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作者: 暗星 时间: 2009-7-13 16:56 标题: “现代”术数
转：季候风
黎曼曲面“黎曼曲面” 大概是黎曼思考时间最长的课题。这个课题是很多20世纪数学分支的萌芽：拓扑学，代数几何，几何分析，双曲几何。
黎曼这项研究的出发点是单个复变量的解析函数的性质。这是当年颇困扰大家的一个问题。很多自然而有用的解析函数（比如对数函数 ln, 平方根函数等) 不能定义在整个复平面上。为了处理这个问题，Weiestrass 提出了 “整体解析函数” 的概念，而黎曼提出了 “黎曼曲面” 的概念。当然，黎曼不可能把这种构造自命为 “黎曼曲面”，我没有读过黎曼原来的论文，不知道他自己有没有给这种构造起个名字。顺便八卦一下，在进行科研工作的时候，对自己的发现起名字是个很尴尬的问题。不起名字吧，在文章里面说起来不方便，起个好名字吧，万一这个东西以后火起来了，别人就会沿用你起的这个名字而不会用你本人的名字来命名。比较好的办法是起一个很烂的名字，没人理会就罢了，万一要火了，大家会觉得原来的名字太难听，出于对发现者的尊重，又不会另起好名，自然会放上你的名字，这样你就流芳百世了。牛人 Ozsvath 就犯了这么一个错误，把他及其合作者 Szabo 发现的一个东西叫做 Heegaard Floer 理论, 这个名字实在起得太好，以至于大家都很喜欢，虽然有人试图强调他们本身的贡献而把这个理论叫做 Ozsvath-Szabo 理论，但是好像买帐的人不多。言归正传，黎曼曲面的观点在当时没有被大家接受，但是到了20世纪，至少在讨论单复变量解析函数这个话题的时候，Weiestrass 的观点已经没有多少人在意了。
我们先看看实变量的实值函数。比如，平方根函数。显然，定义域是所有非负实数。平方根是一个所谓 “多值函数”，一个正数有两个平方根。当然，严格来说，根据函数的定义，平方根不是一个函数。要让它成为一个函数，通常我们做的是取一个 “分支”，比如取 "正平方根"。从图像上看，就是取抛物线 在 x-轴上面那一半。这个办法可以算是 “缩小值域”。其实还有另一个办法让平方根成为函数，就是 “扩充定义域”。具体来说是这样，我们可以把定义域变成以下集合的并集：0\}\cup \{(x,-)|x>0\}\cup \{0\}" alt="\{(x,+)|x>0\}\cup \{(x,-)|x>0\}\cup \{0\}" src="http://tex.72pines.org/latex.php?latex=$%5C%7B%28x%2C%2B%29%7Cx%3E0%5C%7D%5Ccup+%5C%7B%28x%2C-%29%7Cx%3E0%5C%7D%5Ccup+%5C%7B0%5C%7D$">。对第一个集合里面的元素(x,+)，定义函数值为 x 的正平方根；对第二个集合里面的元素(x,-), 定义函数值为 x 的负平方根；0 的平方根是 0。这个新的定义域实际上是整条抛物线，它是 x-正半轴的 “有分支的两重复叠”。除了 0, 正半轴上每一个点对应到抛物线上两个点。现在我们把抛物线当作定义域，平方根函数实际上就是抛物线上的 “高度” 函数，每个点的高度(y 坐标)就是它的 “平方根”。
在实变量的时候，玩这种游戏显得非常做作。但是在复变量的时候，这种做法就很有必要了。 让我们试试第一种办法，即，取一个分支，比如说，我定义 1 的平方根是 1. 但这个取法是自相矛盾的，为什么？我可以让复变量 z 沿着单位圆逆时针移动，那么 z 的平方根也沿着单位圆从 1 开始逆时针移动，但是移动的速度只是 z 移动速度的一半. 当 z 移动到 i 时，它的平方根移动到了 ；当 z 移动到 -1 时，它的平方根移动到了 i；......当 z 回到 1 时，它的平方根移动到了 -1，但是我们已经定义了 1 的平方根必须是 1！这说明如果我们要保持平方根函数的连续性，我们就不能只取一个分支，而必须把两个分支都包含进来。这就是为什么 “多值函数” 在复变量函数的研究中有意义。 现在问题是，实变量的时候为什么没有这种麻烦？因为对于平方根函数，0 是一个特殊点，实变量的时候，我们没有办法在定义域以内 “绕过” 0, 所以我们可以把两个分支硬性分开。或者从图像上看，我们可以通过去掉 0 而让抛物线变成两个不连通的半支。在复变量的情形，去掉原点并不影响定义域的连通，我们可以借助二维自由度绕过 0 而回到原来的出发点 1. 以上现象可以说是拓扑学中 “连通性” 与 “单连通性” 概念的萌芽。
好，现在来看我们怎么让平方根函数成为一个真正意义上的函数。既然取分支的做法不行，我们只好试试 “扩充定义域” 的办法。我们已经看到，把抛物线本身作为定义域是一个办法。抛物线本身是什么？是平方根的反函数---平方函数的图像。如果以函数的图像作为定义域来定义反函数，那么不管原来函数本身是不是 1 对 1 的，我们总有一个定义好的反函数。这就是说，我们需要研究函数 的图像。在这个图像上，我们有一个定义好的平方根函数, 它在图像上每一点的值就是这个点的 w 坐标。这个图像就是平方根函数对应的黎曼曲面. 它非常难以想象. 就像抛物线存在于二维平面上一样，这个图像存在于
这个复二维平面中 （实四维空间）。人类既然是三维爬虫，是看不见第四维的，所以我们只能通过一些代数工具对
这个代数方程进行研究，以期得到一些关于其图像形状的认识。这就是 “代数曲线” 这个学科所关心的问题。
以上看法是对黎曼曲面的 “外在” 看法，即, 把它看成某个复变量函数的图像，或者是看作由一个二变量代数方程在复二维平面中决定的代数曲线。限于我的文字表述能力，这种看法已经无法深入下去。好在我们还有第二种看法，相对来说比较 “内在” 的看法，即，推广实变量情形的 (x,+) 这种记号。复变量的时候就没有这么简单。让我们再来看单位圆。我们说，如果 z 从 1 出发，逆时针转回 1 的时候会有问题，现在我们不让它转回 1。怎么不让它转回来？我们把复平面沿着正实轴从无穷远撕开，撕到 0 为止。这样, 复变量 z 不能 "回到" 1. 但是这样就有了边界，两条射线. 怎么去掉边界呢？我们再取一个复平面置于第一个复平面下方，以同样方法撕开，然后让第一个复平面被撕开的那条线下方接上第二个复平面撕开那条线的上方，这样这个移动的 z 就自然跑到了第二个复平面上，沿着第二个复平面的单位圆继续做逆时针运动，到了第二个复平面靠近 1 的地方，记住上面已经没有了，被粘到第一个了，但是注意到第一个复平面也有一条自由边，正好跟第二个复平面的这条边粘起来，这样 z 又可以自动跑到第一个复平面出发时候的位置。当 z 在这个粘好的黎曼曲面上绕着 0 运动时，它的平方根在 w-复平面上运动，z 跑到第二个复平面时，其平方根正好运动到下半 w-复平面，当 z 经过第二个复平面回到第一个复平面时，其平方根正好在 w-平面上转完一圈回到原来的 1。这样平方根成为在一个黎曼曲面上定义好的函数。同样，这个黎曼曲面跟复平面的关系就好像抛物线跟正半轴的关系一样，除了一点，其他地方都是 2 对 1。这种叫 “有分支的两重复叠”。
以上构造很难想象，没有接触过抽象的拓扑概念的人无法想象最后那一下是怎么粘的。在空间中这个粘合是不能实现的（需要 “绕过” 无穷远）。但是学过复变函数的同修们知道复平面实际上可以添上一点成为复球面，当然更好的看法是通过球极投影。沿着正半实轴撕裂复平面这个操作，反映在复球面上无非是剪开一条缝。拿两个复球面沿着剪开的缝粘成一个曲面这个过程在空间中是完全可以实现的，有兴趣的同志们不妨自己试一试，然后看看这个对应于平方根的黎曼曲面到底是什么曲面。（当然，这个粘合不是随便那么一粘，还是要根据复平面粘合的情况找到对应点粘起来。）
附上平方根的黎曼曲面(两个复平面沾起来) 在三维空间的投影. 这个黎曼曲面除了 0 点以外是没有自相交的, 这个图上有一条自相交射线是因为我们把四维的图像投影到了三维. (类比三维中的扭结投影到二维的情形.)
作者: 暗星 时间: 2009-7-13 17:00
转：季候风
爬虫的几何学黎曼几何，就是1854年黎曼为了哥廷根大学的一个讲师职位准备的讲稿中创立的学问。似乎从这次演讲之后黎曼就再也没有在这个课题上花什么时间。我猜想黎曼这次演讲纯粹是为了讨高斯的欢心，准备的三个题目都是高斯当时非常关心的问题。至于黎曼本人，反而对数论和复变函数更有兴趣一些。黎曼这篇讲稿只有一个数学公式，就是下面这个公式：
黎曼本人并没有解释这个公式是怎么来的，后人从一些基本设置出发得到这个公式花了大约40年。
我试试解释这个公式。首先我们要假定这个世界上有一种爬虫，它们的视觉只能获得二维信息，或者说它们只能感觉到前后左右，而不能感觉到上下（这个假设其实同时把引力忽略了，因为引力可以让爬虫感觉到上下）。这些爬虫住在山村里。这些村里的道路结构比较简单，分为大致东西向的和大致南北向的两类。有个爬虫想更迅速地找到同村的别的人家，比较自然的办法当然是做一个村里的地图了。这个地图画在一张纸上，大致为东西向的那些道路被画成跟 x-轴平行的直线，而大致为南北向的那些道路被画成跟 y-轴平行的直线。这样村里每一处地方都被一对坐标 (x,y) 表示了。
然后这个爬虫想，我怎么能最快地从一个地方到另一个地方去？沿着那些道路爬肯定不行，大家都知道三角形两边之和大于第三边，所以肯定要从道路之间地野地里爬过去。它在地图上找到这个两个地方对应的两个点，然后连了一条直线，它希望如果沿着地图上这条直线的指示，它能最快地从一个地方到另一个地方去。
但是奇怪的事情发生了，它发现有时候沿着地图上这条直线的指示，它花的时间反而要比平时凭感觉爬的时候花的时间多。它开始研究这个问题。首先当然是做实验了，选定两个地方，比如它家和它女朋友家，然后每条路都试爬一下，计算时间（当然要假定它的爬速总是一定的）。经过多次实验，它找到了一条耗时最短的道路。然后它在地图上画出这条最短道路，正如所料，这条最短道路在地图上是弯的。
它想，这种弯曲也许是由测量的误差累积造成的，因为它女朋友家离它家比较远。所以它决定就在自家门口做实验。它从某一地点 p 出发，先沿着地图上的x-方向爬 dx 距离, 再沿着地图上的 y-方向爬 dy 距离, 到达一地点 q, 然后它找到一条最短的道路爬回 p, 认识到 p 和 q 之间的距离 ds 不等于 . 它继续做实验，让 dx 和 dy 取不同的值，这样它找到了规律（函数关系）：
. 紧接着它发现，这些 A,B,C 的值跟它的出发点的位置有关系，也就是说，这些 A,B,C 是坐标 (x,y) 的函数。综上所述，我们发现某个地点 p 周围的点到 p 的距离 ds（即最短路径的长度）跟 p 这一地点在地图上的坐标 （x,y) 的函数关系
