rr > 0.5L*sinA。
总结起来，
引理1: 棍压此线当且仅当rr 二．再考虑无数等距线的情况。
第四个影响棍压线与否的因素是线距。线距愈近，愈容易压线。线距现已定为一，更一般化，不妨定为d。令棍长仍为L, 棍与任何线(等距线是平行的)的夹角仍为A。
引理2: 地上任何一点离等距线的最近一条线的距离不超过等距线线距的一半，0.5d。
令棍的中心到等距线的最近一条线（简称最近线）的距离为r，则根据引理2，得
引理3: 0 引理4: 棍压到等距线当且仅当棍压到最近线。
证明：
1）棍压到等距线中某线，令棍的中心到此线的距离为rr，则r 2）棍没压到等距线中任何线，所以，棍没压到最近线。
证明毕。
当线距d和棍长L确定后，压线与否仅取决于棍的位置r和棍与线的夹角A。以此作一个以A为横座标，以r为纵座标的直角座标系。
1. 根据引理4，棍压到或没压到等距线的情况也就是棍压到或没压到最近线的情况。根据引理3和A的定义，棍压到或没压到最近线的情况都包括在0 2. 棍压到等距线的情况也就是棍压到最近线的情况，而棍压到最近线的情况，根据引理1，引理3和A的定义，就包括在0 1）对所有A, 0 S2 = integral|(0, 0.5pi) integral|(0, 0.5L*sinA) dr dA
= integral|(0, 0.5pi) 0.5L*sinA dA
= - 0.5L*(cosA |0, 0.5pi)
= - 0.5L*(cos0.5pi - cos0)
= 0.5L
2）对有些A, 0 令0 另一方面，当0 S2 = integral|(0, B) integral|(0, 0.5L*sinA) dr dA + integral|(B, 0.5pi) integral|(0, 0.5d) dr dA
= integral|(0, B) 0.5L*sinA dA + integral|(B, 0.5pi) 0.5d dA
= - 0.5L*(cosA |(0, B))+ 0.5d*(0.5pi - B)
= - 0.5L*(cosB - cos0))+ 0.5d*(0.5pi - B)
= 0.5L*(1 - sqrt(1-(d/L)^2))+ 0.5d*(0.5pi - arc sin(d/L))

3. 压线的几率就是两个二重积分的比: S2/S1。
1）当棍不比线距长，L S2/S1 = 0.5L / 0.25d*pi = 2L /d*pi。
因为 0 当线距d = 1，压线的几率就是2L /pi。

2）当棍不比线距短，d S2/S1 = (0.5L*(1 - sqrt(1-(d/L)^2))+ 0.5d*(0.5pi - arc sin(d/L)))/0.25d*pi
= 2L(1 - sqrt(1-(d/L)^2)/d*pi + 1 - 2arc sin(d/L)/pi。
因为d 当线距d = 1，压线的几率就是2L(1 - sqrt(1-(1/L)^2)/pi + 1 - 2arc sin(1/L)/pi。