完整答案

将这2009个人，看作平面上的点。如果两人是朋友，就用线段连起来。因为其中任意两个人都有而且仅有一个共同朋友，所以不可能存在四边形。合理的图案是，初始图案为一个三角形，然后将已有图案上的同一个顶点（设为0）和其他还没有连入图案的两点连成三角形。如此即可得这2009人之间的关系。即以0为顶点但无公共边的一组三角形。显然，这些人中朋友最多的必须有2008个朋友。朋友最少的也必须有2个朋友。

易证3个人是三角形，4个人时不存在任意两人都有且只有一个朋友（我假定朋友关系是互反的）这种状态。五人(n=5)时是共用一个顶点两个三角形，设为0，即{0，1，2}， {0，3，4} （{a,b,c}表示a,b,c两两之间是朋友。）

假定n=2k+1人时成立，即关系为以0为顶点但无公共边的一组三角形：{0，1，2}，...，{0, 2k-1, 2k}.

n=2k+2时，将2k+1加入图案（原来的2k+1人之间任意两人都有且只有一个朋友），设0和2k+1的公共朋友为a,这样我们有了一个三角形{0, a, 2k+1}, 但是a在原来的某个三角形上，设为{0,a,b}.
于是0和a有了两个公共朋友，矛盾。因此n为偶数时，不存在任意两人都有且只有一个朋友（我假定朋友关系是互反的）这种状态

n=2k+3时，将2k+1和2k+2加入图案（原来的2k+1人之间任意两人都有且只有一个朋友），我们证明2k+1和2k+2的公共朋友只能为0。不然，设其公共朋友为a。另取点b, 使得a和b不在一个三角形上(n>=5时总存在这样的点b)。2k+1和b的公共朋友只能是0,2k+2以及和b在同一三角形的c中的一个。首先不能是2k+2,因为这样2k+1,2k+2有两个公共朋友，a和b。不能是c,这样b和c有两个公共朋友0和2k+1。也不能是0，否则0和a有两个公共朋友2k+1和0,a原来的公共朋友。综上，2k+1和2k+2的公共朋友只能为0。接着易证0和2k+1的公共朋友只能2k+2。