Hermite 多項式 Fock空間,Wiener

令

(x) 等之n 次Hermite 多項式全

體

所擴張成之(L2) 的部分空間, 設為Hn,

則可

得(L2)之直和分解

(

L2) =

L

n

 

Hn。(13)

以

量子力學的話來說,此為Fock空間,而Hn

表

n 個粒子存在時之狀態的向量全體。N.

Wiener

稱Hn 為n次之Homogeneous

Chaos

。在機率論中多半稱Hn 之元素為n

次

Wiener 重積分。

以下

我們說明使用積分這個名稱的理

由

。此是由文獻[4] 中之構想而來。n = 1

時

hx, i 擴張成H1。將x(t) 想成是˙B (t)

之

樣本函數時,L2(R1) 上之內積為標準的雙

線

性型,hx, i 可視為

Z

(t) ˙B (t) dt =

Z

(t) dB(t)。(14)

此為

視dB(t) 為隨機測度時之隨機積分。同

時由

(14) 之左邊來了解, 可視為變數˙B (t)

乘

上係數(t) (的連續無限個之和) 之齊次

一

次多項式。

n

= 2 時, 可考慮如下, 固定 時hx, i

為機

率空間(E∗

1

 

, μ) 上之平均值為0, 變異

數為

kk2 之Gauss 隨機變數, 又hx, i

與

hx, i 之共變異數(covariance) 為

與

在L2(R1) 上之內積(, ), 於是, 由

h

x, i, ∈ E1 之二次Hermite 多項式之一

般

型可表為