全美疫情的分析和估计 ---- 从峰值到拐点
十天前的四月二日曾写一篇短文 《全美疫情的分析和估计 ---- 拐点在即》（https://blog.wenxuecity.com/myblog/73449/202004/2632.html），当时新冠肺炎（Covid-19）的确诊人数节节攀升，股票市场中的三大指数经历了四次融断、二次攀升后平均下跌25%，全美大地哀鸿遍野，人们心理的阴影达到了最黑暗的时候。
图一 股票市场的反应
我们感到恐惧，看不到希望，因为我们不知前面将会发生什么，不知未来发展的趋势。如果我们知道面临灾难，知道会有死亡，并能估计到灾难的程度，估计到死亡的大致人数，那么我们就会直面灾难，而不是选择逃避。
首先我们关心疫情的拐点，所谓拐点就是单日增量达到最大，之后只有下降没有上升的那一点所对应的日期。在数学上，拐点定义在函数的一阶微分达到最大，二阶微分为零所对应的横座标的数值。在十天前的文章中预计四月十五日左右达到拐点，拐点时的当日新增人数四万左右（4.0±0.5万）。
几天前，医生朋友建议 Update 数据和分析，那么更新和更正就一并做了。先看两张最新的数据，截止日期4/11。图二，累计确诊人数（总量N）和现存病患人数（现存病患人数=累计确诊人数-康复人数-病死人数），数据来源于《一亩三分地》（https://coronavirus.1point3acres.com/ ）。该网站具有适时性，除了当天的数据变化之外，几天前的数据也不时变动，增减不一。这可能是我们文化的特性，毕竟该网站流着中华文化的血脉。为了不使数据乱变，就从 Coronavirus Disease (COVID-19) Statistics and Research (https://ourworldindata.org/coronavirus) 中取确诊人数的数据。三月三日：103；三月十一日：1025；三月二十日：14250；三月二十八日：104686。在二十五天内百变千，千变万，万变十万，完成了四个数量级的跳跃，平均每天的指数增长达到32%。这样的数据使人感到除了恐惧还是恐惧，除了崩溃还是崩溃。
图二 累计确诊人数（总量N）和现存病患人数
图三表达每日新增的确诊人数（增量 DN），数据来源于《一亩三分地》和 Coronavirus Disease，后者的数据虽有一天的滞后，但不会胡乱变动。在图三中只见一波接着一波地强劲攀升，根本看不到拐点所在。峰谷起伏居然涨落近万，已经不是统计误差所能解释的了。这反应疫情多批次，多地域，多时间段的次第爆发，几十甚至几百个大小不等的波峰相互叠加。就像华盛顿、纽约、密西根三州，疫情先后爆发。
图三 全美每日新增的确诊人数（增量 DN）
华盛顿州最先爆发，最先死人，但该州应对控制很好，四月四日越过它的拐点，迄今为止总的确诊人数10416人，病亡率2.6%，现趋于缓慢平复。纽约疫情似乎火如荼，但4/11的新增数据骤降，标志在四月十日越过拐点。几天前的四月八日曾写一篇短文《纽约疫情 --- 数据和估计》（https://blog.wenxuecity.com/myblog/73449/202004/5159.html ），如今的发展基本在当初的预料之内。
密西根最晚爆发，曾经发展迅猛，虽然它的病死率迄今为止最高（5.6%），但它在四月五日越过了拐点。密西根的数据量大，整体的发展进程短，具有统计学上的意义。图四、图五、图六为密西根州的数据。下面以密西根为例，看看COVID-19疫情的发展进程。
图四 密西根州的累计确诊人数（总量N）
图五 密西根州的每日新增病患人数（增量 DN）
图六 密西根州的每日增长率
根据密西根州的统计数据，此类流行性感冒的发展进程大概有四个阶段。（1）爆发前的混乱阶段（Chaos），（2）爆发阶段，（3）燃烧阶段，和（4）平复阶段。
（1）爆发前的混乱阶段（Chaos），在这期间由于人们的认识不足，测试样本偏小，检测手段不完备，试剂测出的结果真假也分辨不清，再加上无症状感染者，导致此时的数据杂乱无章，毫无可信度。但烽火狼烟已起，社会群体中的少数医护人员（如李文亮）最先得到一个信息 ---- 狼来了。如果此时应对正确，疫情可以被及时扑灭。此前的一个例子是2009年SARS 病毒在安徽泄露，感染了几个人后就被扑灭。此时的传播因子（R0）毫无意义。以密西根州为例，3月11、12、13日三天的累计确诊为2、12、23人，那么12、13两日的传播因子就分别为5和1，这个差别也太大了。既然号称因子，就应是个常数，至少变化不会太大。Chaos 的阶段大约会持续几天、十几天、以致一个月（比如加州）。
（2）爆发阶段，这期间的特性是累计确诊（N）和增长率（Growth Rate）均按指数迅猛增长，并达到增长率的峰值。密西根州的爆发阶段只用了三天（3月18、19、20），这三天的平均增长率达到106%。而全美的这个阶段用了25天，（3月3 – 3月28），时间上比密西根州拉长了八倍，平均增长率达到了32%。此阶段可以勉强谈谈传播因子 RT，这个RT 是我定义的，和R0 不同，与时间有关，表达的是平均每天传染几人。密西根州的 RT=1，而全美的 RT=0.32 。可见传播因子和病毒类型无关。那么，怎么说好呢，传播因子啊 。。。。。。
（3）燃烧阶段，我把这个时间段定义为从增长率的峰值（图六中 3/19,172% 的那一点）到5天平均增量（《DN》）最大值（图五中 4/5, 1635 的那一点）所对应的两个时间点之间的区间。在此阶段每天的增量继续上升，而增长率按e指数下降。以密西根州为例，燃烧阶段从3月19到4月5日,历时18天。人们在此期间看不到希望，心情沮丧。这个阶段正是黎明前的黑暗。
（4）平复阶段，增量（DN）达到最大值后逐日下降。增长率的下降的方式和第（3）阶段的一样，先快后慢，这是由e 指数衰减的形式决定的。南韩的数据显示，虽然2月29日达到拐点，但至今还拖着一个长长的尾巴，每天新增病患40-50人。就全美疫情来看，五月初每天仍可检测到新增病患过万；六月初过千；七月初过百。
绕了一大圈，回到主题 ---- 美国疫情。图七表示全美新增病患人数的增长率（Growth rate %），这一数字正逐步、稳定地下降。结合图三和图七，预计今后每天的新增人数将在3万至3万5之间徘徊几天，然后一路下降。由于多源头、多批次、多地点的疫情爆发，对于全美来讲，拐点已不再是一个特定的日子，而是一个区间。这个拐点区间的时间范围大约起于4/5, 终于4/15, 十天左右。在这期间的每日新增病患的人数起伏波动，在3万5左右（3.5±0.5万）。这是病毒最后的有规模的挣扎，剩下搏住苍龙只是时间的问题了。
图七 全美病患人数的增长率（Growth rate %）
图八是累计病患的数据和预测，在COVID-19 的疫情中全美将有大约一百二十万人染病 （120±10 万人），以病死率4%计，全美因此流感而挂掉的人数约五万。
图八 累计病患及其预测
结论：
1 全美COVID-19疫情的拐点为一个十天左右的时间段，从4/5 到 4/15。拐点期间每天新增病患在三万五左右 （3.5±0.5 万），起伏还比较大，近万呢。
2 全美COVID-19疫情所产生的累计病患将达到一百二十万左右，（120±10 万），以病死率4%计，病死人数接近五万。
3 疫情有尾巴，长长的，七月份仍可检测到。尾大难掉。
当我们理解了疫情发展的完整过程，我们对疫情的趋势、危害也就洞若观火了。朋友们，我们越过了峰值，正跋涉于拐点的缓坡，面对着黎明前的黑暗，曙光即将来临。让我们迎接疫情解放自由民主的明天。
